1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 59
Текст из файла (страница 59)
с такой последовательностью, мы получаем вложение пространства г', в качестве подпространства в пространство 7;Э...Ю Р„'. При этом каждый элемент из 7; Э...Э 1', единственным образом представляется в виде суммы элементов из этих подпространств. Это означает, что пространство 7; Ю ... Ю 1'„ есть прямая сумма подпространств 1;,..., 1'„. Имея в виду указанное отождествление, элемент (х„ ..., х„) внешней прямой суммы Ъ;В ...Ю 1; часто записывают как х, + ... + х,. Обратно, пусть какое-то векторное пространство 1' разложено в прямую сумму своих подпространств Ъ;,..., Ъ'„.
Образуем внешнюю прямую сумму Ъ; ®... 61 Ъ'„. Тогда отображение Ъ; Э... Ю Ъ'„— + У (х„..., х„) ~ х, +... + х, является изоморфизмом векторных пространств. Все предыдущее можно распространить на случай бесконечного числа слагаемых ро Ъ',..., если рассматривать не все последовательности (х„х,...), где х,. е ро а только финитные, т.е. такие, в которых лишь конечное число членов отлично от нуля. ' Вернемся к построению тензорной алгебры.
Рассмотрим бесконечную прямую сумму (33) ТЯ) = ® Тг(У). еьа $2. тензОРнАя АлГЯБРА ВектОРнОГО пРОстРАнстВА 325 Так как Т'(1 ) З Т'(~ ) С Т '(\ ), то тензорное умножение определяет в ТЯ) структуру градуиро- ванной алгебры. Эта алгебра называется тензорной алгеброй про- странства Ъ'. Отметим, что она ассоциативна (но не коммутативна) и обладает единицей, каковой является единица поля К = Т«Я). Аналогично, тензоры типа (О, р) называются ковариантными тензорами степени р. Положим Т,Я) = Т;Я). Алгебра ТЯ) = 9 Т„(Ъг) »ва называется алгеброй полилинейнь«х функций на Ъ'. Тензор- ное умножение полилннейных функций имеет простую интер- претацию. А именно, значения (р+ д)-линейной функции г» З Д (о Е Т„Я),,У Н Т,(»г)) находятся по формуле (г«® ф)(х„..., х„,) = о(х„..., х,)13(х„«о..., х, „,).
(34) В самом деле, по соображениям линейности достаточно проверить справедливость этой формулы для о = с~, З... Зо, (а„..., с~» Е Ъ") и 11 =4 З . ЗД, (4,...,Д«Е Ъ"); но в этом случае она легко следует из формулы (22). С другой стороны, так как Т„(У) = Т" (~'"), то алгебру ковариантных тензоров можно понимать как тензорную алгебру пространства Ъ"'. Согласно основному принципу тензорной алгебры (см.
$1) вся- кое р-линейное отображение «: « (35) Р «пропускается» через Т"(Ъ') в том смысле, что существует такое (однозначно определенное) линейное отображение «р: Т'Я) «У, (36) что (37) у(х„..., х,) = ф(х, З... ® х ) для любых х„..., х„е У. При У = Х это дает изоморфизм Т(Ъ') (Т ( г'))' (38) (частный случай изоморфизма (21)). Если рассматривать только симметрические или же только кососимметрические полилинейные отображения, то мы придем к 326 Гк 8.
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА понятию симметрической или соответственно внешней степени пространства Ъ'. Этому посвящены следующие два параграфа. 9 3. Симметрическая алгебра Определение 1. Полилинейное отображение (35) называется симметрическим, если Ч)(х,,..., х, ) = Ч)(х„..., х„) для любой перестановки (г„..., г ) чисел 1,..., р. Очевидно, что в этом определении можно ограничиться перестановками двух аргументов. При ь)" = К оно превращается в определение симметрической полилинейной функции.
Пусть (е„ ..., е„) — базис пространства ~'. Определение 2. Векторное пространство Я вместе с симметрическим р-линейным отображением 1 ... ~ я, )*,,,~) *,ч ..и*,, п9) Р называется р-й симметрической степенью пространства Ъ", если векторы е. '/...)) е) с г) «... г составляют базис пространства Я, Подчеркнем, что выражение х, ч... и х, в (39) следует понимать как единое целое. Это просто способ обозначения образа элемента (х„..., х ). Данное определение не зависит от выбора базиса пространства У.
В самом деле, если (е'„ ..., е„') — другой базис, то векторы е,' ))...)г е,'. с ~) < ... < т'„ также составляют базис пространства Я, так как их число равно числу векторов е„ Н... ч е) с г) « ... т; и последние через них линейно выражаются. Симметрическая степень существует: достаточно взять векторное пространство Я с базисом (з„ ,: т) « ... з,~ и определить р-линейное отображение (39), задав его на наборах базисных векторов пространства У по формуле е„. ))...'/ е) = з, ,, где Я! ° ° з'„..., 7', — числа т'„..., ь'„, расположенные в порядке неубывания.
Симметрическая степень единственна в следующем смысле: если (Я„Н)) и (Я„Ч,) — две р-е симметрические степени пространства 4 3. симметРическАя АлГеБРА 327 У, то имеется (единственный) изоморфизм ~р: Я, — б„удовлетво- ряющий условию ф(х и,... ч, х ) = х и,... М,х для любых х„..., х„Е У. Искомый нзоморфнзм можно построить, задав его на базиснйх векторах по формуле Ч1(е, Ч,... Ч,е,. ) = е„'/,... 'l,е, (1, «... г„). Симметрическая степень пространства Ъ' обозначается через б'(И). Следующее предложение выражает свойство универсальности симметрической степени, аналогичное свойству универсальности тензорного произведения (см.
