1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 57
Текст из файла (страница 57)
З Гз = се 4 К ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 313 Тензорное произведение единственно в следующем смысле: если (Т„З,) и (7;, З,) — два тензорных произведения пространств Тг и Иг, то имеется (единственный) изоморфизм ~Р: Т, — Т„ удовлетворяющий условию (2) для любых л Е И, у Е И'. В самом деле, искомый изоморфизм можно построить, задав его на базисных векторах по формуле ф(е,З,~,) = е,З,~,. По соображениям линейности условие (2) будет тогда выполняться для любых л Е И, у Е И'. Тензорное произведение векторных пространств И и Иг обозначается через Ъ'ЗИ", а при необходимости указать основное поле— через 1Г ® Иг. Из определения следует, что в конечномерном случае йт(У З Иг) = йгп И йт Иг. (3) ПРимеР 1.
Рассмотрим билинейное отображение З: Л [х] х К[у] — К[а, у], определяемое по формуле Так как произведения х* З у' = х'д' (1, т = О, 1, 2,...) составляют базис пространства К[х, р], то К[л, у] = К[х]®К[у]. Аналогично, К[х, >..., л, у„..., у„] = К[л„..., л ] З К[у„..., у„]. (4) В следующих двух примерах Ъ' и И' — конечномерные векторные пространства с базисами (е„ ..., е„) и Ц,..., Д„,).
Через (е„ ..., е„) и (О„ ..., 0 ) обозначаются сопряженные базисы пространств Ъ" и И"' соответственно. ПРимЕР 2. Для любых ег Е Ъ" и и Е И" определим линейное отображение гт ® у из И в Иг по формуле ( З р)( ) = о(л) р. Мы получим билинейное отображение ®: И* х Иг — Нот(У; Иг). Легко видеть, что е, З~, — зто линейное отображение, задаваемое 314 Гл. 8.
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА матрицей Ел. Так как такие матрицы составляют базис простран- ства всех матриц размера т х и, то (б) Нот(T; И') = 1'" З И' П Р ние Р 3. Для любых а е У* и 13 е И" определим билинейную функцию а З13 на У х И/' по формуле (а З 1т)(х, у) = о(х) 9(у). (7) Мы получим билинейное отображение З: И*Э И" — Нога(Ъ; И'; К).
При этом (е, З Вз)(х, у) = х,.у,, где х„..., х„и у„...у„— координаты векторов х и у соответственно. Так как всякая билинейная функция Т на У х И' однозначно представляется в виде ч(х, у) = ~;с„х,.у,, то функции с,.З Вт составляют базис пространлз ства Нога(У Иг; Х). Следовательно, Нога(У Иг; К) = И*Э И'". Свойство универсальности тензорного произведения, о котором говорилось в начале этого параграфа, выражается в следующем. Предложение 2. Для любого билинейного отображения р: У х И~ — П существует единственное линейное отображение Ф: ИЗ И'- У, такое, что р(х у) = Ф(х З у) для любых х ~ У, у ~ И'.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Искомое линейное отображение задается на базисных векторах пространства У З И' по формуле ф(е, З~,) = у(е„~,). С) Каждый элемент г Е И З И" единственным образом представляется в виде х = 2; гие,. З Гз (ге Е К). (10) ьт Числа гь называются координатами элемента г относительно заданных базисов пространств У и И'.
В частности, в конечно- мерном случае элемент г задается матрицей (ае) размера т х и, где от =дпп И, и =бпп Иг. $ Е ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 315 Элемент х Е И З И' называется разлохсимым, если он представляется в виде з=хЗу (хЕЪ',убИ). (11) Ясно, что если х=2, х,е,, у=~ у,.~,, то х„.=х,у, В конечномерном случае это означает, что г1(з,,) ( 1. Таким образом, разложимые элементы, хотя они и порождают пространство ИЗ И', составляют весьма малую его часть (за исключением случаев, когда У или И' одномерно). ЗАДАЧА 1. Доказать, что представление ненулевого разложи- мого элемента х Е И З И' в виде (11) единственно с точностью до замены х~ Лх, у» Л 'у(Л еК').
