1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Предложение 1. Отображение дУ: Я вЂ” Я" является аффинным, причем д(И) = дд Ч (15) Доказательство. При ре Я, хЕ Ъ' имеем (д| )(р + х) = дЦ(р + х)) = д(7(р) + Ц(х)) = = д(У(р))+ дд(дУ(х)) =(дУНр)+ (дд аУ)(х). СЭ При К = К дифференциал аффинного отображения есть частный случай дифференциала произвольного гладкого отображения, рассматриваемого в анализе, а формула (15) есть частный случай формулы для дифференциала произведения гладких отображений (или есложной функцииэ), Предложение 2. Аффинное отображение биективно тогда и только тогда, когда его дифференциал биективен.
Доказательство. Выберем начала отсчета о и о' в пространствах Я и Я' таким образом, чтобы У(о) = о'. Тогда отображение 7' в векторизованной форме будет совпадать со своим дифференциалом, откуда и следует доказываемое утверждение. П з 3. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ДВИЖЕНИЯ 275 Биективное аффинное отображение называется изоморфизмом аффинных пространств. Аффинные пространства называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм. Следствие. Конечномерные аффинные пространства (над одним и тем же полем) изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.
Очевидно, что при аффинном отображении у': Я вЂ” Я' всякая плоскость Р = р + У пространства Я переходит в плоскость У(Р) = У(р) + а)'(Ег) пространства Я'. Если у биективно, то дпп у(Р) =Йщ Р, Аналогично предложению 1.2 доказывается, что У(Т.Л,р,) =Т.Л,.У(р,) для любой барицентрической линейной комбинации ~;Л,р,. точек р„..., Р„Е Я. В частности, центр тяжести системы точек прн аффинном отображении переходит в центр тяжести системы их образов.
Аффинное отображение аффинного пространства Я в себя называется аффинным преобразованием. Биективные аффинные преобразования образуют группу, называемую полной аффинной группой пространства Я и обозначаемую через ОА(Я). (Это согласуется с тем определением, которое было дано в $4.2 в векторной форме.) В силу предложения 1 отображение Ы: ОА(Я) — И.( 1/) является гомоморфизмом групп. Его ядро есть группа параллельных переносов т„: р р+а (аЕ Ъ"), Обозначим ее через Тгзп Я.
Предложение 3. Для любых Г" Е ОА(Я) и а Е У имеем = гац и (16) Доказательство. Применяя преобразование Ут.У ' к точке у =,1'(р), получаем Ут У '(д) =)1,(р) =~(у+ а) =Г(р)+ аГ(а) = у+ ф(а). П Конечно, не удивительно, что преобразование ут.Г ' оказалось параллельным переносом: ведь подгруппа Тгап Я с бА(Я), будучи ядром гомоморфизма, должна быть нормальной. 276 Гл. 7. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Если фиксировано начало отсчета о Е Я и тем самым аффинное пространство о отождествлено с векторным пространством то группа И(г') становится подгруппой группы СзА(о). Это не что иное, как стабилизатор точки о в группе СзА(о).
Из записи аффинных преобразований в векторизованной форме (13) следует, что всякое аффинное преобразование 7 Е 6А(Я) единственным образом представляется в виде Г=~,р ( Еж(т), ЬЕЪ). (17) Ясно, что р = аг' не зависит от выбора начала отсчета, но вектор Ь = о7(о) от этого, вообще говоря, зависит.
ЗАДАЧА 1. Доказать, что при переходе к началу отсчета о' = = о+ а (а е 17) вектор Ь заменяется на вектор Ь' = Ь+ Ф(а) — а. (18) ПРимеР 1. Согласно предложению 4.2.2, всякое движение евклидовой плоскости Е' является (биективным) аффинным преобразованием. То же верно для евклидова пространства Е'. ПРИМЕР 2. Гомотетил с центром в точке о и коэффициентом Л есть аффинное преобразование, задаваемое формулой Г(о+ х) = о+ Лх. Ясно, что й1'= ЛЕ.
Докажем, что всякое аффинное преобразование г", для которого а7" = ЛЕ (Л ~ 1), есть гомотетия с центром в некоторой точке. Для этого достаточно доказать, что 7" имеет неподвижную точку. Запишем 7 в векторизованной форме: )'(х) = Лх+ Ь (Ь Е Ъ ). Уравнение 7(х) = х приводится к виду (1 — Л)х = Ь, и, следовательно, имеет (единственное) решение. Гомотетия с коэффициентом — 1 называется центральной симметрией.
3 АдАЧА 2. Доказать, что произведение гомотетий с центрами в разных точках с коэффициентами Л и р при Лр Ф1 есть гомотетия, а при Лр = 1 — нетривиальный параллельный перенос. Группа аффинных преобразований определяет аффинную геометрию в том смысле, что задачей аффинной геометрии является $3. АФФинные пРеОБРА30ВАния и движения 277 изучение свойств фигур, инвариантных при (биективных) аффинных преобразованиях.
