1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Применим вышеизложенное к сопряженному пространству Ъ". Положим $„(Ъ') = Б~(Ъ"), Бт(Ъ') = Бт'(Ъг'). Пространство Бт,(Ъг) есть не что иное, как пространство симметрических р-линеййых функций на Ъ'. Операция симметрирования выглядит следующим образом: (5ушгт)(хо...,х,)= —, ~, 'а(х.п1, „х. ). (47) 1 Фез, Каждой симметрической р-линейной функции гх Е БТ(Ъ') поставим в соответствие многочлен У, е Я,(Ъ') по формуле у (х) = сг(х,..., х) (48) ззо Гл.
8. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА подобно тому, как $5.3 каждой симметрической билинейной функции была поставлена в соответствие квадратичная функция. Предложение 3. Если с)саг К = О, то отображение ЕТ„(Ъ ) Е,(Ъ ), а Г., есть изоморфизм векторных пространств, обратньсй изоморфизму рл Я,(Ъс) — ЯТ,(Ъ'), определяемому как в предложении 2, Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно рассмотреть симметрические р-линейные функции вида (49) а = Зугп (а, З... З а„) = и (а, Ч...
Ч а„), где а„..., а„Е Ъ'". Для такой функции З (х) = сс,(х)...а„(х) = (а, ~/,.Л а„)(х). Это означает, что з = а, с/... ~l а = р '(а), что и требовалось доказать. П Симметрическая полилинейная функция а называется поляризас(ией однородного многочлена Г"„. ПРнмеР 1. Поляризацией многочлена у(х) = х1з + хз2хз является симметрическая трилинейная функция 1 с" (х у е) = х~ у1е~ + й(хзусз2+ х2уззе+ х2усез).
(Здесь х, у, е — векторы 3-мерного пространства, хс, ус, з, (с = = 1, 2, 3) — их координаты.) ЗАмечАнне 1. В случае поля положительной характеристики отображение (49), вообще говоря, не является изоморфизмом. Так, над полем характеристики 2 симметрической билинейной функции а(х, у) = х,у, + х у, соответствует нулевая квадратичная функция, а квадратичная функция У(х) = х,х не соответствует никакой симметрической билинейной функции.
ЗАМЕчАННЕ 2. Формула (48) позволяет каждой (а не только симметрической) р-линейной функции поставить в соответствие однородный многочлен степени р. Однако определенное таким образом линейное отображение Т,(Ъ') — Я,(Ъс) при р > 1 не будет изоморфизмом. э 3. СИММЕТРИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА Умножение в алгебре симметрических полилинейных функций Ят()/) = ф ИТ„((/), р-о соответствующее умножению в алгебре 5.()/) = Ю 5„(1/) р=о выглядит следующим образом: (ст У /У)(хю..., х„,,) = = ( т'ч)), 2,' ст(х,,..., хз )/У(хг,, хг ), (50) где суммирование происходит по всем разбиениям (з„... ..., з„( з, ь „..., з„,) множества (1,..., р + д) на две группы из р и д элементов соответственно (порядок чисел в каждой группе безразличен).
Это следует из формул (46), (34) и (47), если учесть симметричность функций ст и /у. Произведение ст ь/ д называется симметрическим произведением функций гт и Д. СимметРическое пРоизвеДение Р линейных фУнкЦий ст„..., стг Е Е 1/' задается формулой (а, У... У сг )(х„..., х„) = ~, рег(ст,(х,)), (51) где рег А — перманент квадратной матрицы А, определяемый аналогично определителю с той разницей, что все члены, независимо от четности перестановки, берутся со знаком плюс.
Злмичлннк 3. В случае поля положительной характеристики формула (30) для симметрического произведения не имеет смысла. Ситуацию можно исправить, убрав коэффициент перед суммой. Определенная таким образом операция з $Т,('г/) будет по-прежнему ассоциативной и коммутатизной, но полученная алгебра не будет изоморфна алгебре В.(Р). Аналогично тензорному произведению линейных операторов можно определить симметрическую степень огА линейного оператора как линейный оператор в пространстве от(1/), действующий на разложимые элементы по формуле (Я"А)(х, У...
Ух„) =Ах, т/... ЫАх„. (52) Если отождествить пространство 5'((/) с пространством ЯТ'(1/) симметрических тензоров (в случае с)таг К = О), то оператор ЯЯА будет не чем иным, как ограничением р-й тензорной степени оператора А на инвариантное подпространство БТЯ(1/) с Т"()/). 332 Гл. 8. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА ПРимЕР 2. Имея в виду приложение к теории линейных представлений групп в $11.4, вычислим след симметрического квадрата о'А линейного оператора А. Пусть (е„ ..., е„) — базис пространства У. Тогда векторы е,.~~ е, с 1 < ~' составляют базис пространства о'(Ъ'). Имеем (в символйке Эйнштейна).