Часто бывают полезны и другие представления элемента тензорного произведения, вытекающие из предложения 1. А именно, всякий элемент х Е ИЗ И~ единственным образом представляется в виде х = 2 е, З у,. (у, Е И'), (12) а также в виде х=~х,З~, (х,ЕУ). (13) ЗАДАЧА 2. Доказать, что всякий элемент х Е У З И' представляется в виде х= 2 "«З~4 (14) 1=! где векторы и„..., и„Е И, а также векторы ~о„..., ю„Е И' линейно независимы. Такое представление единственно с точностью до замены еь ~-~ 2, оно„ ! где А = (ан) и В = (Ьн) — невырожденные квадратные матрицы порядка г, связанные соотношением А тВ = Е.
Число г равно рангу матрицы координат элемента з, Важным применением тензорного умножения является операция расширения основного поля, с простейшим частным случаем которой — комплексификацией вещественного векторного пространства — мы уже встречались в $ 6.2. Пусть У вЂ” векторное пространство над полем К и Х, — какое- либо расширение поля К, т,е. поле, содержащее К в качестве подполя. Рассматривая 5 как векторное пространство над К, мы можем образовать тензорное произведение Ъ(Ь) =Е ® И 316 Гл. 8. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА Согласно определению, это векторное пространство над К. Однако его можно превратить в векторное пространство над Ь, определив умножение на элементы поля Ь по правилу Л(р З э) = Лр З о (Л, и Е Х, о Е И). Исходное пространство И можно считать вложенным в ~'(Ь), отождествив каждый вектор э Е И с вектором 1 З е Е Ъ'(Ь).
При таком соглашении Л З о = Ло. Рассматривая разложение элемента У(Ь ) по базису второго множителя, мы получаем, что всякий базис пространства И над К является базисом пространства Ъ'(5 ) над Ь . Однако смысл расширения основного поля заключается в том, что в пространстве Ъ'(Ь ) существуют и другие базисы, в которых изучаемые объекты (например, линейные операторы) могут иметь более простой вид. С другой стороны, если (О,: ь' 6 1) — базис 1, над К, то всякий вектор пространства Ъ'(Ь ) однозначно представляется в виде ~; В,э„ где о, (1 е 1) — какие-то векторы пространства И (лишь конечное число которых отлично от нуля). Например, всякий вектор комплексификации Тг(С) вещественного векторного пространства И однозначно представляется в виде х + юу, где х,уЕ И. Операция тензорного умножения векторных пространств в определенном смысле коммутативна и ассоциативна.
А именно, для любых векторных пространств И и И' имеется изоморфизм (15) при котором х ® у (х Е У, у Е И') переходит в у З х. В самом деле, искомый изоморфизм определяется условием, что базисные ВЕКтсрЫ е, З Гт ПрОСтраНСтна T З И' ПЕрЕХОдят В СООтВЕтСтВуЮщИЕ базисные векторы г",. ® е,. пространства И' З И.
Аналогично, для любых векторных пространств У, У; И имеется изоморфизм (У З У) З Иг: УЗ(ИЗ И), (16) при котором (хЗу)Зз (л Е У, у Е У, з Е И ) переходит в хЗ(уЗз). Отождествляя пространства (У З И) З И' и У З (У З И~) при помощи изоморфизма (16), мы можем говорить о тензорном произведении любого конечного числа векторных пространств 1;, У',..., Ъ'„, не указывая расстановки скобок. Индукция по р показывает, что всевозможные тензорные произведения базисных векторов пространств Ъ;,..., Ъ; составляют базис пространства $ Е ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 31? Ъ; З...
З 1~. С другой стороны, это свойство можно принять за определение Ъ; З... З Ъ;, т. е. можно сразу определить тензорное произведение нескольких векторных промтранств так же, как это было сделано для двух пространств (заменив билинейное отображение р-линейным). В силу предложения 2 имеется изоморфизм Нога(И З И', У):. Нот(У Иг; У), (1?) переводящий линейное отображение ф: ~Г ® Иг — У в билинейное отображение р: У х И'- У, определяемое равенством (9). В частности, при У = К получаем изоморфизм (1'З Иг)*:-+ Ногп(Ъ; И'; К). (18) Предложение 2 тривиально обобщается на любое конечное число векторных пространств (вместо двух пространств У и И').
