1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Существуют такие натуральные ус и (, что а Е (и) и а' Е (и). Но тогда а"+' Е (ьн) =О, что невозможно. П Замечании 2. Условие нетеровости в теореме 3 иа самом деле ие является существенным, но для ее доказательства в общем случае требуются трансфинитные средства. 5 3. Алгебраические расширения Если кольцо А является подкольцом колыш В, то говорят, что  — расширение кольца А. В этом случае  — не просто кольцо: оно является алгеброй над А, что дает дополнительные возможности для его изучения. (Определение алгебры над кольцом такое же, как над полем.) Введем некоторую терминологию, относящуюся к этой ситуации.
Элемент и е В называется алгебраическим над А, если он удовлетворяет некоторому нетривиальному алгебраическому уравнению с коэффициентами из А, и трансцендентным в противном случае. В частности, любой элемент а е А алгебраичен над А, так 376 Гл. 9. КОММУТАТИБНАЯ АЛГЕБРА А С В О П К С Ь (21) Если элементы и„..., и„Е Ь алгебраически зависимы над К, то они алгебраически зависимы и над А, так как коэффициенты алгебраической зависимости можно сделать «целыми», т. е.
принадлежащими А, умножив всю зависимость на их общий знаменатель. Рассмотрим вначале алгебраические расширения п ол е й. Ключом к их пониманию является вводимое ниже понятие конечного расширения, а единственной идеей доказательств приводимых ниже утверждений — использование теоремы о том, что всякое подпространство конечномерного векторного пространства конечномерно.
Если поле Ь является расширением поля К, то его можно рассматривать как векторное пространство над К. Размерность этого векторного пространства обозначается через йшк Ь . Определение 1. Расширение Ь поля К называется конечным, если йтк Ь (оо. Число йшк Ь в этом случае называется слчепенью расширения Х . как он удовлетворяет линейному уравнению к — а= О. Кольцо В называется алгебраическим расширением кольца А, если всякий его элемент алгебраичен над А, Более общо, элементы и„..., и„е В называются алгебраически зависимыми над А, если они удовлетворяют некоторому нетривиальному алгебраическому уравнению (с и неизвестными) с коэффициентами из А.
Совокупность элементов кольца В, которые могут быть представлены в виде Г(и„..., и„), где à — многочлен с коэффициентами из А, является его подкольцом (содержащим А). Оно называется подколы(ом, порожденным над А элеменгпами и„..., и„, и обозначается через А]и„ ...,и„]. Если и„ ...,и„ алгебраически независимы, то оно изоморфно кольцу многочленов от и переменных с коэффициентами нз А; в общем случае оно изоморфно факторкольцу кольца многочленов по идеалу алгебраических зависимостей между и„ ...,и„.
Расширение В кольца А называется конечно порожденным, если существуют такие элементы и„..., и„Е В, что В = А[и„..., и„]. Если кольцо В (а, значит, и А) не имеет делителей нуля, то можно рассмотреть поля отношений К = Янов А, В = Яно1 В и считать, что все действие разворачивается в «большом» поле Ь. Имеет место следующая диаграмма включений: 5 5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ ЗТТ Способ получения конечных расширений полей дается следующей теоремой.
Теорема 1. Пусть А Е К[х] — неприводимый многочлен степени и. Тогда Т = К[х]/(А) — конечное расширение поля К, причем б1ш Ь = п, Доказательство. Тот факт, что Ь вЂ” поле, вытекает из общей теоремы 2.4. Далее, из возможности и единственности деления с остатком в К [х) следует, что всякий элемент из Ь однозначно представляется в виде а +ах+...+а„,х" '+(Ь) (аь,а„...,а„,ЕК). Это означает, что смежные классы 1+(А), х+(А), ..., х" '+(А) составляют базис поля Ь над К. П Элемент сг = х+(А) Е Ь является, очевидно, корнем многочлена Ь в поле Ь, причем Ь = К [а). Поэтому переход от поля К к полю Ь называется присоединением к полю К корня неприводимого многочлена А. Расширения описанного типа называются простыми. В $ 11.6 мы покажем, что всякое конечное расширение поля нулевой характеристики является простым (теорема о примитивном элементе).
