1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 42
Текст из файла (страница 42)
д(х) = (Ах, х). Заметим, что функция д, будучи непрерывной, должна иметь максимум на единичной сфере Я пространства У, задаваемой уравнением (х, х) = 1. Предложение 2. Всякая точка макса ума функции д на сфере Я является собственным вектором оператора А, а сам максимум равен соответствующему собственному значению. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Касательное пространство сферы Я в точке х задается уравнением (х, дх)=О, 230 Гл. 6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ т.е. представляет собой ортогональное дополнение к надпростран- ству (х). С другой стороны, дифференциал функции д равен йу(х) = (Айх, х) + (Ах, йх) = 2(Ах, дх). Если функция о достигает максимума в какой-то точке е Е Я, то ее дифференциал обращается в нуль на касательном пространстве сферы Я в этой точке.
В силу предыдущего это означает, что вектор Ае ортогонален всем векторам, ортогональным е, откуда Ае = Ле. При этом д(е)=(Ае,е)=Л(е,е)=Л. С) В этом доказательстве мы использовали только необходимое условие максимума, которое выполнено в любой критической точке функции о на Я, в частности, в любой точке минимума.
Ясно, что собственный вектор е е Я действительно является точкой максимума, только если Л вЂ” максимальное собственное значение оператора А. Симметрический оператор называется положительно определенным, если соответствующая ему квадратичная функция положительно определенна или, что равносильно, если все его собственные значения положительны.
Перейдем теперь к линейным операторам других типов. Теорема 2. Для любого кососимметрического линейного оператора А существует ортонормированный базис, в котором его матрица имеет вид 0 Н(а,) Н(а ) 0 0 0 где Н(а) = Доказательство очевидно, поскольку Н(а) — это общий вид матрицы кососимметрического оператора в ортонормнрованиом базисе в двумерном евклидовом пространстве. П $3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛКЯОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 23! Теорема 3.
Для любого ортогонального оператора А суи)ествует ортонормированный базис, в котором его матрица имеет вид П(о,) 0 П(а„) — 1 — 1 1 0 гбеП(,„) (сова Япа ~1 1, зцп а соз а /' Заметим, что, используя матрицы П(я) = ~ ! ~ и / — 1 01 П(О) = ~О ! ~, можно при желании оставить не более одного 1! О! свободного диагонального злемента, равного — 1, и не более одного, равного 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно рассмотреть ортогональные операторы в одномерном н двумерном пространствах, В одномерном пространстве ортогональный оператор — это умножение на ~1. В двумерном пространстве всякий ортогональный оператор А, как мы показали в примере 4.1.9, есть либо поворот на некоторый угол а, либо отражение относительно некоторой прямой.
В первом случае матрица оператора А в (любом) ортонормированном базисе имеет вид П(а). Во втором случае существует ортонормированный базис, в котором матрица оператора А имеет вид ( О ! ) . (З г — 1 О~ В частности, в трехмерном евклидовом пространстве матрица любого ортогонального оператора А в подходящем ортонормированном базисе имеет один из следующих двух видов: П(о) О П(сг) О В первом случае оператор А представляет собой поворот на угол гг вокруг некоторой оси, во втором — зеркальный поворот, т.е.
поворот, совмещенный с отражением относительно плоскости, ортогональной оси поворота. 232 Гл. 6. ЛИНЕЙНЪ|Е ОПЕРАТОРЫ Ясно, что зеркальный поворот не может быть результатом непрерывного движения, так как он изменяет ориентацию пространства. Следовательно, конечный результат сколь угодно сложного реального движения твердого тела с закрепленной точкой — такой же, как при простом повороте вокруг подходящей оси на подходящий угол. Эта соверщенно не тривиальная теорема называется теоремой Эйлера. Ортогональные операторы в евклндовом пространстве У образуют подгруппу группы 01.(Ъ'), называемую ортогональной группой и обозначаемую 0(Ъ').
Соответственно этому ортогональные матрицы образуют подгруппу группы 61 „(К), обозначаемую 0„(это согласуется с обозначением, введенным в примере 4.1.9). Как мы уже заметили в 95.4, определитель ортогональной матрицы равен Ы. Ортогональные матрицы с определителем 1 образуют подгруппу индекса 2 в О„, обозначаемую 50„. Соответственно этому ортогональные операторы с определителем 1 образуют подгруппу индекса 2 в 0(У), называемую специальной ортогональной группой и обозначаемую 50(Ъ'). Операторы из 50($') геометрически истолковываются как ортогональные операторы, сохраняющие ориентацию пространства (см. пример 4.5.!6). П Риме Р 4. Группа О, = 0(Ь') состоит из поворотов, составляющих подгруппу 50з = 50(Е'), и отражений относительно прямых.
Рис. 2 Обозначим через в„поворот на угол сг и через ㄠ— отражение относительно прямой, образующей угол а с какой- либо фиксированной прямой 1. Ясно, что в вв — — в„в . Далее, произведение поворота и отражения меняет ориентацию и, следовательно, является отражением. Проследив за какой-нибудь одной точкой (см. рис.
