1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Если все угловые миноры матрицы эрмитовой полуторалинейной функции отличны от нуля, то можно так же, как в случае билинейной функции, провести ортогонализацию базисных векторов и получить отсюда метод Якоби для определения индексов инерции по знакам угловых миноров. В частности, имеет место аналог критерия Сильвестра: эрмитова квадратичная функция положительно определенна тогда и только тогда, когда все угловые миноры ее матрицы положительны. Комплексным аналогом евклидовых пространств являются эрмитовы пространства. Эрмитовым пространством называется комплексное векторное пространство, в котором фиксирована некоторая положительно определенная эрмитова полуторалинейная функция, называемая скалярным умножением и обозначаемая (, ).
ПРИМЕР 1. Пространство С" со скалярным умножением (х, у) = х, р, +... + х„у„. ПРимеР 2. Пространство непрерывных комплекснозначных функций на отрезке 10, 1) со скалярным умножением 1 (Хр)=)У(х)И )дх. о 4 5. ЭРМИТОВЪ| ПРОСТРАНСТВА 213 В эрмитовом пространстве определяется длина вектора по формуле 1х! = ь/(х, х). В нем выполняются неравенство Коши — Буняковского |(х, у)1< |х||у) н неравенство треугольника |х + у! < |х( + |у( (докажите их). Базис (е„..., е„) эрмитова пространства называется ортонормированным, если в этом базисе скалярное умножение имеет нормальный вид, т.е.
если (е,, е,) = би. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому удовлетворяет условию С' = С '. Такие комплексные матрицы называются унитарными. ЗАДАНА 1. Записать условие унитарности матрицы через матричные элементы двумя способами. Заметим, что определитель унитарной матрицы С по модулю равен 1.
В самом деле, беря определитель от обеих частей равенства С" С = Е, получаем с1е1 С де1 С = 1, а это и означает, что ~ Йе1 С~ = 1. Так же, как и в случае евклидова пространства, для любого подпространства У эрмитова пространства Ъ' получаем разложение У= УЮ У~. Если (е„..., е„) — ортогональный базис подпространства У, то ортогональная проекция вектора х е Т" на У может быть найдена по формуле (со х) (Обратите внимание на отличие этой формулы от формулы (23).) В эрмитовом пространстве также справедливы аналоги теорем 4.2 и 4.3. С математической точки зрения эрмитовы пространства полезны по той же причине, что и комплексные числа.
Это станет ясным в следующей главе. С физической точки зрения эрмитовы пространства необходимы для построения адекватной квантово-механической картины мира. Глава 6 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Теория линейных операторов — это ядро линейной алгебры и главный источник ее многочисленных приложений. Как и билинейная функция, линейный оператор в конечномерном векторном пространстве задается квадратной матрицей, так что в каком-то смысле это объекты одинаковой сложности (но, конечно, симметрическая или кососимметрическая билинейная функция проще, чем произвольный линейный оператор). Мы сохраняем соглашения, принятые во введении к предыдущей главе.
2 1. Матрица линейного оператора Определение 1. Линейным оператором (или линейным преобразованием) в векторном пространстве T называется линейное отображение пространства У в себя. Более подробно, линейный оператор — это отображение А: У— У, удовлетворяющее условиям: 1) А(х+ у) =Ах+Ау для любых х, уе У; 2) А(Лх) = ЛАх для любых х е У, Л е К (Мы обычно будем обозначать линейные операторы рукописными буквами.) Если в пространстве Ъ' выбран базис (е„..., е„), то линейный оператор может быть задан матрицей. Определение 2. Матрицей линейново оператора А в базисе (е„..., е„) называется матрица А =(аи), определяемая из равенств Ает = ~', аие, 1 Иначе говоря, в т'-м столбце матрицы А стоят координаты вектора Аез в базисе (е„..., е„). (Обратите внимание, что, в отличие от определения матрицы линейного отображения, в этом определении фигурирует только один базис!) $1.
МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА 215 Равенства (1) можно переписать в следующей матричной форме: (Ае„..., Ае„) = (е„..., е„)А (2) (Ср. определение матрицы перехода в гл. 2, формула (7).) Очевидно, что для любых векторов Д„ ..., ~„ Е Тг существует единственный линейный оператор А, переводящий базисные векторы е„ ..., е„ в Дп ...,у„ соответственно. Это оператор, переводащий каждый вектоР х = 2,'х е,. в вектоР 2; х,.го Следовательно, линейный оператор однозначно определяется своей матрицей, и любая квадратная матрица порядка и является матрицей некоторого линейного оператора (в данном базисе). Найдем явное выражение координат образа у = Ах вектора х. ПРи х = 2"хает имеем у=~',хАе, =~, 'авхе, =Я уе,, где (3) Если обозначить через Х и У столбцы координат векторов х и у соответственно, то равенства (3) можно переписать в следующей матричной форме: У=АХ.
