1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Это расстояние удовлетворяет аксиомам метрического пространства, в частности, аксиоме треугольника (25) р(х, з) < р(х, у) + р(у, г). Неравенство (25) следует из неравенства ! +у!<!4+!у! (26) которое, в свою очередь, легко выводится из неравенства Коши— Буняковского (проделайте это!) Расстояние между подмножествами Х и г метрического пространства определяется по формуле р(Х, У) = !п! р(х, у). Теорема 2. Расстояние от вектора х евклидова пространства У до подпространства 5г с 1г равно !ог1,х!, причем единственным ближайшим к х вектором надпространства У является ргвх.
Доказательство. См. рис. 4, где у = рг„х, ог1„х. Для любого у' Е 5г, у'Ф у, имеем: Н* О=1*1=ф*РГ~Ь Р) > !х! = р(х, у). 0 Рис. 4 ПРИМЕР 5. В силу вычислений, проделанных в предыдущем примере, квадратным трехчленом, ближайшим к хз в смысле метрики пространства С,[0, 1), является йх — йх+ ®, причем 3, 3 1 расстояние от х до этого трехчлена равно — . з 1 20~/7 Следующая теорема дает явную формулу для расстояния от вектора х до подпространства 5г, заданного произвольным базисом (е„...,е ). 208 Гл.
5. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Доказательство. Если хе Ег, то р(х, !Г)=0 и де!С(е„... ..., е„х) =О, так что доказываемая формула верна. Пусть х ф У и з = ог1ах. Применяя теорему 3.2 к базису (е„... ..., е„,х) пространства Гг(В (х), получаем 6~ ~ ~ ВЫ О(ео..., еь, х) б~ дм с(ео..., е~) что и требовалось доказать. П Полученная формула может быть применена к вычислению объема параллелепипеда в евклидовом пространстве.
Параллелепипедом, натянутым на векторы а„ ..., а„ евклидова пространства, называется множество Р(а„...,а„)=(2 х,а,: 0(х,. (1~. Основанием этого и-мерного параллелепипеда называется (и — !)-мерный параллелепипед Р(а„..., а„,), а его высотой называется длина вектора ог1, )а„. При и =2,3 это согласуется с терминологией элементарной геометрии. Руководствуясь известными формулами для площади параллелограмма и объема трехмерного параллелепипеда, примем следующее индуктивное Определение 5. Объемом и-мерного (и > 1) параллелепипеда называется произведение объема его основания на высоту. Объемом одномерного параллелепипеда Р(а) называется длина вектора а. Объем параллелепипеда Р обозначается через чо! Р.
Теорема 4. чо1 Р(а„..., а„)з = де! С(а„..., а„). Доказательство. Докажем эту формулу индукцией по и, При и =1 она верна по определению. При и >! имеем, согласно определению, чо1 Р(а„..., а„) = чо! Р(а„..., а„,) Ь, где Ь вЂ дли вектора ог1 „ . )а„, т.е. расстояние от вектора а„ до подпространства (а„ ..., а„ ,). Используя предположение индукции и теорему 3, получаем Ь 4. ЕВКЛИЛОВО ПРОСТРАНСТВО 209 В частности, мы видим, что, хотя основание параллелепипеда и зависит от того, какой из заданных векторов мы считаем «последним», объем параллелепипеда в смысле данного выше определения зависит лишь от самого параллелепипеда.
Наряду с формулами для площади параллелограмма и объема трехмерного параллелепипеда все это служит неплохим обоснованием приведенного определения, однако по-настоящему убедительное обоснование может быть получено лишь в рамках теории меры, объясняющей, что вообще следует называть объемом множества. Пусть векторы а„..., а„выражаются через векторы какого- нибудь ортонормированного базиса (е„..., е„) при помощи матрицы А: (а„..., а„) = (е„..., е„)А. Теорема 5. то! Р(а„..., а„) = ! с$е4 А).
Доказательство следует из того, что С(а„..., а,) = АтЕА АтА и, значит Йе1 С(ао..., а„) =(де1А)~. П Доказанное равенство можно понимать как «геометрический смысл» числа ) Йе1 А!. Что касается знака числа бе1 А, то он может быть истолкован как ориентация системы векторов (а„..., а„) (по отношению к базису (е„..., е„)). Напомним, что при введении определителей порядка и в $2А мы как раз руководствовались тем, что определители порядков 2 и 3 задают ориентированную площадь параллелограмма и ориентированный объем параллелепипеда соответственно.
В $2.2 было показано, что строение векторного пространства (над данным полем) зависит лишь от его размерности. Верно ли то же самое для евклидовых векторных пространств? Для того чтобы ответить на этот вопрос, надо, прежде всего, понять, какие евклидовы пространства следует считать «одинаково устроенными» или, точнее, изоморфными. Естественно принять следующее Определение 6. Евклидовы векторные пространства»г и У называются изоморфными, если существует биективное отображение г': У-«У, являющееся изоморфизмом векторных пространств и удовлетворяющее условию (У(а), у(Ь)) =(а, Ь) 1»а, Ь б К Само отображение У' называется при атом изоморфизз«ом пространств»т и у.