Так как при таких преобразованиях любая плоскость переходит в плоскость той же размерности, а любая барицентрическая линейная комбинация точек — в барицентрическую линейную комбинацию их образов с теми же коэффициентами, то понятия плоскости и барицентрической комбинации точек, а следовательно, понятия параллельных прямых, параллелограмма, отрезка, середины отрезка, центра тяжести системы точек, выпуклого множества, симплекса и т. д.
относятся к числу понятий аффинной геометрии. Но, например, понятия квадрата и окружности к числу таковых не относятся, так как при аффинном преобразовании квадрат может перейти в параллелограмм, не являющийся квадратом, а окружность — в эллипс, не являющийся окружностью. Следующая теорема показывает, что в аффинной геометрии все симплексы равны (например, на аффинной плоскости все треугольники равны). Теорема 1. Пусть (р„р„...,р„) и (д„у„...,д„) — дее системы аффинно независимых точек е и-мерном аффинном пространстве У. Тогда существует единственное аффинное преобразование У, переводящее р, в д, при 1 = О, 1,..., и.
До каз а тельство. Существует единственное линейное преобразование р пространства Ъ', переводящее базис (д,р„ ..., д,р„) в базис (д,д„ ..., д,~„). Векторизуем пространство о, приняв за начало отсчета точку р . Тогда искомое аффинное преобразование ,7 записывается в виде У( ') = р(х) + р,у,. ЗАДАЧА 3. Доказать, что в вещественной аффинной геометрии все параллелепипеды равны.
ЗАЕАЧА 4. Пусть ЄЄР,', Р,' с Я вЂ” плоскости с направляющими подпространствами Е~„0;, О, ЕГ,' соответственно. Предположим, что Йт Р, = Йш Р,', Йш Р, = Йш Р,', Йт Ц О б; = Йт Ц' й Щ и пересечения Р, й Р, и Р,' и Р,' пусты или непусты одновременно. Доказать, что тогда существует преобразование У Е ОА(8), переводящее Р, в Р,' и Рз в Р,'. В аффинной геометрии не существует понятия расстояния между точками, так как любую пару различных точек с помощью аффинного преобразования можно перевести в любую другую такую пару.
Однако при аффинных преобразованиях сохраняется так называемое отношение тройки точек, лежащих на одной прямой. 278 Гл. 7. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЪ|Е ПРОСТРАНСТВА Пусть точки р„р„р лежат на одной прямой 1. Тогда, если р, ~р„то р,р, = ср,р (с Е.К). Число с и называется (простыв|) отношением тройки точек р„ рз, р, и обозначается через (р„ р, р ). Если р, ~ р = р, то полагают (р, р, р ) = оо.
Если р = р, = р„ то (р„ р„ р,) не определено. Если с = †, то говорят также, что точка р, делит отрезок р, р, в отношении Л: р (хотя само понятие отрезка определено только в вещественной геометрии). При Л + р = 1 это означает, что р,=рр, +Лр,. Ясно, что отношение точек р„рз, р, сохраняется при любом аффинном преобразовании, не стягивающем прямую 1 в точку (в частности, при любом биективном аффинном преобразовании).
ЗАДАЧА 5. Выяснить, как изменяется отношение тройки точек при перестановках этих точек. Какое наибольшее и какое наименьшее число различных значений оно может принимать? ЗАДАЧА б. Построить треугольник або по точкам х, у, а на его сторонах бс, са, ад (илн их продолжениях), делящих их в отношениях Л:1, |з;1, и:! соответственно (рис. 10). (Указание: рассмотреть произведение гомотетий с Ь центрами в точках х, у, д, переводящих с в 6, а в с, 5 в а соответственно. Ср.
пример 1.1.) Пусть теперь о — евклидово аффинное пространство, ассоциированное с евклидовым векторным пространством )т. Определение 2. Двихсением пространства 5 называется всякое его аффинное преобразование, дифференциал которого является ортогональным оператором. (В частности, отсюда следует, что всякое движение биективно.) Очевидно, что движение сохраняет расстояние между точками (см.
определение в $1) и, обратно, всякое аффинное преобразование, сохраняющее расстояние между точками, является движением. Замячдниз 1. На самом деле можно показать, что всякое биективное преобра. зование пространства о, сокранякппее расстояние между точками, автоматически является аффинным преобразованием и, следовательно, †движени. Движения евклидова пространства о образуют группу, обозначаемую 1зот о. Движение называется собственным (или сохраняющим ориентацию), если его дифференциал принадлежит 50(к'), и а 3 $3. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ДВИЖЕНИЯ 279 несобственным (или меняющим ориентацию) в противном случае. Собственные движения образуют подгруппу индекса 2 в !зот Н, обозначаемую !зов,Н (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
