1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Вывести отсюда (при сделанных предположениях) формулы (28) и (29). ЗАЛАЧА 5. Доказать, что (для конечномерных пространств 1' и И') пространство 1.(У З И') является тензорным произведением пространств ЦЪ') и 1.(И') относительно определенного выше тензорного умножения линейных операторов. Аналогичным образом определяется тензорное произведение нескольких линейных операторов. $ 2. Тензорная алгебра векторного пространства В этом параграфе Ъ' есть и-мерное векторное пространство. Пространство ~;(~')=~'а а~'о~'3 "а~' Р з называется пространством лгензоров типа (р, д) на 1',(Простран- ство То(1') полагают равным Л .) Очевидно, что 81гп Т,'(1') = и" ".
Имеем Т,' Я) = У, Т1'("г') = У'. Более общо, ТзЯ) = Ного(Ъ",..., 1', Тт ), (30) Т (Ъ") Ного(У..., Ъ', Ъ"). (31) В частности, тензоры типа (0,2) — это билинейные функции, тензоры типа (1,1) — это линейные операторы, а тензоры типа (1,2) — это билинейные операции (структуры алгебр) на 1г.
Тензорное умножение определяет билинейную операцию Э: Т,'Я) х Т;(1г) - Т,"+;()г) таким образом, что (*1® "Э*гЭ'"~®" Э'"ю)Э(*г+ ~Э".З*,"Э'"я. ~®" Эоз.з) = =з, Э...Зх,„„За, З...Эо, „. ПРИМЕР 1. Пространство Тз()г) )г З )г З )г* З )г* (тг З 1;) З (Р' Э 1г)* 320 Гк 8.ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА можно трактовать как 1.(К З г'). При зтом тензорное умножение Т,'(У) х Т!(Ъ') — Ф Тзя) совпадает с тензорным умножением линейных операторов в смысле у1. В самом деле, в силу билинейности обоих умножений достаточно проверить зто для разложимых линейных операторов. Пусть А = и З а, В = и З )у (и, и Е г', а, )1 Е Тл'), и пусть А З В— тензорное произведение операторов А и Н в смысле $1. Учитывая, что (а ® 1))(х З у) = а(х)Д(у) (см. пример 1.3 и определение изоморфизма (18)), получаем: (АЗ В)(х З у) = Ах ЗВу = а(х)Яу)и З и = = ((а ®;9)(х З у))и З и = ((и ® и) З (а З 13))(х ® у).
Следовательно А З 6 = и З и З а З Д что и требовалось доказать. Другая важная операция над тензорами — это свертка, представляющая собой линейное отображение Т'(Т') — Т,'-,'(Ъ ) (Р, д > 0), определяемое следующим образом. Рассмотрим отображение $' ... 1' 1" 1" Т,','(3о, л « (х„..., *,, а„..., а,) а,(х)(хз З Зх ® с« ®. З а,). Очевидно„что оно полилинейно. Следовательно, существует линейное отображение Тл(Ъ') — Т«",'(Ъ'), при котором х, З Зх ®а,® ° За,~ а,(х)(х З Зх За ® За,). Это и есть свертка. В данном определении свертка производилась «по первым множителямэ в произведениях Тл ® З T и Ъ" З З 1", тензорным л « произведением которых является Т;Я).
Совершенно так же определяется свертка по любой паре множителей. ПРИМЕР 2. Свертка линейного оператора (как тензора типа (1, 1)) — зто его след. Действительно, в силу линейности достаточно проверить это утверждение для разложимых операторов, т.е. 4 2. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА 321 операторов вида х За (хе Ъ; а Е Ъ'"). Оператор такого вида равен нулю на (п — 1)-мерном подпространстве Кег а и действует как умножение на а(х) на факторпространстве У/ Кега.
Следовательно, его след равен а(х), что совпадает со сверткой. ПРимеР 3. Свертка тензорного произведения линейного оператора А и вектора х по второму множителю У и первому (единственному) множителю 1" равна вектору Ах. Действительно, для разложимого оператора А = и З а результат указанной свертки есть а(х)и, что совпадает с Ах. П~имеР 4, Свертка тензорного произведения линейных операторов А и В по второму множителю Ъ' и первому множителю Ъ'* равна обычному произведению АВ операторов А и В. Действительно, для разложимых операторов А = и З а и В = о ® В результат указанной свертки есть оператор а(о)и З В, переводящий каждый вектор х Е У в вектор а(о)В(х)и; с другой стороны, АВх =,9(х)Ао = а(и)В(х)и.
ПРимеР 5. Как следует из формулы (7), свертка тензорного произведения билинейной функции а и двух векторов х и у по двум парам множителей равна а(х, у) или а(у,х) в зависимости от того, как комбинируются сворачиваемые множители. Свертку тензорного произведения тензоров Т и У часто называют сверткой тензора Т с тензором У (по указанным индексам). Пусть (е,) — базис пространства Ъ' и (е,) — сопряженный базис пространства У* Тогда (е,.
® З е,. ® е, З З е, ) — базис пространства ТгЯ). Любой тензор Т типа (у, д) может быть выражен через этот базис: Т,, е,. З З е,. З е, З . ° З е, Числа Т„,,, называются координатами тензора Т в базисе (е,) пространства У. ПРимЕР б. Координаты линейного оператора как тензора типа (1,1) — это в точности элементы матрицы этого оператора. В самом деле, если А= 2 Аее,. ® е, то Ае, =~„Аее,.