(Я~А)(е, ~/е,) =Ае, ~l Ае,. =А,"е„ЧА,'е, = =А,"А,'е Ч е, = — (А,".А,'. + А,'.А,'.)е~ Ч е,. Следовательно, 1г 5'А= ~~(А,'А,'+ А',:А;;) = 2((1гА)'+ 1г А') (53) ЗАДАЧА 1. Предположим, что характеристический многочлен оператора А имеет (с учетом кратностей) п корней Л„..., Л„. Доказать, что тогда характеристический многочлен оператора о'А имеет п(п + 1)/2 корней Л,.Л, (1 < 1 < 1' < п).
Вывести отсюда формулу (53). ф 4. Алгебра Грассмаиа Алгебра Грассмана, или внешняя алгебра, строится аналогично симметрической с той разницей, что условие симметричности заменяется условием кососимметричности. При этом следует предполагать, что сваг К ~ 2. (Случай с)таг К = 2 может быть включен в общую схему, но он требует особой заботы.) Определение 1. Полилинейное отображение (35) называется кососимметрическим, если у(х,,..., х,.
) = здп(г„..., ( )х(хп..., х„) для любой перестановки (~;,..., г',) чисел 1,..., р. В этом определении можно ограничиться перестановками двух аргументов (потребовав, чтобы при этом образ умножался на — 1). Ясно также, что если р — кососимметрическое р-линейное отображение, то у(х„..., х,) = 0 всякий раз, когда среди векторов х„..., х, есть одинаковйе. При У = К данное определение превращается в определение кососимметрической полилинейной функции. Пусть (е„..., е„) — базис пространства У.
333 $4. АЛГЕБРА ГРАССА4АНА Определение 2. Векторное пространство Л вместе с кососимметрическим р-линейным отображением называется р-й внешней степенью пространства $", если векторы е,. Л... Л е, с 4, (... < 4„составляют базис пространства Л. По тем же причинам, что и определение симметрической степени, это определение не зависит от выбора базиса пространства Ъ'. Так же, как и симметрическая степень, внешняя степень сушествует и единственна. Она обозначается через МУ. Из определения следует, что г и оч=с = аь=.-'~ — "Р=~~. и р! В частности, Л~(Ъ') = О при р > и.
Элементы пространства Л"(У) называются поливекторами или, точнее, р-векторами. В частности, 1-векторы — это просто векторы пространства Ъ"; 2-векторы называют бивекторами, 3-векторы — тривекторами. Свойство универсальности внешней степени выражается следующим предложением, доказательство которого аналогично доказательству предложения 3.1. Предложение 1. Для любого кососимметрического р-линейного отображения (35) существует единственное линейное отображение Ф: Л" (Ъ') — У, такое, что (55) у(х„..., х )=ф(х, Л...Лх„) для любых х„..., х е $'. Поливекторы вида х, Л Л хг (х хг Е Ъ') называются разложимыми.
Имеется билинейное отображение Л: Л'(Ъ') х Л'(Ъ') — ~ Л'~'(~'). задаваемое на разложимых поливекторах по формуле (х, Л... Л х ) Л (х„„, Л... Л х ~,) = х, Л... Л х „,. (56) Рассмотрим прямую сумму Л(1 ) = Д Л (1 ). а=а 334 Гл. 8. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА Операция Л превращает Л(р') в градуированную алгебру, которая называется внешней алгеброй, или алгеброй Гроссмана, пространства Ъ'.
Она ассоциативна и обладает единицей, но не коммутативна. Однако в ней выполняется следующее свойство, заменяющее коммутативностГя и Ло=( — 1)то Ли при и ЕЛр(У), о 6ЛрЯ). Градуированные алгебры, обладающие этим свойством, называют суперкоммутативными. (Суперкоммутативность лежит в основе так называемой суперматематики.) Всякий разложимый поливектор х, л . лх Е ЛР(У) совпадает с произведением векторов х„ ...,х, в алгебре Л(рР). В отличие от симметрической алгебры, внешняя алгебра конечномерна. Более точно, поскольку ее базисные векторы е, Л ...
Л е, (р', с ... < рр) находятся во взаимно однозначном соответствии с подмножествами множества (1,..., п), то о!ш Л( рР) = 2". Пространство ЛР(У) можно отождествить с подпространством кососимметрических тензоров в Т'Я). А именно, тензор Т е ТР()Р) называется кососимметрическим, если Т' = (здп о) Т для любой подстановки о Е Е . Кососимметрические тензоры образуют подпространство в ТР((Р) обозначим его ЛТ'Я). Предположим, что с!заг К = О.
Тогда можно определить оператор альтернированная А11 в пространстве Т'Я) по формуле (57) А!! Т = —, ~ (зяп о) Т'. ррв, Это проектор на ЛТ" ( р'). Предложение 2. Если сйаг К = О, то имеется изоморфизм и: ЛРЯ)- ЛТ'Я), при котором (58) и(х~ Л Л хе) =А!1(х~ З... З х,). До к аз а тел ь с т в о аналогично доказательству предложения 3.2.
Единственное дополнительное соображение состоит в том, что в разложении кососимметрического тензора по базисным векторам е„. З... З е,. пространства Т'Я) коэффициенты при базисных векторах, среди индексов которых есть одинаковые, равны нулю. П Пользуясь этим изоморфизмом, пространство ЛР()Р) часто отождествляют с ЛТ'Я). 335 $4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
