1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Они образуют подгруппу в группе г,, которая по теореме 4.3.2 имеет вид кл для некоторого к е Е~. Если к = = О, то Ф = )т', и все доказано. Если к > О, то пусть У ~, — какой- либо элемент из 1т, последняя координата которого равна к; тогда (Хо..., Х, Х„Д вЂ” базис группы Хт' и также все доказано. П $1.
АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 345 Аналогия между подгруппами свободной абелевой группы и подпространствами векторного пространства все же неполная. В отличие от векторных пространств, в свободной абелевой группе ранга и > О существуют подгруппы того же ранга, не совпадающие со всей группой. Так, подгруппа тЕ с Ж при гп > О имеет ранг 1, как и вся группа л.. Однако связь между свободными абелевыми группами и векторными пространствами не исчерпывается аналогией между ними. Свободная абелева группа ранга п может быть вложена в виде подгруппы в и-мерное евклидово векторное пространство Е".
А именно, пусть (е„ ..., е„) — какой-либо базис пространства Е". Тогда подгруппа Ь, порожденная векторами е„..., е„ (т.е. совокупность векторов с целыми координатами в базисе (е„ ..., е„)) является свободной абелевой группой ранга и. Этот геометрический образ (см. рис. 1) очень помогает восприятию свободных абелевых групп. Подгруппы Х с Е", получаемые указанным выше способом, называются решетками в Е". Рис. 1 Зддлчя 1. Параллелепипед Р(е„..., е„), натянутый на какой- либо базис (е„..., е„) решетки Ь с Е", называется фундаментальным параллелепипедом этой решетки. Доказать, что его объем не зависит от выбора базиса решетки Ь.
Для решеток в Е" имеется также аксиоматическое описание, использующее топологическое понятие дискретности. Определение 2. Подгруппа Ь с Е" называется дискретной, если в каждом ограниченном подмножестве пространства Е" имеется лишь конечное число ее элементов. Очевидно, что всякая решетка днскретна. Более общо, подгруппа, порожденная любой линейно независимой системой векторов (т.
е. решетка в подпространстве пространства Е"), также дискретна. Зддячя 2. Доказать, что подгруппа Ь с Е" дискретна тогда и только тогда, когда ее пересечение с некоторой окрестностью нуля состоит только из нуля. Теорема 4. Всякая дискретная подгруппа Ь с Е" порождена некоторой линейно независимой системой векторов пространства Е". 345 Гл. 9. КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА Доказательство. Пусть ХтсЕ" — линейная оболочка подгруппы Х,.
Очевидно, что Х, — дискретная подгруппа в ХГ. Поэтому, заменив пространство Е" на пространство ХХ, мы можем свести доказательство к случаю, когда линейная оболочка подгруппы Х, совпадает со всем пространством. В этом случае подгруппа Х содержит некоторый базис (в„..., е ) пространства Е". Рассмотрим решетку Х в Е", порожденную этим базисом. В любом смежном классе группы Х по Х имеется вектор, принадлежаший параллелепипеду Р(е„..., е„), Так как пересечение Х П Р(е„..., е ) конечно, то индекс 1Х: Х,~ конечен. Если он равен Ы, то дк Е Х для любого л Е Х, (см. следствие 4 теоремы 4.5.1).
Таким образом, Х~СХ сд 'Х~. Заметим, что г( 'Х вЂ” это решетка в Е", порожденная базисом (Ы 'е„..., Ы 'е„). По теореме 3 из (б) следует, что Х, — свободная абелева группа, причем и = гк Х, ( г1с Х ( гк й ' Х, = и, т.е. гхЬ = п. Базис группы Х является в то же время базисом пространства Е". Это означает, что Х вЂ” решетка в Е". П Следствие.
Всякая дискретная подгруппа Х, с Е", линейная оболочка которой совладает с Е", является решеткой в Е". Примен 1. Решетки в Е играют важную роль в кристаллографии. Кристаллические структуры характеризуются тем, что расположение атомов в них периодически повторяется во всех трех измерениях (см. рис. 2 гл. 4). Более точно, пусть à — группа симметрии некоторой кристаллической структуры (мысленно продолженной на все пространство). Обозначим через Х, группу всех таких векторов а, что параллельный перенос с. принадлежит Г. Сказанное выше означает, что Х порождает пространство Е' (как векторное пространство).