ьз ПРимеР 7. Аналогично, координаты билинейной функции как тензора типа (0,2) — это элементы матрицы этой функции. В символике, изобретенной Эйнштейном, используются как нижние, так и верхние индексы, причем базисные векторы пространства Ъ' нумеруются нижними индексами, а базисные векторы пространства Ъ" — верхними. Соответствующие индексы у координат 322 Гл. 8. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА тензора пишутся, напротив, вверху и внизу соответственно. Если в каком-либо произведении какой-либо индекс встречается дважды, причем один раз вверху, а другой — внизу (другие повторения не допускаются), то предполагается суммирование по этому индексу. Так, предыдущая формула записывается в виде Т = Т"" е, З З е, З еа З ° З е". (32) ПРИМЕР 8.
Координаты образа вектора х при действии линейного оператора А записываются в этой символике формулой (Ах)' =А,*'х'. ПРимЕР 9. Произведение линейных операторов А и 8 записывается формулой (А)У)1 = А,'П'„. Координаты тензорного произведения ТЗ(у тензоров Т Е Т;Я) и Ег е Т;(Ъ") суть произведения координат множителей: л ..3, л. 3 у„~ »л Координаты свертки Я тензора Т Е Т,'(У) по первой паре множителей (или, как говорят, по первой паре индексов) находятся по формуле Ф"'. =Т'*" .*. а...з', ьь" з, Это следует из равенства (32), если учесть, что свертка произведе- ния е.
З...Зе, Зел З...Зе" равна бье З...®е, ®елЗ...Зе4' а, Ъ (где б,' — символ Кронекера). Аналогично находятся координаты свертки тензора Т по любой паре индексов. В евклидовом векторном пространстве Ъ' имеется выделенный тензор д е ТзеЯ), определяющий скалярное умножение. Он назы- вается метрическим тензором пространства Ъ'. Свертка метриче- ского тензора с любым тензором Т е Т;(У) по любому индексу тензора д и первому верхнему индексу тензора Т есть тензор Т Е Т;,'Я), координаты которого находятся по формуле Тн , *=д,„т,' Переход от тензора Т к тензору Т называется спуском первого верхнего индекса тензора Т. Аналогично определяется спуск любого верхнего индекса.
В ортонормированном базисе пространства У имеем д,.„= 6,.„, откуда Ть'") = Т'~" и! "ь ь."л $2. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА 323 Из этого можно сделать два вывода. Во-первых, операция спуска индекса обратима. Обратная операция называется подъемом индекса. Во-вторых, если ограничиться ортонормированными базисами, в евклидовом векторном пространстве исчезает разница между верхними и нижними индексами тензоров. ПРИМЕР 10. При спуске индекса вектора и Е Ъ' получается линейная функция о(х) = д,„х'и" = (х, и). Тем самым устанавливается уже известный нам канонический изоморфнзм между евклидовым пространством Ъ' и его сопряженным пространством Ъ".
ПРимеР 11. При спуске индекса линейного оператора А получается билинейная функция и(х, у) = д,,„хзА~ у' = (х, Ау). Тем самым устанавливается уже известный нам канонический изоморфизм между пространствами линейных операторов и билинейных функций в евклидовом пространстве (см. $ 6.3). Тензоры типа (р, О) называются контравариантными тензорами степени р. Положим Т"(У) Т "(У ). Пространства Т'( г') = К, Т'(Тг) = 1:, Т'Я),... можно организовать в алгебру.
Для этого нам понадобится понятие внешней прямой суммы векторных пространств. С разложением векторного пространства в прямую сумму подпространств мы уже встречались в у 5.1. Соответствующее определение может быть дано следующим образом. Определение 1. Говорят, что векторное пространство Ъ' разлагается в прямую сумму подпространств Ъ;,..., Ъ'„, если каждый элемент х е Ъ' единственным образом представляется в виде х=х,+...+х,, где х,.ЕУо ПРи этом пишУт Ъ" = Ъ; ®...
® Ъ" . В случае двух подпространств Ъ"„ Ъ' единственность представ- лениЯ любого элемента х Е У в виде х = х, + хз (х, Е Уо хз Е У;) равносильно тому, что У, й У = О. Имеется другой подход к понятию прямой суммы, при котором пространства Ъ;,..., Ъ; заранее не предполагаются вложенными в какое-то одно пространство. 324 Гл. 8.
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА Определение 2. Прямой суммой векторных пространств го ..., Ъ'„ называется векторное пространство Р;Ю ...Ю 1;, составленное из всех последовательностей (х„ ...,х ), где х,. Е 'го с покомпонентными операциями сложения и умножения на элементы основного поля К.
Более подробно, операции в Ъ; Ю... Ю Ъ; определяются следующим образом: (х„..., х„) + (у„..., у,) = (х, + у„..., х„+ у ), Л(х„..., х )=(х„...,х ). Тот факт, что при этом действительно получается векторное пространство, очевиден. В частности, его нулем является последовательность (О,..., 0). Прямую сумму в смысле определения 1 называют внутренней, а в смысле определения 2 — внешней. Однако эти два понятия тесно связаны друг с другом. А именно, рассматривая последовательности вида (О,...,х, ..., 0), где х е У стоит на г-м месте, мы видим, что операции над ними сводятся к соответствующим операциям над 1-ми компонентами. Отождествляя элемент х е Ъ;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