2, а), 2, б)), легко Р . З $ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 233 установить, что з г„=г ге =ге Наконец, произведение двух отражений сохраняет ориентацию и, следовательно, является поворотом. Проследив за одной точкой (рис. 3), легко установить, что г гз 32( гн т. е. произведение двух отражений есть поворот на удвоенный угол между их осями. В частности, отсюда следует, что группа О, порождается отражениями. ЗАЛАЧА 1. Доказать, что группа 0(У) порождается отражениями относительно (и — 1)-мерных подпространств (где и = г(1гп У).
Всякий линейный оператор в евклидовом пространстве единственным образом представляется в виде суммы симметрического и кососимметрнческого операторов (ср. пример 5.1.1). Имеется мультипликативный аналог этого разложения, в котором косо- симметрический оператор заменяется ортогональным (почему так происходит, станет ясно в гл. 12). Теорема 4. Всякий невсчрожденный линейный оператор в евклидовом пространстве единственным образом представляется в виде произведения положительно определенного симметрического и ортогонального операторов. Такое представление линейного оператора называется его полярным разложением.
Перед тем как доказывать эту теорему, докажем следующее Предложение 3. Всякий положительно определенный симметрический оператор В единственным образом представляется в виде В= С', где С вЂ” также положительно определенный симметрический оператор. Доказательство. Пусть Л„...,Л, — (различные) собственные значения оператора В и 1;,..., У вЂ” соответствующие собственные подпространства. По условию Л,. положительны. Положим рч = ч/Л, (арифметическое значение корня). Тогда линейный оператор С, действующий в У как умножение на р,, удовлетворяет Условиям предложения.
(В частности, он симметричен, поскольку его матрица в ортонормированном базисе, составленном из собственных векторов оператора В, диагональна.) Обратно, пусть оператор С удовлетворяет условиям предложе- ниЯ. Пусть р„..., р, — его (различные) собственные значения 234 Гл. 6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ и И'„ ..., И', — соответствующие собственные подпространства.
Тогда оператор С' = В действует на И',. как умножение на 1»з. Следовательно, при подходящей нумерации р,' = А« и И« = У. Это показывает, что оператор С определен однозначно. П Доказательство теоремы 4. Пусть А — невырожденный линейный оператор. Предположим, что А= СО, где С вЂ” по. ложительно определенный симметрический, а Π— ортогональный операторы.
Тогда АА' = СОО*С' = С'. Ввиду предложения 3 этим однозначно определяется оператор С, а тем самым и О, Обратно, из равенства (л, АА*у) = (А'л, А'у) и невырожденности оператора А (и, значит, А*) следует, что АА' — положительно определенный симметрический оператор.
Пользуясь предложением 3, найдем такой положительно определенный симметрический оператор С, что АА' = С~, и положим О =С 'А. Тогда А=СО и .4А* = СОО'С = Сз, откуда после сокращения на С получаем, что ОО* =Е, т.е. О— ортогональный оператор. П ПРНмЕР 5. Всякую деформацию твердого тела с закрепленной точкой в первом приближении можно рассматривать как невырожденный линейный оператор. Пусть А=СΠ— полярное разложение этого оператора. Тогда Π— это поворот вокруг некоторой оси, который не является истинной деформацией в том смысле, что он не приводит к возникновению каких-либо напряжений в теле.
С другой стороны, оператор С по теореме 1 есть комбинация растяжений (или сжатий) в трех взаимно перпендикулярных направлениях и тем самым представляет собой «чистую деформацию». Именно этот оператор„называемый тензором деформации, участвует в формулировке закона Гука.
ЗАДАЧА 2. Доказать, что всякую матрицу А Е Й1„(К) можно представить в виде А = О, ОО, где О„О, — ортогональные матрицы, а Р— диагональная матрица с положительными элементами. Насколько однозначно такое представление? Аналогичная теория имеется для линейных операторов в эрмитовом пространстве, причем она даже проще, так как в эрмитовом пространстве всякий линейный оператор имеет собственный $ 3.
линейные ОпеРАтОРы В еВклиДОВОм пРОстРАнстВе 235 вектор. Изложим ее вкратце, опуская доказательства, аналогичные приведенным выше в евклидовом случае. Для любого линейного оператора А в эрмитовом пространстве определяется сопряженный оператор А' по формуле (20). Если оператор А в некотором ортонормированном базисе имеет матрицу А, то оператор А* в том же базисе имеет матрицу А'. (Напомним, что А" =А .) Линейный оператор А называется эрмитовым (соответственно косоэрмитовым, унитарным), если А' = А (соответственно А' = — А, А' =А-'). Это эквивалентно тому, что его матрица в ортонормированном базисе эрмитова (соответственно косоэрмитова, унитарна), Эрмитовы операторы называют также самосопряженными. Для любого из этих типов линейных операторов доказывается существование ортонормированного базиса из собственных векторов.
При этом собственные значения эрмитова оператора вещественны, косоэрмитова — чисто мнимы, а унитарного — по модулю равны единице. Докажем, например, что собственные значения эрмитова оператора А вещественны. Пусть е — собственный вектор оператора А с собственным значением Л. Тогда Л(е, е) = (Ае, е) = (е, Ае) = Л(е, е), откуда Л = Л. Формула (19) устанавливает биекцию между множествами эрмитовых операторов и эрмитовых полуторалинейных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