(4) (Ср. формулу (8) преобразования координат в гл. 2.) Выясним, как преобразуется матрица линейного оператора при переходе к другому базису (е,',..., е„') = (е„..., е„)С В силу линейности оператора А имеем (Ае,',..., Ае„') = (Ае„..., Ае„) С = =(е„..., е„)АС =(е,',..., е„')С 'АС Таким образом, если обозначить через А' матрицу оператора А в базисе (е,',..., еД, то А'= С 'АС (5) Перейдя к другому базису, матрицу линейного оператора часто можно привести к более простому виду. В частности, такая возможность открывается, если известно какое-либо инвариантное подпространство.
Определение 3. Подпространство У с У называется инвариантным относительно оператора А, если АУсУ (т, е. Аи Е У для любого и е У). 216 Гл. В. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Ограничение А~в линейного оператора А на инвариантное подпространство У является линейным оператором в У. Если базис (е„..., е„) пространства У выбран таким образом, что У = (е„..., е,) (а это всегда можно сделать), то матрица оператора А в этом базисе имеет вид О С (6) где  — матрица оператора А~о в базисе (е„..., е ), С— квадратная матрица порядка и — к и  — какая-то матрица размера й х (п — к).
Обратно, если матрица оператора А в базисе (е„ ..., е„) имеет вид (6), где  — квадратная матрица порядка й, то У = (е„ ..., е,) — инвариантное подпространство. Еще лучше обстоит дело, когда пространство У удается разложить в прямую сумму двух инвариантных подпространств У и И'. Если (е„..., е,) — базис надпространства У, а (е,„„..., е„)— базис подпространства И', то (е„ ..., е„) — базис пространства У и в этом базисе матрица оператора А имеет вид О С (7) где  — матрица оператора А~о в базисе (е„ ..., е,), а С— матрица оператора А~, в базисе (е,„„ ..., е„). Более общо, если пространство Ъ" разложено в прямую сумму к инвариантных подпространств Ъп Ъ;,..., Ъ'„, то в базисе пространства У, составленном нз базисов этих подпространств, матрица оператора А имеет вид А, 0 А= Аг (8) 0 П(а) сов а — в1п а 1 в1п а сов а / ' (9) где А, — матрица оператора А~„, П РизвеР 1.
Поворот на угол а является линейным оператором в В' (см. пример 2.3.1). В примере 2.3.5 мы доказали, что его матрица в ортонормированном базисе (е„е ) есть матрица 217 $1. МАТРИ11А ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА В частности, поворот на — имеет в таком базисе матрицу 2 Найдем его матрицу А' в базисе (10) е,' =2е, е',=е! — е. Как видно из рис. 1, Ае,' = -е,' — 2е', Ае~ = е,' + е'. Это означает, что А'= Матрица А' может быть, конечно, найдена и по формуле (5).
Из формулы (10) получаем С'= 2 2 Рис 1 Следовательно А'= 2 й 1 О 2 — 1 и и 0 1 — 2 1 П РимеР 2. Аналогично, поворот вокруг какой-либо оси на угол а является линейным оператором в Ез, В ортонормированном базисе (е„е„е ), при условии, что вектор е направлен по оси поворота, матрица этого оператора имеет вид /сова — вада 01 ! П( А =1 в(па сова 0~ = ~ 0 0 1 Этот вид согласуется с разложением пространства Ез в прямую сумму двух инвариантных подпространств: Ез ( (11) ПРИМЕР 3. В примере 2.3.2 мы рассматривали ортогональное проектирование на плосхость как линейное отображение пространства Е' в пространство векторов этой плоскости. Однако его можно Гл.
а. линейные ОпеРАтОРы 218 рассматривать и как линейный оператор в пространстве Ез. В ортонормированном базисе, первые два вектора которого лежат в плоскости проектирования, его матрица имеет вид А= О 1 0 Разложение (11) и в этом случае является разложением в прямую сумму инвариантных надпространств. ПРИМЕР 4. Дифференцирование — линейный оператор в пространстве многочленов.
Это пространство бесконечномерно, но оно является объединением конечномерных инвариантных подпространств, состоящих из многочленов не выше заданной степени. В базисе (1, х,хз,...,х") пространства многочленов степени не выше п оператор дифференцирования имеет матрицу 0 1 0 ... 0 0 0 0 2 ... 0 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0 и О 0 0 ... 0 0 В базисе (1, †,*„ — *,..., — *,) этот же оператор имеет более простую матрицу 0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 0 о о о ... о о (12) 0 0 0 ... 0 1 0 0 0 ... 0 0 ПРИМЕР 5. Пусть у — какое-либо биективное преобразование множества Х.
Тогда отображение у., определяемое формулой (~о„г)(х) =у(ср '(х)), (13) является линейным оператором в пространстве Р(Х, Л ) функций на Х со значениями в К. (Можно было бы действовать на аргумент функции самим преобразованием х, а не его обратным, но последнее удобнее по причине, которая будет объяснена в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
