1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 52
Текст из файла (страница 52)
П В частности, квадратичная функция д не зависит от выбора начала отсчета. В координатах выражение (19) принимает вид Я(х) = ~,' ач х, хз + „'),' Ь,.х, + с (ач = аз). (21) Коэффициентам Ь,. и с можно придать следующий смысл: с = Я(о), Ь, = ~-(о). (22) Линейная функция 1(х) = ~" Ь,. х,. называется дифференциалом функции 1~ в точке о и обозначается а,Я. В случае К = К это согласуется с обычным определением дифференциала. Определение 2. Точка о называется центром аффинно-квадратичной функции Я, если Я(о + х) = Я(о — х) Чх Е И (23) где д — квадратичная функция, 1 — линейная функция, а с— константа.
Пусть д — поляризация квадратичной функции д, т.е. соответствующая ей симметрическая билинейная функция. Лемма 1. При переносе начала отсчета о в точку о' = о+ а (аЕ У) слагаемые выражения (19) преобразуются следующим образом: д(х)=д(х), У(х)=2д(а, х)+1(х), с'=д(а)+1(а)+с.
(20) В 4. КВАДРИКИ 285 Ясно, что это имеет место тогда и только тогда, когда а',ьг = О. Поэтому множество всех центров функции гг задается системой линейных уравнений ф=...=~~ =0. (24) 1 и Оно либо является плоскостью некоторого числа измерений, либо пусто. Легко видеть, что матрица коэффициентов системы (24)— это удвоенная матрица (а,) квадратичной функции д. Следовательно, если д невырожденна, то Я имеет единственный центр. Положим Х(Е= (р е 5: С~(р) =О). Определение 3. Множество вида Х(Я), где сг — аффинно-квадратичная функция, если только оно не пусто и не является плоскостью, называется квадрикой или гипгрповгрнностью второго порядка. Квадрика на плоскости называется кониной или кривой второго порядка. Квадрика в трехмерном пространстве называется также поверхностью второго порядка.
Определение 4. Точка о называется центром квадрики, если эта квадрика симметрична относительно о, т.е. вместе со всякой точкой о + х (х Е У) содержит точку о — х. Центр квадрики, лежащий на ней самой, называется ее веригиной. Квадрнка называется центральной, если она имеет (хотя бы один) центр. Очевидно, что всякий центр аффинно-квадратичной функции сг является центром квадрики х(гг). как будет показано ниже, верно и обратное. Докажем некоторые простые геометрические свойства квадрик.
Предложение 1. Любая прямая либо целиком лежит на квадрике, либо пересекается с нгй не более чгм в двух точках. Доказательство. Так как начало отсчета о может быть выбрано в любой точке, то без ограничения общности можно считать, что прямая проходит через о. Пусть функция сг' в векторизованной форме имеет вид (19). Тогда пересечение прямой Х = о+(х) = (о+ гх: г Е К) (х Е у) с квадри кой Х(Гг) определяется условием Гг(гх) = гзд(х) + ь((х) + с = О, (25) представляющим собой квадратное уравнение относительно Если все коэффициенты этого уравнения равны нулю, то Х, с Х(ьг); в противном случае оно имеет не более двух корней, а это означает, что пересечение Х и Х((г) содержит не более двух точек. О 286 Гл.
7. АФФинные и пРОектиВные пРОстРАнстВА Предложение 2. Если о — вершина квадрики Х, то вместе с любой точкой р ~ о квадрика Х содержит всю прямую ор. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть р = о+х (х Е Ъ'); тогда Х содержит три различные точки о, о+ х, о — х прямой ор и, следовательно,— всю прямую. (:) Всякое подмножество аффинного пространства, содержащее точку о и вместе с любой точкой р ~ о всю прямую ор, называется конусом с вершиной в точке о.
Квадрика называется конической, если она имеет (хотя бы одну) вершину. Предложение 3. Всякая квадрика содержит точку, не являюи(уюся ее вершиной. Доказательство. Если бы все точки квадрики были ее вершинами, то в силу предложения 2 вместе с любыми двумя точками она содержала бы проходящую через них прямую и, согласно теореме 1.3, была бы плоскостью, а зто противоречит определению квадрики. П Очевидно, что пропорциональные аффинно-квадратичные функции определяют одну и ту же квадрику. Обратное утверждение не столь очевидно; оно составляет содержание следующей теоремы. Теорема 1. Пусть Х вЂ” квадрика в аффинном пространстве над бесконечным полем К'.
Если Х =ХЯ,) =Х(Ц,) для какихто аффинно-квадратичных функций Я, ф, то эти функции пропорциональны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем в качестве начала отсчета какую-нибудь точку о квадрики Х, не являющуюся ее вершиной. Тогда в векторизованной форме Я(х) = дЛ )+ 1,(х), (е (: ) =д,(х)+ 1,( ), где 1„(т ф О. Точки пересечения прямой о+ (х) с квадрикой Х определяются любым из уравнений т~д,(х) + 11,(х) = О, 1~д,(х) + 11~(х) = О. Так как эти уравнения должны иметь одинаковые решения (относительно 1), то при 1,(х), 1(х) ~ О мы получаем ц(х) (т(л)' откуда д, (х)1 (х) = дз(х) 1, (х). (26) Умножая зто равенство на 1,(х)(т(х), мы получаем равенство д,(х)Цх)1,(х)Цх) = д (х)1,(х)1,(х)Цх), $4. КВАДРИКИ 287 верное уже при всех х.
