1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 75
Текст из файла (страница 75)
ПРИМЕР 2. Пусть Ч с К' — квадратичный конус, задаваемый уравнением ху = а'. Имеем КЯ] = К(,х, р, а]/(ху — а~) = К[и, о, и], где и, о, то связаны соотношением ио = то', Очевидно, что и, о, и (как и все линейные формы от них) — простые элементы алгебры К[Я]. Поэтому соотношение ии = иР является нарушением факториальности. Это находит свое отражение в том, что идеалы (и), (о), (ю) не являются простыми (например, ии Е (и ), но и ф (ш) и о ф (ш)), и одновременно в том, что идеалы образующих конуса Я не являются главными (например, идеал оси х есть (о, ш), а идеал оси у есть (и, и)). 406 Гл. 9. КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА Ь[а «=- о (а)>о (Ь) «р.
В общем же случае нормирований вида с недостаточно для выяснения вопроса о делимости элементов. Каким должно быть их рззумнае обобщение, подсказывают следующие две задачи. Зхдхчх 3. Доказать, что всякий простой главный икезл, отличный от 0 и А, является минимальным среди ненулевых простых идезлов кольца А. Зхдхчх 4. Доказать, что в фзкторизльном кольце любой минимальный простой идезл является главным.
Минимальные простые идеалы кольца А называются его простыми дизизорамн. В рвссмзтривзвшемся выше случае, когда А = К(М], простые дивизоры — это идеалы (п — 1)-мерных неприводимых подмногообрззий многообрззия М. Можно доказать, что любой простой дивизор р является идеалом некоторого однозначно определенного нормнроззния еж Иден доказательства состоит в том, что идеал р стзновится главным при вложении кольце А в подходящее кольцо вида А [ й], где н Е А ",р.
Очевидно, что если р = (р), то ор = о . 1 В случае когда А = к[м] и р = т (г«г), где г«" есть (п — 1)-мерное неприводимое подмногообрззие многообразия М, число о„(У) при У Е К[М] имеет смысл «порядкз нуля« функции г" нз подмногообрззии Г«Г. П янмкг 3. В примере 2 плоскость м = 0 касается конуса О по оси у, плоскость р = 0 касается него по оси х, з плоскость з = 0 трзнсверсзльно пересекает его по осям х и у.
Поэтому, если обозначить через р и Ч идеалы осей х и р в алгебре К[1„«], то „()=г, о (о) =О, ог(и) =О, о„(м) = 2, и,(ю) = 1, о„(ю) = 1, что согласуется с соотношением мо = «из. Наблюдения подобного рода приводят к мысли о том, что, может быть, правильнее рассматривать не простые элементы алгебры К[М], а простые идеалы, соответствуюп(ие (и — 1)-мерным неприводимым подмногообразиям. И, действительно, на этом пути может быть построена очень красивая теория, причем не только для конечно порожденных алгебр, но и для любых нетеровых колец. Изложим кратко основные идеи этой теории.
Пусть А — нормальное нетерово кольцо. Назовем нормированием кольца А сюръективное отображение о: А ',(О) «Е„, обладающее следуюшими свойствами: 1) с(аЬ) = о(а) -~- о(Ь); 2) о(а-~ Ь) > ш[п(о(о), о(Ь]). Совокупность элементов а е А, дзя которых о(а) >О, есть простой идеал кольца А. Он называется идеалом нормирования о и обозначается через р(о). С каждым простым элементом р е А, для которого идеал (р) прост, связано нормирование ор, определяемое следующим обрезом: ор(а) есть наибольшая степень элемента р, нз которую делится а. Очевидно, что р(о„) = (р). Если кольцо А фзкторизльно, то для любых его ненулевых элементов верно следующее: $7.
РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ 4оу Основные свойства нормирований ор, оправдывающие их рассмотрение, состоят в следующем: 1) для любого ае А ",(О) множество таких р, что о (а) > О, конечно; 2) для любых а, ь е А" (О) Ь ! а с=Ф 'тр о (а) > о„(Ь). Исторически эта теория была впервые построена для колец целых чисел круговых полей в работах Куммера по теореме Ферма. В отличие от общего случая, а кольцах целых алгебраических чисел все нетривиальные простые идеалы, как мы покажем ниже, явлнются минимальными. Кроме того, в этом случае теория может быть интерпретирована как теорема об однозначном разложении идеалов на простые множители.
А именно, определим умножение идеалов по правилу оь = ( 1; о, ь, ! о„..., оь е о, ьг,..., ьь е ь~. =1 Очевидно, что это умножение каммутативно и ассоциативно и что (а)(Ь) =(аЬ). Тем самым полугруппа ненулевых элементов кольца А, рассматриваемых с точностью до ассоциированности, оказывается вложенной в полугруппу идеалов. Можно доказать, что если А — кольцо целых чисел некоторого поля алгебраических чисел, то веяний ненулевой идеал в нем однозначно разлагается в произведение простых идеалов. Число о (а) интерпретируется тогда как показатель при р в разложении идеала (а).