предложение 1.2). Предложение 1. Для любого симметрического р-линейного отображения (35) существует единственное линейное отображение ~Р: о'(Ъ")- ЕГ, такое, что ~р(х„..., х„) = ф(х, ~/... Ч х ) (40) для любых х„..., х„Е Ъ". До каза те л ьс т во. Искомое линейное отображение задается на базисных векторах пространства б'(Ъ') по формуле ф(е„У... Ч е,. )= у(е,,..., е,. ) (1, «... 1).
Ввиду симметричности отображения р эта формула автоматически будет выполняться при любых 1„..., т'„, а уже отсюда по линейности вытекает (40). П Элементы вида х, ч... и х„(х„..., х„Е И) симметрической степени б'(Ъ") называются разложимммй. Предложение 1 позволяет определять линейные отображения пространства Я'(1г), задавая их на разложимых элементах так, чтобы выполнялись условия полилинейностн и симметрии относительно множителей х„..., х„. В частности, имеется билинейное отображение т. б'(У) н Я'(У) 3' "(Р'), задаваемое на разложимых элементах по формуле (х, ч... Ч х )ч (х„Ч...
ч х,,) = х, ч... ~l х„„,. (41) Рассмотрим прямую сумму б(~') = Ю б'()г). е-в 328 Гл. 8. ТензОРнАЯ АлГеБРА Определенная выше операция Ч превращает Я(У) в градуированную алгебру. Эта алгебра называется симметрической алгеброй пространства У. Очевидно, что она ассоциативна, коммутативна и обладает единицей (каковой является единица поля К = ЯеУ). Из определения (41) следует, что всякий разложимый элемент х, у... Нх, е Я"( г') совпадает с произведением элементов х„ ...,х, в алгебре Я(Ъ').
Симметрическая алгебра векторного пространства на самом деле не является новым для нас объектом. В ней можно узнать алгебру многочленов. А именно, поставив в соответствие каждому произведению е, ~/ ... Ч е,, (г) < ... < )„) одночлен и, ...и, от переменных и„...,и„, мы получим изоморфизм алгебры Я()г) на алгебру К'1и„..., и„]. Более того, если рассматривать е„..., е„как координатные функции на сопряженном пространстве Ъ", то любой элемент алгебры Я(Ъ') как многочлен от е„ ..., е„ будет определять некоторую функцию на Ъ"*.
В этом смысле можно сказать, что алгебра Я(Ъ") есть алгебра многочленов на Ъ"* (хотя в случае конечного поля ее элементы нельзя отождествлять с определяемыми ими функциями), Соответственно этому алгебра Я(Ъ") есть алгебра многочленов на Ъ'. Если с))агК = О, то пространство Я"(Ъ') можно отождествить с подпространством симметрических тензоров в Т'Я). А именно, для любой перестановки о е Я, определим линейное преобразование Т ~ Т' пространства Т'( г"), задав его на разложимых тензорах формулой (х, З...
З х ) = хко З... З х„„). (42) Отметим, что ((х, З... Зх )') =(хм,) З... Зхм,)) хф())®ЗХ(р)(х)З®хр) и, следовательно (Т )'=Т" (43) для любого тензора Т Е Т'(У). Тензор Т Е Т'((г) называется симметрическим, если Т = Т для любой подстановки о Е Я . Симметрические тензоры образуют подпространство в Т'( г')' обозначим его ЯТ"(Ъ').
Предположим, что сЬаг К =О. Тогда можно определить оператор симметрирования Бут в пространстве Т'( г') по формуле ЬушТ=-1 2 Т'. з 329 Ъ 3. СИММЕТРИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА Ясно, что Яущ Т Е БТ" (Ъ') при любом Т и 5ущ Т = Т при Т е Е БТ" Я). Это означает, что 5ущ — проектор на Бт'(Ъ'). Предложение 2. Если с)гаг К =О, то имеется изоморфизм рп Б'(Ъ') — Бт'(Ъ'), при котором и(х, У...Ьх )=5угп(х, З... Зх ). (45) Доказательство.
Так как правая часть (45) полилинейна и симметрична относительно х„..., х, то имеется линейное отображение рл Я" (Ъ') — ~ Бт'(Ъг), удовлетворяющее условию (45). Оно переводит базисные векторы е, ь'... не, (1, «... г ) пространства Б'(Ъ') в тензоры Зущ (е„З... З е, ) (г, «... г„). Рассматривая разложение симметрических тензоров по базисным векторам е, З... З е, пространства Т" Я), мы видим, что коэффициенты при базиснйх векторах, отличающихся только порядком индексов, одинаковы. Поэтому тензоры 5угп(е, З...Зе, ) с 1, «...
~„составляют базис пространства Бт'(Ъг). Следовательно, р — изоморфизм. П Пользуясь этим изоморфизмом, пространство Я'(Ъ') часто отождествляют с ЯТ'(Ъ'). Заметим, что подпространство Бт(у) = ф Бт (ъ ) с т(ъ ) р-О отнюдь не является подалгеброй в Т(Ъ'), но его отождествление с $(Ъ') позволяет ввести в нем структуру алгебры. Умножение в этой алгебре выглядит следующим образом: (46) Т ~/ ьг = Буш ( Т З Ег).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