Однако, поскольку в кольце многочленов иет делителей нуля, мы можем сократить последнее равенство и получить таким образом, что и исходное равенство (26) верно при всех х. Предположим, что линейные функции 1, и (т не пропорциональны. Тогда в подходящем базисе 1,(х) = хп (т(е)= т и равенство (26) записывается в виде у1(х)ж~ = уз(х)х1 ° Рассматривая члены в левой и правой частях этого равенства, мы видим, что должно быть о,(х) = 1(х)к,, д (к) = 1(х)х, где 1(е) — какая-то линейная функция, и, значит, Я ( ') = (1(. ) + 1);, 1Ж( ') = (1(*) + 1) Так как Х = ХЯ,), то Х содержит гиперплоскость х, =О. Так как в то же время Х = Х(Я), то функция Ч должна тождественно обращаться в нуль на этой гиперплоскости. Однако ни один из ее множителей 1(х)+1 и т не обращается на ней тождественно в нуль (первый из них не обращается в нуль уже в точке о). Поскольку в кольце многочленов нет делителей нуля, мы тем самым приходим к противоречив.
Итак, 1, = Л 1, (Л е К*). Из (26) получаем тогда, что и д, = Л д, и, значит, 1г = ЛЯ. П Следствие 1. Всякий центр квадрики Х(1г) является также центром функции Я. До к а з а т е л ь с т в о. Если о — центр квадрики ХЯ), то Х(Я) = Х(1г), где 1г(о+ л) = гг(о — х). Следовательно, 1г = Л 1г (Л е К*). Сравнивая члены второй степени в выражениях Я и 1г, мы видим, что должно быть Л =1, т. е. Я = гг, а это и означает, что о — центр функции Я. П Следствие 2, Если квадрика Х(Я) инвариантна относительно некоторого параллельного переноси, то и функция Я инвариантна относительно этого переноса. Доказательство. Если квадрика Х(Я) переходит в себя при параллельном переносе на вектор а, то Х(Я) = Х(Я), где сг(р) = (г(р + а).
Далее рассуждаем так же, как в доказательстве следствия 1. П 288 Гл. 7. АФФинные и пРОектиВные пРОстРАнстВА Замечание !. Анализ приведенного выше доказательства теоремы 1 с учетом замечания 3.7.2 показывает, что она верна и лля конечных полей, исключая только поле Ез. (Напомним, что мы считаем, что скат ТГ и 2.) Над полем Ез можно привести следующий контрпример: уравнения х! + х, хз+! = О и ха+ х! хз ч-1 = О задают одну 3 з и ту же конику в Ез~, состоящую из точек (1, 1) и (-1, — 1). Однако оба следствия теоремы верны и для поля Хз. Пусть аффинно-квадратичная функция Я представлена в векторизованной форме выражением (19). Положим Кег Я = Кег г) П Кег1 (2?) (где Кегд =, 'Кег у). Предложенне 4.
Функция сг инвариантна относительно параллельного переноса на вектор а тогда и только тогда, когда ае Кег Я. В частности, отсюда следует, что Кегд г) Кег1 не зависит от выбора начала отсчета. Д о к а з а т е л ь с т в о. Инвариантность функции Я относительно параллельного переноса на вектор а равносильна тому, что она сохраняет свой вид при переносе начала отсчета из точки о в точку о' = о+а. Ввиду леммы 1 это происходит тогда и только тогда, когда аЕКег!Е. И Таким образом, если У = КегЯ ~ О, то квадрика Х = Х(1„)) вместе с каждой точкой р содержит целую плоскость р+ 17.
Такая квадрика называется цилиндрической с направляющим подпро- странством 17. Выберем баха зис пространства Тг таким образом, чтобы последние г) его векторов составляли базис подпространства 17. Тогда выражение Я не будет содержать последних с1 координат. Уравнение 1;) =О можно будет рассматривать как уравнех! ние некоторой квадрики Хо в (и — д)-мерном пространстве; сама же квадрика Х будет состоять из точек, первые т! — г( координат которых суть координаты точки квадрики Хо, а Рис.
13 остальные координаты произ- вольны (см. рис. 13). Ввиду этого описание всех квадрик сводится к описанию нецилиндрических квадрик. 289 э 4. КВАДРИКИ Предложение 5. Нецилиндрическая квадрика имеет не более одного центра. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть о и о' — два центра квадрики Х. Обозначим через в и в' центральные симметрии относительно о и о' соответственно. Тогда вХ = в'Х =Х и, следовательно, вз'Х = Х. Так как д(зв') = дв дв' = ( — Е)з = Е то зв' — (нетривиальный) параллельный перенос и, значит, квадрика Х цилиндрическая. П Нецилиндрические квадрики можно разбить на три типа.
1. Неконические центральные квадрики. Выбрав начало отсчета в центре квадрики и умножив ее уравнение на подходящее число, мы приведем его к виду (28) д(х„..., х„) = 1, где д — невырожденная квадратичная функция. В. Конические квадрики. Выбрав начало отсчета в вершине квадрики, мы приведем ее уравнение к виду (29) о(хп..., х„) = О, где о — невырожденная квадратичная функция. При этом у нас еще остается возможность умножить уравнение на любое число Л ~ О. 111. Не центральные к в адриан, Так как КегдпКег ! =О, но Кег у~О (иначе квадрика была бы центральной), то йш Кег о = 1 и У =Кег ! ЮКега.
(ЗО) Выбрав начало отсчета на квадрике и базис пространства Ъ', согласованный с разложением (ЗО), мы приведем уравнение квадрики к виду (' " '. )='. (31) где и = о! „, — невырожденная квадратичная функция от и — 1 переменных. При этом остается возможность умножить уравнение на любое число Л з4 О, одновременно разделив на Л последний базисный вектор. Возможности дальнейшего упрощения уравнения квадрики за счет выбора подходящего базиса в пространстве !г зависят от поля К (см. В Б.З). При К = С или В мы можем привести квадратичную функцию д к нормальному виду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
