1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 65
Текст из файла (страница 65)
При этом условии числа и„..., и„определены однозначно. Они называются инвариантными множителями группы А. Их произведение равно ~А~. Последний инвариантный множитель имеет простой смысл. Определение 7. Наименьшее общее кратное порядков элементов конечной группы называется ее экспонентой. Следствие 4 теоремы 4.5.1 показывает, что экспонента любой конечной группы делит ее порядок. Предложение 3. Экспонента конечной абелевой группы А равна ее последнему инвариантному множителю и Д о к а з а т е л ь с т в о. Ясно, что и„а = О для любого а е А.
Это означает, что экспонента группы А делит и„; но так как в А имеется циклическая подгруппа порядка и„, то экспонента равна и .П Следствие. Конечная абелева группа А является»(иклической тогда и только тогда, когда ее экспонента равна ее порядку. Доказательство. Группа А является циклической тогда и только тогда, когда в разложении (14) имеется только одно слагаемое, но это как раз и означает, что и„= ~А1 С) Этот критерий цикличности конечной абелевой группы имеет интересное приложение. 355 $2. ИДЕАЛЫ И ФАКТОРКОЛЪЦА Теорема 7.
Всякая конечная подгруппа мультипликативной группы поля (в частности, мультипликативная группа всякого конечного поля) является циклической. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть С вЂ” конечная подгруппа мультипликативной группы поля К. Предположим, что ее экспонента равна гп. Тогда д" = 1 для всех д е С. Так как уравнение х = 1 имеет в поле К не более гп решений, то ~С) ( пз и, значит, ~С~ = гп. П ЗАЕАЧА 9. Найти какие-нибудь порождающие элементы групп Е7 н Еп. ЗАЛАчА 10. Доказать, что группа Е*,, обратимых элементов кольца Ем не является циклической при й > 2; более точно, Ц =(3) х( — 1)ВЕ, 9Е~.
ЗАмечАние 5. Можно показать, что группа Е*„является циклической тогда н только тогда, когда и =2, 4, р" илн 2р", где Р— нечетное простое число. ПРИМЕР 3. При нечетном простом р группа Е' является циклической группой четного порядка и, следовательйо, квадраты ее элементов образуют подгруппу индекса 2. Поэтому отображение, ставящее в соответствие каждому квадратичному вычету по модулю р число 1, а каждому квадратичному невычету — число — 1, является гомоморфизмом группы Е'„в (мультипликативную) группу (Ы'1.
Образ вычета [к], при этом отображении обозначается через () — ) и называется символом Лежандра. ь~ Р) Вычет [ — 1], является единственным элементом порядка 2 в группе Е;. Он является квадратом тогда и только тогда, когда в этой групйе имеется элемент порядка 4, т.е. когда ~Е„'~ = р — 1 делится на 4. Таким образом, ® =(-1)"' ЗАЛАчА 11. Доказать, что многочлен к4+1 приводим надлюбым конечным полем. (Указание: доказать вначале, что хотя бы один нз элементов — 1, 2, — 2 является квадратом в этом поле.) ф 2. Идеалы и факторкольца Обобщая конструкцию кольца вычетов Е„, изложенную в $1.6, можно рассматривать отношения эквивалентности, согласованные с операциями, в произвольных кольцах. Так как кольцо — это прежде всего абелева группа по сложению, то такое отношение 356 Гк 9. КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА должно быть отношением сравнимости по модулю некоторой алдитивной подгруппы (см.
$4.5, в частности, задачу 4.5.3). Выясним, какой должна быть эта подгруппа для того, чтобы отношение эквивалентности было согласовано с умножением. Пусть А — кольцо и 1 с А — его подгруппа по сложению. Предложение 1. Отношение сравнимости по модулю 1 согласовано с умножением тогда и только тогда, когда подгруппа Х инвариантна относительно умножений слева и справа на любые элементы из А. Последнее означает, что для любых х Е1 и а Е А должны иметь место включения ах Е Х и ха~ 1.
