1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 53
Текст из файла (страница 53)
290 Гл. 7. АФФинные и НРОектииные пРОстРАнстВА Таблица ! Рассмотрим более подробно случай К = К. В этом случае уравнение нецилиндрической квадрики может быть приведено к одному и только одному из следующих видов: 1. Неконические центральные квадрики: х,'+... + х,', — х,'„, —... — х„' = 1 (О < й < га) (32) П. Конические квадрики: х1з +... + хаа — хат, —... — хз = О ( —" < й < п).
(33) (Неравенство й > — достигается за счет возможного умножения уравнения на -1.) П1. Нецентральные квадрики: х~+...+ха' — х,',, —...— х„', =х ( — "~ < й < га). (34) Полученный результат можно интерпретировать как классификацию вещественных квадрик с точностью до аффинных преобразований. В самом деле, если квадрики Х, и Хз задаются одним и 291 $4. КВАДРИКИ Эллипс Гипербола Парабола Пара пересекааипихся прямых Рис. 14 тем же уравнением в аффинных системах координат, связанных с реперами (о; е„..., е„) и (о', е,',..., и„') соответственно, то Х, переводится в Х, аффинным преобразованием, переводящим репер (о; е„..., е„) в репер (о', е,',..., е ).
Обратно, если квадрика Х, переводится в квадрику Х, аффинным преобразованием Г", то Х, и Хе задаются одним и тем же уравнением в аффинных системах координат, связанных с реперами (о; е„..., е„) и (Г'(о); йг'(е,),... ..., е(У(е„)) соответственно. В частности, при я=2 и 3 получаются хорошо известные классы вещественных кривых и поверхностей второго порядка, перечисленные в табл. 1 и представленные на рис. 14 и 15 соответственно. В произвольной размерности квадрики типа 1 при )с = и называются эллипсоидими, а при к < п — гиперболоидами; квадрики типа В называются квадратичными конусами; квадрики типа 111 при к = п — 1 называются эллиптическими параболоидами, а при 1с < п — 1 — гиперболическими параболоидами.
Вещественная квадрика Х является гладкой гиперповерхностью в окрестности точки р Е Х тогда и только тогда, когда с( сг' ~0, т.е. когда р не является вершиной; при этом уравнение Н,Я(х) = = 0 задает касательную гиперплоскость квадрики Х в точке р. В частности, неконические квадрики гладки всюду. 293 $4. КВАДРики Замечательным свойством вещественных (и комплексных) квадрик, которым, вообще говоря, не обладают гиперповерхности ббльших порядков, является высокая степень их аффинной симметрии.
Пусть Х вЂ” вещественная квадрика. Обозначим через С(Х) группу всех аффинных преобразований, отображающих Х на себя. Теорема 2. Если Х вЂ” неконическая квадрика, то группа С(Х) транзитивно действует на Х; если Х вЂ” коническая квадрика, то группа С(Х) транзитивно действует на дополнении к множеству вершин в Х. Д о к а з а т е л ь с т в о, Если Х вЂ” цилиндрическая квадрика с направляющим подпространством сг, то группа С(Х) содержит группу параллельных переносов на векторы из о, которая транзитивно действует на любой плоскости вида р + (Г. Поэтому доказательство теоремы в этом случае сводится к ее доказательству для нецилиндрической квадрики Хв в пространстве меньшей размерности (см.
обозначение выше). Пусть Х вЂ” эллипсоид, задаваемый в векторизованной форме уравнением д(х) =1, где д — положительно определенная квадратичная функция. Превратим пространство У в евклидова, приняв за скалярное умножение поляризацию квадратичной функции д. Тогда Х будет единичной сферой в этом пространстве, а группа С(Х) будет, во всяком случае, содержать ортогональную группу О(У). (На самом деле она будет с ней совпадать, но нам это не нужно.) Пусть х, х' — любые векторы из Х; тогда У = (х) В (х)х = (х') Ю (х')".
Рассмотрим линейное преобразование у е О).(У), переводящее х в х' и отображающее подпространство (х)ь на (х')ь таким образом, чтобы это был изоморфизм евклидовых пространств. Очевидно, что у е О(У), и по построению у(х) = х'. Случай, когда Х вЂ” гиперболоид, разбирается аналогично, с той разницей, что, взяв за скалярное умножение поляризацию квадратичной функции у, мы превратим У не в евклидова, а в псевдоевклидово пространство некоторой сигнатуры (Й, 1) (где к+1 = и). Подпространства (х)х и (х')х в этом случае будут псевдоевклидовыми пространствами сигнатуры (к — 1, 1) и, следовательно, будут изоморфны.
Пусть теперь Х вЂ” квадратичный конус, задаваемый в векторизованной форме уравнением у(х) = О, где у — квадратичная функция сигнатуры (й,1) (где у +1 = и). Превратим, как и выше, 294 Гл. 7. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА пространство У в псевдоевклидово. Для любого ненулевого вектора х Е Х существует такой вектор у Е У, что (х, у) ф О. Нормировав вектор у, можно считать, что (х, у) = 1. Далее, не нарушая этого 1 равенства, можно заменить у на у — -(у, у)х н тем самым добиться, чтобы (у, у) = О. Тогда в двумерном подпространстве (х, у) скалярное умножение будет иметь матрицу ~ 1 О~ и, значит, будет 70 11 невырожденным сигнатуры (1, 1). Отсюда следует, что )л = (х, у> В (х, у>', где (х, у)х — псевдоевклндово (нли евклидова) пространство сигнатуры (й — 1,1 — 1).
