1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Определение 3. Расширение В кольца А называется конечным, если В является конечно порожденным А-модулем. Ниже формулируются частичные аналоги теорем 2-5 для расширений колец. Их доказательства практически не отличаются от доказательств соответствующих утверждений теорем 2 — 5. Нужно только слово «базис» всюду заменить на «систему порождающих» и теорему о конечномерности любого подпространства конечномерного векторного пространства — на теорему 4.1.
Пусть  — какое-то расширение кольца А. Теорема 8. Элемент и е В цел надА тогда и только тогда, когда А[и~ — конечно порожденный А-модуль. Следствие, Всякое конечное расширение нетероеа кольца является целым. Теорема 9. Если  — конечное расширение кольца А, а С— конечное расширение кольца В, то С вЂ” конечное расширение кольца А. 386 Гл. 9. КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА Теорема 10. Следующие свойства расширения В нетерова кольца А эквивалентны: 1)  †конечн расширение; 2)  — конечно порожденное целое расширение; 3) В порождается над А конечным числом целых элементов. Напомним, что конечно порожденное (и, тем более, конечное) расширение нетерова кольца также нетерово (следствие 2 теоремы 4.2). Теорема 11.
Пусть  — какое-то расширение нетерова кольца А. Совокупность А всех элементов кольца В, целых над А, является подкольцом, целозамкнутым в В. (Последнее означает, что всякий элемент кольца В, целый над А, принадлежит А, т. е. цел уже над А.) Кольцо А называется целым замыканием кольца А в В. Например, все алгебраические числа, целые над Е, — они называются целыми алгебраическими числами — образуют подкольцо 2 в поле 1г всех алгебраических чисел. Поле отношений кольца г, совпадает с Я. Следующая теорема устанавливает связь между конечными расширениями полей и конечными расширениями колец. Целостное кольцо называется нормальным (или целозамкнутым), если оно целозамкнуто в своем поле отношений.
Например, кольцо У, нормально в силу следствия теоремы 3.6.1. Теорема 12. 17усть А — нормальное нетерово кольцо, К— его поле отношений, Ь вЂ” конечное расширение поля К и В— целое замыкание кольца А в Ь. Лредположим, что с)заг К = О, Тогда  — конечное расширение кольца А. (См. диаграмму (21).) Доказательство. Докажем вначале, что 1ги я А для любого и е В. Пусть а„..., а„е А таковы, что и +а и '+...+а,и+а =О.
Тогда Т(и) +а,Т(и) '+...+а,Т(и)+а В=О. (24) Пусть Р ~ К вЂ” поле разложения характеристического многочлена оператора Т(и). Из (24) следует, что все корни этого многочлена в поле Р целы над А; но след 1ги = 1гТ(и) равен их сумме, и, значит, также цел над А . С другой стороны„ 1ги е К. Ввиду нормальности кольца А отсюда вытекает, что 1ги е А. 6 б. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ 387 Пусть (е„..., е„) — базис 5 над К.
Можно считать, что е„.. ..., е„Е В. Тогда с, Ф (е„еу) Е А при всех з, у' и гд Ф Йе1(со ) ~ О. Выясним, когда элемент и=х)е, +...+х„е„(х„...х, ЕК) цел над А. Это заведомо так, если х„..., х„а А. Это условие, вообще говоря, не является необходимым, но мы сейчас покажем„ что коэффициенты х„..., х, все же не могут быть «слишком дробными». Составляя скалярные произведения элемента и с базисными векторами, находим: сих, =(еы и) Е А (з = 1,..., тз). (25) ) Рассматривая (25) как систему линейных уравнений относительно х„..., х„, по формулам Крамера получаем, что х„..., х„Е Л 'А.
Таким образом, кольцо В содержится в А-подмодуле, порожденном элементами Л 'е„ ...,гз 'е„. Так как кольцо А нетерово, то отсюда вытекает, что  — конечно порожденный А-модуль. С1 3 д ма чан нз Е В случае спаг К = р > О приведенное доказательство не проходит, так как скалнрное умножение а А может быть аырожденным. Более того, сама теорема а этом случае неверна. Пусть К вЂ” какое-либо поле алгебраических чисел (т, е. конечное расширение поля ©. Целое замыкание кольца д, в К называется кольцом целых (чисел) поля К'. Обозначим его через д, .
Из теоремы 12 следует, что Ук — конечно порожденная абелева группа (по сложению). Так как группа У, не имеет кручения, то она свободна. Более того, всякий ее базис является базисом поля К как векторного пространства над (), так что г1«Ж,, =81ш, К ЗАДАЧА 2. Доказать, что в поле з)(ь)гз), где «1 — целое число, свободное от квадратов, целыми являются числа вида а+ Ьэ)'и', где а, 6 Е Х либо, если г( = 1 (гпоб 4), а, Ь Е Ж + —. ЗАДАЧА 3. Доказать, что в поле деления круга Ц(е ) (см.
примеры 2 и 5) целыми являются числа п +аз +...+о ао,а„...,а, зЕЖ. 388 Гк 9. КОММУГАТИВНАЯ АЛГЕБРА (Указания: 1) следуя доказательству теоремы 12, доказать вначале, что знаменателями рациональных чисел а, а„..., а, могут быть только степени числа р; 2) вместо разложения по степеням числа г„ рассматривать разложение по степеням числа 1 — г; »' 3) доказать, что в кольце целых поля Ц(г,) имеют место следующие ассоциированности: 1 — г, 1 — г,' (к=1 2,...,р — 1), р-(1 — г)' 4) доказать, что если какое-либо целое рациональное число делится на 1 — г,, то оно делится на р.) р 6.