Однако это обстоятельство не играет существенной роли для понимания дальнейшего, и мы пока не будем доказывать (и использовать) эту теорему. ПРимЕР 1. Если а Е Х вЂ” элемент, не являющийся квадратом в поле К, то поле К[т/а], получающееся присоединением к К корня многочлена х' = а, является расширением степени 2, или, как говорят, квадратичным расширением поля К. В частности, К[1) = С Пусть Ь вЂ” какое-то расширение поля К. Если элемент м Е Ь алгебраичен над К, то совокупность всех многочленов Г' е К[х), для которых Г"(м) = О, является ненулевым идеалом кольца К[х]. Порождающий элемент этого идеала называется минимальным многочленом элемента и и обозначается через т„(ср.
определение минимального многочлена линейного оператора в ф 6.5). Отметим, что минимальный многочлен неприводим. В самом деле, если гп„=Уд, то либо Г'(и) =О, либо д(и) =О, так что один из многочленов Г' и д должен иметь такую же степень, что и т„. Степень многочлена гп„называется степенью элемента и над К.
378 Гл. 9. КОММУТАТИБНАЯ АЛГЕБРА Теорема 2. Элемент и Е Ь алгебраичен над К тогда и только тогда, когда К[и] — конечномерное векторное пространство над К. При этом условии К[и] есть поле и его размерность над К равна степени и над К. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если пространство К[и] конечномерно над К, то оно порождается конечным числом степеней элемента и. Следовательно, найдется такое п, что и" линейно выражается через предыдущие степени, а это и означает, что и алгебраичен над К.
Обратно, пусть и — алгебраический элемент степени п над К. Тогда и" линейно выражается через предыдущие степени элемента и. Последовательно умножая это выражение на и и заменяя образующуюся при этом и-ю степень элемента и ее выражением через предыдущие степени, мы получаем, что и любая степень элемента и, а значит, и любой элемент пространства К[и], линейно выражается через 1,и,...,и" '. Следовательно, йш„ К[и] ( и. Более точно, рассмотрим гомоморфизм ~р: К[х] — + Ь, у ~-~,) (и).
Его образ есть К[и], а ядро есть идеал, порожденный минимальным многочленом гп„элемента и. Следовательно, К[и] К[х]/(т„). Так как многочлен гп„неприводим, то, согласно теореме 1, К[и] есть поле и его размерность над К равна денга„= и. О Следствие. Всякое конечное расширение поля является алгебраическим. П РимеР 2. Пусть р — простое число. Так как число г, = дк =сов — +Г з1п —" ЕС является корнем многочлена хг '+...+х+1, Р Р неприводимого над Я (пример 3.6.2), то Я[г,] есть расширение степени р — 1 поля Я. Оно содержит все комйлексные корни р-й степени из 1 и называется круговым полем (или полем деления круга). Теорема 3. Если Ь вЂ” конечное расширение поля К, а М— конечное расширение поля Ь, то М вЂ” конечное расширение поля К, причем йгпк М=йшя Ь йш~ М. Доказательство.
Если (е ) — базис расширения Ь над К, а (Я вЂ” базис расширения М над Ь, то (е,)з) — базис расширения М над К. О э 5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ 3У9 Для любых элементов и„ ...,и„ Е Ь совокупность элементов поля Ь, которые могут быть представлены в виде отношения элементов кольца К[и„ ...,и„), является подполем, изоморфным 13цо1 К[и„..., и„1.
Оио называется подполем, порожденным над К элементами и„..., и„, и обозначается через К(и„..., и„). В частности, если и Е Ь вЂ” алгебраический над К элемент, то, согласно теореме 2, К(и) = К[и) (феномен «уничтоження иррациональности в знаменателе»), Расширение Ь поля К называется конечно порожденным, если существуют такие элементы и„..., и„Е Т,, что Ь = К(и„..., и„). Теорема 4. Следующие свойства расширения Ь поля К эквивалентны: 1) Ь вЂ” конечное расширение; 2) Ь вЂ” конечно порожденное алгебраическое расширение; 3) Ь порождается над К конечным числом алгебраических элементов.
До к аз а т ель с т во. Докажем единственную нетривиальную импликацию 3) =» 1). Пусть Ь порождается над К алгебраическими элементами и„..., и„. Рассмотрим «башню расширений» К С К(и ) С К(ип ит) С... С К(и„..., и„) = Ь. Так как К(и„..., и„) = К(и„..., и„,)(и ) и элемент и„, будучи алгебраичен над К, тем более алгебраичен над К(и„ ...,и„ ,), то все «этажи» башни являются конечными расширениями. По теореме 3 отсюда следует, что и х. — конечное расширение поля К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
