1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 54
Текст из файла (страница 54)
е. р = о. С| Следствие. Коэффициенты Л„..., Л„, в уравнении (37) определены однозначно с точностью до перестановки и одновременного умножения на — 1. Доказательство. Как мы показали, начало отсчета, при котором уравнение параболоида приводится к виду (37), определено однозначно. Вектор е„ как единичный вектор особого направления определен однозначно с точностью до умножения на — 1, приводящего к умножению на — 1 левой части уравнения (37).
Если вектор е„фиксирован, то мы уже не можем умножить уравнение на число 297 5 5. ПРОВКТИВНЫВ ПРОСТРАНСТВА Л ф 1, не изменив его правой части; но тогда числа Л„..., Л„ определены однозначно с точностью до перестановки как собственные значения симметрического оператора, соответствующего квадратичной функции д. П Аналогично тому, как это было сделано выше применительно к аффинной классификации квадрик, полученные результаты можно интерпретировать как классификацию квадрик в евклидовом пространстве с точностью до движений. 9 б. Проективные пространства На фотографическом снимке или (реалистическом) рисунке плоской местности изображения параллельных прямых, вообще говоря, пересекаются, а изображения равных отрезков одной прямой, вообще говоря, не равны (см.
рис. 17). Это говорит о том, что отображение местности на плоскость снимка или рисунка не является аффинным. То же самое можно сказать и об изображении на сетчатке нашего глаза. Во всех этих случаях мы имеем дело с центральным проектированием. Еще одним житейским примером центрального проектирования может служить световое пятно на полу от лампы с круглым абажуром. Когда абажур направлен вертикально вниз, то граница этого пятна имеет форму окружности, как и край самого абажура. Но когда мы начинаем поворачивать абажур вокруг горизонтальной оси, эта окружность превращается в эллипс, который, вытягиваясь все больше и больше, в какой-то момент, когда его дальний край уходит в бесконечность, превращается в параболу. Когда мы продолжаем поворачивать абажур, парабола «раскрывается», превращаясь в ветвь гиперболы, и если бы мы приставили точно такой же абажур с противоположной стороны лампы,мы увидели бы другую ветвь этой гиперболы.
Таким образом, край абажура проектируется на пол то в виде эллипса, то в виде параболы, то в виде гиперболы. Отметим еще одно обстоятельство. На рисунке плоской местности изображения параллельных прямых пересекаются в точке, которая не имеет прообраза на местности (иначе прямые не были бы параллельны). С другой стороны, в тот момент, когда граница светового пятна от лампы с абажуром превращается в параболу, изображение самой высокой точки края абажура исчезает, уходя в бесконечность.
Таким образом, мало того, что центральное проектирование не является аффинным отображением, оно вдобавок не сюръективно и ие всюду определено. 298 Гл. 7. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Для изучения центрального проектирования удобно рассмотреть множество, называемое проективной плоскостью, «точками» которого являются прямые, проходящие через центр проектирования, а пересечения этих прямых с плоскостью проектирования считать изображениями соответствующих «точек». При этом «точки», соответствующие прямым, параллельным выбранной плоскости проектирования, не получают никакого изображения. (Но они будут иметь изображение при другом выборе плоскости проектирования), Они называются «бесконечно удаленными точками» по отношению к данной плоскости проектирования.
Далее, множество «точек», соответствующих прямым, лежащим в какой-либо плоскости, проходящей через центр проектирования, естественно называть «прямой» проективной плоскости. На плоскости проектирования такая «прямая», за вычетом ее «бесконечно удаленной точки», изображается в виде обычной прямой. Рис, ! 7. Гравюра Летнего сада А.
Зубова. (Воспроизводится по книге: Вергунов А. 77., Горское В А. Русские сады и парки. — М., Наука, 1988.) 299 $5. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Единственным исключением является «прямая», соответствующая плоскости, параллельной плоскости проектирования. Она целиком состоит нз «бесконечно удаленных точек» и не получает никакого изображения. Эта «прямая» называется «бесконечно удаленной прямой» по отношению к данной плоскости проектирования. Описанную конструкцию можно интерпретировать как добавление к аффинной плоскости «бесконечно удаленных точек», составляющих «бесконечно удаленную прямую». Прн этом к каждой прямой из пучка параллельных прямых аффинной плоскости добавляется одна и та же «бесконечно удаленная точка».
В построенной таким образом «плоскости» любые две прямые пересекаются. Важно, однако, отметить, что все «точки» и «прямые» проективной плоскости равноправны. Понятие бесконечной удаленности относительно: оно зависит от выбора плоскости проектирования. Обобщая эти идеи на произвольную размерность и произвольное поле, мы приходим к следующим определениям.
Определение 1. Множество одномерных подпространств (п+ + 1)-мерного векторного пространства Ъ' над полем К называется п-мерным проективным пространством над К и обозначается РЪ'. Для всякого (й + 1)-мерного подпространства сГ с Ъ' подмножество РБ С РЪ' называется к-мерной плоскостью пространства РУ. В частности, нульмерные плоскости — это точки пространства РЪ', одномерные плоскости называются прямыми, (и — 1)-мерные — гиперплоскостями. Очевидно, что пересечение плоскостей, если только оно не пусто, также является плоскостью.