210 Гл. З. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Ясно, что изоморфными могут быть только евклидовы пространства одинаковой размерности. Оказывается, верно и обратное. Теорема 6. Любые два евклидовых векторных пространства одинаковой (конечной) размерности изоморфны. Доказательство. Пусть У и У вЂ” какие-то и-мерные евклидовы пространства. Выберем в них ортонормированные базисы (и„..., и„) и (и„..., и„) соответственно, и пусть г: У вЂ” Ег — изоморфизм векторных пространств, переводящий и,. в и, (г =1,..., и). Тогда ( г(и,.), г(иг)) = (и,, из) = бп = (то иг), откуда по линейности вытекает, что У(а), У®) = (, Ь) для любых а, Ь Е У. П В частности, любое двумерное (соответственно трехмерное) евклидово пространство устроено совершенно так же, как Е' (соответственно Е'). Пользуясь этим, в тех случаях, когда рассматриваемые векторы лежат в двумерном или трехмерном подпространстве, для доказательства каких-либо утверждений о них можно привлекать теоремы элементарной геометрии.
Например, таким способом можно доказать неравенство Коши — Буняковского (19), неравенство треугольника (25) и теорему 2. у б. Эрмитовы пространства При желании ввести метрику в комплексном векторном пространстве подобно тому, как это делается в вещественном пространстве, мы наталкиваемся на ту трудность, что в комплексном пространстве не существует положительно определенных квадратичных функций. Эту трудность можно обойти, введя в рассмотрение так называемые полуторалинейные функции (не очень удачный термин, но лучшего не придумано).
Определение 1. Пусть У вЂ” комплексное векторное пространство. Функция ок У х Ъ'- С называется полуторалинейной, если она линейна по второму аргументу н антилинейна по первому. Последнее означает, что гг(х, + хз, у) = а(х„у) + а(хз, у), а(Лх, у) = Л а(х, у). ЗАМЕЧАНИЕ 1. Иногда требуют, чтобы полуторалинейная функция была, наоборот, линейна по первому аргументу и антилинейна по второму.
211 $5. ЭРМИТОВЫ ПРОСТРАНСТВА Теория полуторалинейных функций аналогична теории билинейных функций. Поэтому мы изложим ее кратко, останавливаясь более подробно лишь в тех местах, где имеется существенное различие. Пусть (е„ ..., е.) — базис пространства Ъ'. Полуторалинейная функция а определяется числами ае — — а(е,, ет). А именно, а(х, У) = 2, аех, У,. (27) Матрица А = (ае) называется матрицей функции а в базисе (е„..., е„). При переходе к другому базису (е,',..., е„') = (е„..., е„)С она преобразуется по правилу (28) А'= С'АС вЂ” т где С' = С . (Черта обозначает комплексное сопряжение, примененное ко всем элементам матрицы С.) Функция а называется невырожденной, если Кег а Ф (у е Ъ'. а(х, у) = О тх е У) = О.
Это равносильно невырожденности матрицы А. Полуторалинейная функция а называетсяяэрмитовой (соответственно косоэрмитовой), если а(у, х) = а(х, у) (соответственно а(у, х) = -а(х, у)). При умножении эрмитовой функции на в' получается косоэрмитова функция, и наоборот. Функция а является эрмитовой (соответственно косоэрмитовой) тогда и только тогда, когда ее матрица А удовлетворяет условию А* = А (соответственно А' = — А). Такие матрицы называются эрмитовыми (соответственно косоэрмитовыми). Заметим, что диагональные элементы эрмитовой матрицы вещественны, а косоэрмитовой — чисто мнимы. Каждой эрмитовой полуторалинейной функции а соответствует эрмитова квадратичная функция д(х) = а(х, х). Легко видеть, что все ее значения вещественны. Соотношения д(х+ у) = д(х) + д(у) + а(х, у) + сг(у, х), а(х+ еу) = е(х) + д(у) + га(х, у) — (а(у, х) позволяют восстановить а по е.
В частности, если д ввО, то и сг =О. 212 Гл. 5. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Пусть о — эрмитова полуторалинейная функция. Так же, как в случае симметрических билинейных функций, определяется ортогональность векторов и ортогональное дополнение к подпространству относительно о. Имеет место аналог предложения 3.2. С его помощью доказывается, что всякая эрмитова полуторалинейная функция и одновременно соответствующая ей квадратичная функция приводятся к нормальному виду о(х, и) = х, у, +...
+ х у — х,,, уь,, —... — х,, у, (29) о(х) = (х(~+... + )х,( — )х„„,~ —... — )х„„!'. Эрмнтова квадратичная функция ц (н соответствующая ей эрмитова полуторалинейная функция) называется положительно определенной, если о(х) ) О при х ~ О. Это имеет место тогда и только тогда, когда в нормальном виде (29) к = и, 1 = О. В общем случае имеет место закон инерции, утверждающий, что числа к и 1 определены однозначно. Они называются положительным и отрицательным индексами инерции функции о. Так как для всякой комплексной матрицы де1 А* = де1 А, то определитель эрмитовой матрицы всегда веществен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