Аддитивная подгруппа 1, удовлетворяющая этим условиям, называется (двусторонним) идеалом кольца А. Подгруппа, удовлетворяющая первому (соответственно второму) из этих условий, называется левым (соответственно правьсм) идеалом. Понятно, что в коммутатинном кольце нет разницы между левыми, правыми и двусторонними идеалами. Доказательство.
Пусть отношение сравнимости по модулю 1 согласовано с операцией умножения. Тогда для любого ае А х: — 0(шос(1) =ь ах г— а а. 0=0(шод 1). Это означает, что 1 — левый идеал. Аналогично доказывается, что 1 — правый идеал. Обратно, пусть 1 — идеал, и пусть а= а'(шод1), Ь г— е Ь'(шод1), т. е. а' = а+ х, Ь' = Ь+ у (х, у Е 1). Тогда а'Ь' = аЬ+ ау+ хЬ + ху = аЬ (шод 1). П Итак, если 1 — идеал кольца А, то на факторгруппе А11 можно определить операцию умножения по правилу (а+ 1)(6 + 1) = аЬ + 1 Легко видеть, что эта операция дистрибутивна относительно сложения.
Построенное таким образом кольцо называется фактор- кольцом кольца А по идеалу 1 и обозначается А11. Если кольцо А коммутативно, ассоциативно или обладает единицей, то и факторкольцо обладает соответствующим свойством. ПРИМЕР 1. В поле нет нетривиальных (т.е. отличных от нуля и всего поля) идеалов. В самом деле, если х — ненулевой элемент 357 $2, ИДЕАЛЫ И ФАКТОРКОЛЪЦА поля К, то всякий элемент поля К может быть представлен в виде ак, где а е К, и поэтому всякий идеал, содержащий е, совпадает с К. ПРимеР 2.
Всякая аддитивная подгруппа кольца Ж имеет вид пХ, где п е г,~ (см. пример 4.3.10), и является идеалом. Фактор- кольцо л,/пЖ при п зАΠ— это не что иное, как кольцо вычетов Ж„. Примеры идеалов в других кольцах мы рассмотрим несколько позже, а сейчас покажем, каким образом идеалы и факторкольца возникают при рассмотрении гомоморфизмов колец. Отображение Г кольца А в кольцо В называется гомоморфизмом, если оно сохраняет операции, т.е. если для любых х, у е А. Образ 1щ Г гомоморфизма Г является подколь- цом кольца В, а его ядро Кег / = (е е А: /(е) = О) — идеалом кольца А. Согласно определению факторкольца А/Г, отображение та А- А/Г а а+Г, является гомоморфизмом. Оно называется каноническим гомоморфизмом кольца А на факторкольцо А/Г.
Его ядром, очевидно, является идеал Г. Имеет место следующая теорема о гомоморфизме колец, аналогичная теореме о гомоморфизме групп (теореме 4.6.1). Теорема 1. Пусть Г: А —  — гомоморфизм колец. Тогда 1щ/ =А/Кег/ Более точно, имеется изоморфизм ~р: 1щ Г:- А/ Кег /, ставягций в соответствие каждому элементу 6 =/(а) е 1гп/ смежный класс я(а) = а+ Кегу. Доказательство.
Благодаря теореме 4.6.1 мы уже знаем, что отображение у является изоморфизмом аддитивных групп. 358 Гл. 9. КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА Остается только проверить, что оно сохраняет операцию умноже- ния. Пусть /(х) = и и Ду) = и. Тогда /(ху) = их и у(ии) = я(ху) = х(х)я(у) = р(и) р(и). С1 ПРимеР 3. Рассмотренная нами в $3.6 редукция по модулю р является гомоморфизмом кольца л,[г] на кольцо Е„[~]. Его ядро есть идеал рг[г], образованный многочленами, все коэффициенты которых делятся на р. Следовательно, ~[1]/рот] = е,[1] ПРИМЕР 4. Пусть К вЂ” поле и с Е К вЂ” его фиксированный элемент. Как мы фактически доказали в $3.1, отображение К[1] - К, У /(с), является гомоморфизмом колец. В силу теоремы Безу его ядро состоит из всех многочленов, делящихся на г — с.