Проделав такие же построения для другого ненулевого вектора х' е Х, мы получим аналогичное разложение 1Г = (х', у') Ю (х', у')~. Рассмотрим линейное преобразование р е ОЦЪ'), переводящее х в х', у в у' и отображающее подпространство (х, у>л на (х', у')л таким образом, чтобы это был изоморфнзм псевдоевклидовых пространств.
Тогда у Е О(Ъ; д) с С(Х), и по построению р(х) = х', Пусть, наконец, Х вЂ” параболоид, задаваемый в векторнзованной форме уравнением (31). Всякий вектор х е У будем представлять в виде х = у+ те, где у е Кег1, т е К, а е — базисный вектор подпространства Кег д, так что х е Х тогда и только тогда, когда и(у) = г. Для любого а Е Кег1 рассмотрим аффннное преобразование 7",: у+ те ~ у+а+(г +2и(а, у)+и(а))е. Если и(у) = т, то и(у+ а) = т + 2и(а, у) + и(а), и обратно.
Это означает, что 7'. Е С(Х). Очевидно, что преобразования 7". (аЕ Кег1) образуют группу, транзитивно действующую на Х. П ЗАДАЧА 1. Доказать, что если Х вЂ” параболоид, задаваемый уравнением (31), то группа С(Х) транзитивно действует в области и(х„..., х„,) < х„.
С каждым параболоидом Х = Х(Я) каноническим образом связано одномерное подпространство Кегд с У, называемое особым направлением параболоида Х. Так как Кегд ф Кег1 при любом $4. КВАДРИКИ 295 выборе начала отсчета, то при х е Кегг1 уравнение (25) имеет ровно одно решение. Следовательно, любая прямая особого направления пересекает па- Р раболоид ровно в одной точке; более того, РэКегд это пересечение по той же причине трансверсально (см. рис.
16). ЗАдАчА 2. Доказать, что для любого неособого направления параболоида Х существует прямая этого направления, которая либо пересекает Х более чем в одной точке, либо вообще не пересекает Х. Рее. !6 Посмотрим теперь, к какому виду можно привести уравнение квадрики в е в к л и д о в о м п р о с т р а нс т в е, если ограничиться прямоугольными системами координат. Как н в аффинной геометрии, задача сводится к случаю нецилиндрических квадрик.
Рассмотрим, как и выше, три типа таких квадрик. 1. Неконические центральные квадрики. Из теоремы о приведении квадратичной функции к главным осям (следствие 2 теоремы 6.3.1) следует, что уравнение такой квадрики в прямоугольной системе координат может быть приведено к виду Л,х,'+... + Л„хе = 1 (Л„..., Л„~О). (35) Числа Л„..., Л„определены однозначно с точностью до перестановки.
П. Конические квадрики. Уравнение такой квадрики в прямоугольной системе координат может быть приведено к виду Л,х,'+... + Л,х„'=О (Л„..., Л, Э40). (36) Числа Л„..., Л„определены однозначно с точностью до перестановки и одновременного умножения на число Л ф О. !11. Н е центральные к в а д р и к и (и а р а б о л о и д ы). Выбрав начало отсчета произвольно и приведя квадратичную функцию г1 к главным осям, мы получим прямоугольную систему координат, в которой уравнение параболоида будет иметь вид Лгх~+...+Л„гхе г+ Ьгх, +...+ Ь„,х„, +Ь„х„+с=О (Л„..., Л„„Ь„~О).
За счет переноса начала отсчета по координатам х„..., х, можно убрать линейные члены, содержащие эти координаты. (При этом, 296 Гк 7. АффИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЪ|Е ПРОСТРАНСТВА вообще говоря, изменится свободный член.) После этого за счет переноса начала отсчета по координате х„можно убрать свободный член. Наконец, умножив уравнение на подходящее число, можно привести его к виду Л, х,'+... + Л „, х„', = х„(Л „..., Л „, ~ О). (37) Покажем, что начало отсчета, при котором уравнение параболоида приводится к виду (37), определено однозначно. Для этого охарактеризуем его в инварнантных терминах. Пусть (о; е„ ..., е,) — репер, в котором уравнение параболоида имеет вид (37).
Тогда особое направление этого параболоида есть (е ), а его касательная гиперплоскость в точке о задается уравнением х. =О. Следовательно, если базис (е„ ..., е„) ортонормированный, то касательная гиперплоскость параболонда в точке о ортогональна особому направлению. Такая точка называется вер|ииной параболоида (хотя это и не согласуется с определением 4), а проходящая через нее прямая особого направления — осью параболоида. Подчеркнем, что этн определения имеют смысл лишь применительно к параболоидам в евклидовом пространстве.
Предложение 6. Всякий параболоид в евклидовом пространстпве имеет единственную вершину. (См. рис. 16, где вершиной изображенной там параболы является точка о.) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть р — точка параболонда с координатами х„..., х„. Дифференцируя уравнение (3?), находим, что координаты нормального вектора параболоида в точке р суть 2Л, х„..., 2Л,, х„„-1. Для того чтобы точка р была вершиной параболоида, необходимо и достаточно, чтобы этот вектор был пропорционален е, а это имеет место тогда и только тогда, когда х, =... = х„, = О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