С другой стороны, так как в любой ограниченной части пространства имеется лишь конечное число атомов кристаллической стрчктуры, группа Х является дискретной подгруппой пространства Е . Следовательно, Х вЂ” решетка в Ез. Как правило, группа Г, кроме параллельных переносов, содержит и другие движения. Именно они определяют симметрию реальных кристаллов, которую мы можем наблюдать, точнее, группа сг симметрии любого кристалла, симметрия структуры которого описывается группой Г, совпадает с группой дГ линейных частей движений из Г. 347 $ !. АБЕЛЕБЫ ГРУППЫ Пользуясь полученным выше описанием группы параллельных переносов, содержащихся в Г, можно получить информацию о группе С.
А именно, для любого у е Г и любого ае Ь имеем: (см, формулу (2) в $4.2). Следовательно, любое преобразование д е С сохраняет решетку В и, значит, в базисе этой решетки записывается целочисленной матрицей. Отсюда получаем, что !Гд ел,. Но, с другой стороны, если д — поворот на угол сь вокруг какой-либо оси, то !г д= 2 соз о+1.
Следовательно, 2 соз о е Ж. Это означает, что а Е(01 5~ 7~ з1 я В частности, кристаллы, в отличие от цветов и низших животных, не могут иметь поворотной симметрии 5-го порядка. Дадим теперь более точное описание подгрупп свободных абелевых групп. Ключевую роль в этом описании будет играть одно вспомогательное утверждение о целочисленных матрицах. Определение 3. Целочисленными элементарными преобразованиями строк матрицы называются преобразования следующих трех типов: 1) прибавление к одной строке другой, умноженной на целое число; 2) перестановка двух строк; 3) умножение одной строки на — 1; Аналогично определяются целочисленные элементарные преобразования столбцов.
Прямоугольную матрицу С =(сь) размера п х т назовем диагональной и обозначим через д!аи(ио..., и„), если с„= О при 1 Ф !' и с„=и, при (=1,...,р, где р=пнп(п,т). Предложение 1. Всякую целочисленную прямоугольную матрицу С = (с„) с помощью целочисленных элементарных преобразований строк и столбцов можно привести к виду д1аи (и„..., и ), где и„..., и > О и ей нци, „при !' = 1,..., р — 1. Доказательство. Если С=О, то доказывать нечего.
Если С ф О, но сп =О, то путем перестановки строк и столбцов добьемся того, чтобы сн ф О. Далее, умножив, если нужно, первую строку на — 1, добьемся того, чтобы сн > О. После этого с помощью целочисленных элементарных преобразований строк и столбцов будем стремиться уменьшить сп. 348 Гл.э. КОММУТАТИБНАЯ АЛГЕБРА Если какой-то элемент с,, (г > 2) не делится на сп, то разделим его на сп с остатком: с;1 = дс|~ + г (О с г с сн). Вычтя из г-й строки 1-ю строку, умноженную на д и переставив 1-ю и (-ю строки полученной матрицы, мы уменьшим сн. Аналогично, если какой-то элемент сн (з' > 2) не делится на сп, мы можем уменьшить сп, работая со столбцами.
Если все элементы первого столбца и первой строки делятся на сн, но какой-то элемент сн с т', 1' > 2 не делитсЯ на сн, то постУпим следующим образом. Вычтя из г-й строки 1-ю строку с подходящим коэффициентом, добьемся того, чтобы с,, = О (при этом сч по- прежнему не будет делиться на сп). После этого прибавим к 1-й строке г-ю строку, Элемент сп при этом не изменится, но элемент сн перестанет делиться на сп, и мы сможем применить описанную вйше процедуру для уменьшения сн. Поступая таким образом,мы в конце концов придем к ситуации, когда все элементы матрицы делятся на сп.
Вычитая подходящие кратные 1-й строки из всех остальных строк и подходящие кратные 1-го столбца из всех остальных столбцов, мы получаем матрицу вида и, О ... О ! Н где все элементы матрицы С, делятся на мн Последнее свойство будет сохраняться при любых целочисленных элементарных преобразованиях строк и столбцов матрицы С,. Поступая таким же образом с матрицей С, и т. д., мы в конце концов приведем матрицу С к требуемому виду. П Для матриц размера 2 х 1 или 1 х 2 описанная в этом доказательстве процедура есть не что иное, как алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.
ПРимЕР 2. Проиллюстрируем процедуру, описанную в этом доказательстве, на конкретном примере: 2 3 4 — Π— 3 2 — Π— 3 2 $1. АБЕЛЕВЪ| ГРУППЫ 349 Здесь с самого начала все элементы первого столбца и первой строки делились на сп = 2, но элемент с„ = 3 не делился на сп; поэтому мы вычли из второй строки первую и прибавили к первой строке полученную вторую.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