Следовательно, К[т]/(Ф вЂ” с)К[1] = К. ПРИМЕР 5. Пусть г'+ р~ + д Е К[С] — квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом и с е С вЂ” один из его мнимых корней. Отображение К[г]- С, /~-~/(с), является гомоморфизмом колец. Его образ совпадает с С, а ядро состоит из всех многочленов с вещественными коэффициентами, делящихся на (г — с)(~ — с) = г~+ рг + у. Следовательно, К[1]/(тз+ рс + г1)К[с] С. В случае, когда А — алгебра над полем К, в определении (левого, правого или двустороннего) идеала Х требуется, чтобы он выдерживал также умножение на элементы поля К, т.е. был подпространством.
Если à — (двусторониий) идеал алгебры А, то в факторкольце А/Т определяется операция умножения на элементы поля К по правилу Л(а+ Г) = Ла+1 и тем самым оно превращается в алгебру над К, называемую факторалгеброй алгебры А по идеалу Г. ЗАмечАние 1. Если А — алгебра с единицей 1, то идеалы алгебры А — это то же, что идеалы кольца А. В самом деле, пусть 359 $2. ИДЕАЛЪ| И ФАКТОРКОЛЬЦА 1 — левый идеал кольца А. Тогда для любых х н 1 и Л е К имеем Лх=(Л1)х ей Это означает, что 1 — подпространство и, следовательно, — левый идеал алгебры А.
Аналогично обстоит дело с правыми идеалами. П Римки б. Непосредственно проверяется, что матрицы, у которых все столбцы, кроме первого, равны нулю, образуют левый идеал в алгебре 1.„(К) матриц порядка и. Аналогично, матрицы, у которых все строки, кроме первой, равны нулю, образуют правый идеал. Однако нетривиальных двусторонних идеалов в алгебре 1.„(К) нет. В самом деле, пусть Х с 1.„(К) — ненулевой двусторонний идеал и А = (аи) — ненулевая матрица из этого идеала. Предположим, что ав ~ О. Для любых 1, У имеем ЕаАЕв = аи Еи Е Х, и, значит, Еь е Х.
Следовательно, 1 =1„(К). ПРимнР 7. Нильтреугольные матрицы образуют идеал в алгебре всех треугольных матриц. ПРимЕР 8. Функции, обращающиеся в нуль в заданной точке х Е Х, образуют идеал в алгебре Г(Х, К) всех функций на множестве Х со значениями в поле К. Отображение Х алгебры А в алгебру В называется гомоморфизмом, если оно линейно и сохраняет операцию умножения, т.е. Х(ху) = Х(х) Х(у) для любых х, у Е А. Образ 1т Х гомоморфизма Х является подалгеброй алгебры В, а его ядро Кег Х вЂ” идеалом алгебры А. Для любого идеала 1 алгебры А определяется канонический гомоморфизм з-.
А — «А/1, а«а+1, ядром которого является Х. Имеет место теорема о гомоморфизме алгебр, формулируемая точно так же, как теорема о гомоморфизме колец. П РИЫ НР 9. Отображение, ставящее в соответствие каждой треугольной матрице ее диагональную часть, является гомоморфизмом алгебры треугольных матриц на алгебру диагональных матриц. Ядром этого гомоморфизма служит идеал нильтреугольных матриц. Следовательно, факторалгебра алгебры треугольных матриц по 360 Гл. 9. КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА идеалу нильтреугольных матриц изоморфна алгебре диагональных матриц. ПРНМЕР 1О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