Это дает изоморфизм Ногп(р;З ...З р;; У)=- Нот(Т;,..., р;; У), (19) переводящий линейное отображение ап 1~ ®... ® $', — У в р-линейное отображение х: Ъ; х... х У вЂ” У, определяемое равенством (20) ~р(х„..., х„) = ф(х, З... ® х„). В частности, при У =.К получаем изоморфизм (1'1 З...
З Ър) — ~ Ного(РН..., 1 р,' К) (21) Элементы вида х, З... З х, называются разяожимыми элементами тензорного произведения Ъ; З... З И. Наличие канониче- Р' ского изоморфизма (19) эквивалентно следующему о с н о в н о м у приндипу тензорной алгебры, позволяющему определять линейные отображения тензорного произведения, задавая их на разложимых элементах: для любого р-линейного отображения р: Тг, х... х (г, — У существует единственное линейное отображение 4: Ъ; З...
® 1", — У, удовлетворяющее условию (20). Для тензорных произведений конечномерных пространств имеются и другие естественные изоморфизмы, играющие важную роль в тензорной алгебре. Прежде всего, можно обобщить пример 3 на любое число конечномерных векторных пространств Ъ;,..., У . Полагая (а, З ... З а,)(хо ...,х„) = а,(х,)...а„(х,) (22) 313 Гл. 8. ТенЗОРнАя ААГеБРА при о, е 'г;*,..., а„е Ъ'„', мы получаем, что НогпЯ,...,Ъ;;К)=Ъ;*З...ЗЪ . (23) В сочетании с изоморфизмом (21) это дает изоморфизм Р," З ... З Р;* ( Ь; З ... З ~~ )". (24) Комбинируя равенство (6) с изоморфизмами (19) и (24), мы получаем для любых конечномерных векторных пространств Ъ;,..., У и Г7 изоморфизм Ъ;*З...
З У'З У ~ Ноги(Ъ;,..., У; У). (25) Имея в виду построенные выше естественные изоморфизмы, обычно отождествляют соответствующие векторные пространства, т. е. считают, что И ® И' = И' З У, ( У ® У) З Иг = (7 З ( У ® И" ), И* ® И'* З У = Ного( Ъ; И', У) (для конечномерных пространств) и т. д. Для любых линейных операторов А ~ 1(г') и 6 е 1(И') можно определить линейный оператор АЗ 6 Е 1.(Ъ' З И"), задав его на разложимых элементах по формуле (А З 6)(г З у) = Аз З Ву. (26) Оператор АЗВ называется тензорным произведением операторов А и 6. Пусть А = (а„) — матрица оператора А в базисе (е„..., е„) пространства Ъ' и В = (Ьм) — матрица оператора 6 в базисе Ц,...,,Г"„) пространства Йг.
Тогда матрица оператора А ® 6 в базисе (е1 ЗЯ, е, Зл,..., е, З7, е ЗД„е Зл,..., е З7',..., е„З7о е„ З Л,..., е„ З 7' ) пространства И З Иг имеет вид ам В амВ ... а,„В ,в в ... „в (27) а„,В а„,В ... а„„В Она называется тензорным произведением матриц А и В и обозначается через А З В. Легко видеть, что 1гА З В =1гА . 1г В и, значит, 1гА®6=1гА 1г6. (28) ЗАДАЧА 3. Доказать, что де1 АЗ 6 = (Йе1 А)"(Йе16)".
(29) ЗАдАчА 4. Предположим, что характеристический многочлен оператора А имеет (с учетом кратностей) и корней А„..., А„, $2. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА 319 а характеристический многочлен оператора В имеет пт корней ио ...,и„. Доказать, что тогда характеристический многочлен оператора АЭВ имеет пт корней А,р,. (Е = 1,...,п; 1' = 1,..., гп).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