Конечно порожденные алгебры и аффинные алгебраические многообразия В этом параграфе мы будем рассматривать алгебры иад полем К, причем под словом «алгебра» будет пониматься коммутативная ассоциативная алгебра с единицей. Отметим, что в силу следствия 2 теоремы 4.2 всякая конечно порожденная алгебра является нетеровым кольцом. Пусть А — алгебра без делителей нуля. Элементы и„..., и„ алгебры А будут называться алгебраически зависимь»ми, если они алгебраически зависимы над К. Определение 1.
Алгебраически независимая система элементов (и„..., и„) называется базисом трансцендентности алгебры А, если для любого и Е А система (и„..., и„, и) алгебраически зависима или, что равносильно, если алгебра А является алгебраическим расширением подалгебры К[и„..., и„], порожденной элементами и„..., и„. (Ср. определение базиса векторного пространства.) Например, (х„ ...,х„) — базис трансцендентности алгебры многочленов К[х„ ...,х„]. Предложение 1. Всякий базис трансцендентности алгебры А является в то же время базисом трансцендентности ее поля отношений Яцо1 А (рассматриваемого как алгебра над К).
Доказательство. Пусть (и„...,и ] — базис трансцендентности алгебры А. Элементы поля (,)ио1А, алгебраические над подалгеброй К[и„..., и ] — это то же, что элементы, алгебраические иад подполем К(и„..., и ) = Яцо1 К[и„..., и~]. э 6. КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫЕ АЛГЕБРЫ 389 Все такие элементы образуют подполе в й)цо1 А (теорема 3.5). Так как это подполе содержит А, то оно совпадает с (,)по1 А. 0 Предложение 2. Пусть алгебра А порождается элементами и„..., и„, А = К[и„..., и„!. Тогда всякая максимальная алгебраически независимая подсистема системы (и„..., и„) является базисом трансцендентности алгебры А. Доказательство.
Пусть (и„...,и,) — максимальная алгебраически независимая подсистема системы (и„..., и„). Рассмотрим алгебраическое замыкание подполя К(и„..., иг) в поле Япо1 А. По условию оно содержит элементы и„..., и„, а следовательно, совпадает с Яиог А и, в частности, содержит А. 0 Следствие. Во всякой конечно порожденной алгебре беэ делителей нуля существует базис трансцендентности. Предложение 3 (лемма о замене).
Пусть (и„аз,..., и,)— базис трансцендентности алгебры А и о Е А — элемент, трансцендентный над К[и„..., и,1 Тогда (о, и„..., иг) — также базис трансцендентности алгебры А. Доказательство. Ясно, что элементы ь, и,...,иг алгебраически независимы. С другой стороны, элементы ь, и„и„..., и, алгебраически зависимы, Рассмотрим нетривиальную алгебраическую зависимость между ними. Она должна нетривиальным образом содержать и,. Следовательно, элемент и, алгебраичен над подалгеброй К[о, иэ,..., и,[. Таким образом, алгебраическое замыкание подполя К(о„и,..., и„) в ь)ио1 А содержит К(и„и,..., и„) и, значит, совпадает с ь)по1 А.
0 Теорема 1. Все базисы трансцендентности алгебры А (если они существуют) содержат одно и то же число элементов. Это число называется степенью трансцендентности алгебры А и обозначается через 1г. пей А. Доказательство. Пусть (и„...,и ) и (о„...,ь) — два базиса трансцендентности. Если все элементы о„..., о, алгебраичны над К[и„..., иг), то уже элементы из,..., и„составляют базис трансцендентности алгебры А, что невозможно. Следовательно, существует такой номер в',, что элемент оч трансцендентен над К[из,..., и,).
Согласно предложению 3, о„., йэ,..., и, — базис трансцендентности алгебры А. Рассуждая таким же образом, мы 390 Гл. 9. КОММУТАТИВИАЯ АЛГЕБРА можем в этом базисе заменить в некоторым элементом в. и т. д. В конце концов мы получим базис трансцендентности вида (в., в,, в,. ). Отсюда следует, что Ы < е.
Аналогично доказывается, что е < Ы. П Теорема 2 (лемма Нетер о нормализации). В конечно порожденной алгебре А = К[и,,..., и,] без делителей нуля существует такой базис трансцендентности (в„..., в ), что алгебра А цела над К[в„..., в ]. Доказательство. Мы докажем эту теорему в предположении, что поле К бесконечно. В этом случае искомый базис трансцендентности можно составить из линейных комбинаций элементов и„..., и„.
Проведем индукцию по п, Если элементы и„..., и„алгебраически независимы, то они и составляют искомый базис трансцендентности. В противном случае рассмотрим нетривиальную алгебраическую зависимость между ними: .г(ив..., и„) = О, у е К[х„..., х„]. Пусть бед ~ = гп. Если ~ содержит х„" с ненулевым коэффициентом, то элемент и„цел над подалгеброй В = К[и„..., и„,]. По предположению индукции в В существует такой базис трансцендентности в„..., в,, что алгебра В цела над К[в„..., в ].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