Пространство РК'-', построенное указанным образом по пространству строк К"»', обозначается также КР". Для всякого ненулевого вектора х е У мы будем обозначать через х одномерное подпространство (х), рассматриваемое как точка пространства РЪ'. Пусть Я вЂ” какая-либо гиперплоскость пространства Ъ', не проходящая через нуль, и Ъ'— се ее направляющее подпространство.
Определим отображение ч»г: РЪ'', РУ вЂ” Я ставящее в соответствие каждой точке х Е РЪ'',РУг (хЕ Ъ'", Ъг) точку пересечения прямой (х) с Я (см. рис. 18). Рис. 18 300 Гл. 7. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение 2. Гиперплоскость Я вместе с отображением «» называется аффинной картой пространства РЪ'. Точки гиперплоскости РЪ; пространства Р)г называются бесконечно удаленными по отношению к аффинной карте Я. ЗАМЕЧАНИЕ 1.
Термин «аффинная карта» вполне согласуется с обычным употреблением слова «карта». Точно так же, как географическая карта представляет собой отображение части земной поверхности на лист бумаги, аффннная карта представляет собой отображение части проективного пространства на аффинное пространство. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Отождествляя точки проективного пространства с нх изображениями на аффинной карте, мы иногда будем говорить об аффинной карте как о части проективного пространства. Имея это в виду, можно сказать, что проективное пространство получается из аффннного пространства добавлением бесконечно удаленных точек. Каждая й-мерная плоскость пространства РЪ', не лежащая целиком в РЪю за вычетом ее бесконечно удаленных точек изображается е-мерной плоскостью на аффинной карте Я.
Плоскости, целиком лежащие в РЪ', называются бесконечно удаленными по отношению к Я. Однородными координатами точки х е Р'К называются координаты вектора х в каком-либо выбранном базисе пространства Ъ'. Однородные координаты точки определены лишь с точностью до одновременного умножения на число Л ф0. Этим они отличаются от координат в привычном смысле слова. Кроме того, они не могут быть равны нулю одновременно. Точка с однородными координатами т,х„ ...,х„ обозначается (х: х,:...:х„). Неоднородными координатами точки пространства РЪ' называются аффинные координаты ее изображения на какой-либо аффинной карте.
В отличие от однородных координат, неоднородные координаты точки определены однозначно, но они могут быть вообще не определены, а именно, они не определены для точек, бесконечно удаленных по отношению к выбранной аффинной карте. Установим связь между однородными и неоднородными координатами. Пусть (е, е„..., е„) — базис пространства Ъ'. Рассмотрим аффинную карту Я~ = ее + (е„..., е,) (38) (см. рис.
19). Изображением точки х = (хе. х,:...: х„) на Яе служит точка х„ е + — е +...+ — "е *о' о $5. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА аффинные координаты которой относительно репера (ео; е„..., е„) суть -ь,..., — ". Таким образом, при указанном выборе аффинной о о карты и репера неоднородными коор- «о «т о динатами точки (х: х,:...: х») служат Ж~ Х отношения —,..., — ". Точки с х = 0 о о являются бесконечно удаленными по «т отношению к Яо. О ~! Аналогично, неоднородными координатами точки х на аффинной карте (39) г х х«1 х 1 х служат отношения ~, —,..., — ', — *,..., -л. Точки с х, = 0 являются бесконечно удаленными по отношению к Я« Отметим, что карты Яо, Я„..., Я„составляют «атлас» в том смысле, что они покрывают все пространство РЪ'.
ЗАДАЧА 1. Доказать, что не существует атласа пространства РЪ' из меньшего числа карт. ЗАДАЧА 2. Пусть у„..., у„— неоднородные координаты изображения точки х Е РЪ' на карте Яо. Найти ее неоднородные координаты на карте Я,. Теорема 1. Через любые !«+1 точек проективного пространства проходит плоскость размерности < к, причем, если эти точки не содержатся в плоскости размерности < 1о, то через них проходит единственная плоскость размерности к. Доказательство. Перевод утверждения теоремы на язык векторных пространств есть следующее очевидное утверждение: любые й + 1 векторов содержатся в подпространстве размерности < к + 1, и если они не содержатся в подпространстве размерности < !«+1, то они содержатся в единственном подпространстве размерности к+1.
П Теорема 2. Пусть П, и П вЂ” плоскости п-мерного проективного пространства. Если д!гп П, + йнп По > п, то П, г! П, ~ И, причем д!щ(П, ППо) >йшП, +йшП» — п. (40) Например, любые две прямые проективной плоскости пересекаются. Доказательство. Если П, = РЦ, П, = Р(4, то йш Ц +йш Ц, =йгпП, +йш П, +2 > и+2 > йш Ъ'. 302 Гк 7. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Следовательно, Ег пиО и, значит, П, йПт=Р(ЦО(гз)~О. Более точно, йгп( У, п У,) > йпг Ц + йгп У, — йгп Ъ", откуда следует (40).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