Два идеала называются эквивалвнглнымн, если они становятся равными после умножения их на подходящие главные идеалы. Классы эквивалентных идеалов кольца А целых алгебраических чисел образуют группу, называемую группой классов идеалов кольца А и обозначаемую через С1 А. Она измеряет отклонение кольца А от фвкториальности.
Пусть К вЂ” поле алгебраических чисел, а Š— кольцо его целых чисел. Теорема 6. Любой ненулевой идеал а кольца Е является подгруппой конечного индекса (по сложению). Доказательство. Мы знаем, что существует такой базис (е„ ..., е„) пространства К над Я, что Е» = Ее, тв тп Ее„. Пусть а — какой-либо ненулевой элемент идеала а. Отображение х! ах является невырожденным линейным преобразованием пространства К над Я и, следовательно, (ае„ ..., ае„) — также базис этого пространства. Так как он содержится в а, то а — подгруппа конечного индекса в Е .(з Следствие 1. Любой нетривиальный простой идеал р кольца Е» являегпся максимальным идеалом.
Доказательство. Факторкольцо Е»/р конечно и не имеет делителей нуля. Доказываемое утверждение вытекает из следующей леммы. П 408 Гл. 9. КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА Лемма 3. Всякое конечное кольцо А без делителей нуля является полем. Доказательств о. Пусть аеА — ненулевой элемент. Отображение А — «А, х«-«ах, ввиду отсутствия в кольце А делителей нуля инъективно и, значит, сюръективно. В частности, су!цествует такой элемент Ь, что аЬ = =1. О Следствие 2.
Любой нетривиальный простой идеал кольца Жк является минимальным простым идеалом. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если бы существовал меньший простой идеал, то он не был бы максимальным. С) ПриМЕ 4. Кольцо целых чисел поля Я(~/ — 5) есть Ж[ъ/-5[. Определим норму 1!«'(с) числа с = а+ Ьзг'-5 е Ж[з/-5[ (а, Ь е У) по формуле А!(с) = ос = аз + 5Ьз е 2. Очевидно, что норма мультипликативна: Г«г(с«с ) = АГ(с!)Г«г(с ). Поэтому, если с — обратимый элемент кольца Ж[з/-5], то тьг(с) = Ы. Отсюда следует, что обратимы только Ы. Если с — не простой необратимый ненулевой элемент, то !ьг(с) представляется в виде произведения двух норм, отличных от 1. С помощью этого соображения легко показать, что все элементы, участвующие в равенстве 2 3=(1+ зг'-5)(1 — ч'-5), просты.
Таким образом, кольцо 2[а/-5) не факториально. С точки зрения теории идеалов равенство (40) находит следующее объяснение: (2)=Рз, (3)=П«пз, (!+ьг-5)=РЧо (! — ч5)=Раз, где р = (2, 1 е «/-5) = (2, ! — ь«-5), д! = (3, 1 -ь ь«-5), Чз — †(3, ! — «/-5) — простые идеалы.
(Проверьте зто!) Можно показать, что с! к(чг-5! к . Вообще, группо классов идеалов кольцо целых любого поля олгеброических чисел конечно. Это означает, в частности, что некоторая степень любого идеала является главным идеалом. Глава 10 ГРУППЫ ф 1. Прямые и полупрямые произведения В $9.1 были рассмотрены прямые суммы аддитивных абелевых групп. Конечно, название операции в группе неважно.
Ничто не мешает сделать то же для мультипликативных групп; только в этом случае естественно говорить не о прямой сумме, а о прямом произведении. Более существенно то, что можно отказаться от коммутативности. Дадим соответствующие точные определения. Определение 1. Говорят, что группа С разлагается в прямое произведение своих подгрупп С„..., С,, если 1) каждый элемент д е С единственным образом представляется в виде д = д, д„где д, Е С„ 2) д д, =д д,, при д е С„д е С,, 1 фУ.
В этом случае пишут С = С, х... х С,. Очевидно, что если группа С конечна, то !С! = !С!... !С„!. Из УсловиЯ 1) следУет, что С ОСт =(е) пРи 1~у', но, как мы видели уже на примере векторных пространств (ср. с задачей 5.1.2), при й > 2 последнее условие является более слабым, чем условие 1). Из условия 2) вытекает следующее правило умножения элементов группы С: (д ...д,)(д!.. д') =(д д!) (д ~Э (д, д ~ С*) (1) В частности, легко видеть, что каждая из подгрупп С,. нормальна.
Как вытекает из следующей леммы, условие 2) можно заменить требованием, чтобы подгруппы С„..., С„были нормальны. Лемма 1. Пусть С, и С,— нормальные подгруппы группы С, причем С, и С = (е). Тогда д,д, = д,д, для любых д, Е С,, д, Е С,. 410 Гл. !О, ГРУППЫ Доказательство. Имеем 9!9?9! 92 д!(9291 92 ) = (9!9?9! )92 Е С! Й С? = (е) откуда д,д,=д,д,.
П Рассмотрим отдельно случай двух множителей. Предложение 1. Группа С разлагается в прямое произведение своих подгрупп С, и С, тогда и только тогда, когда 1) подгруппы С, и С, нормальны; 2) С,ОС,=(е); 3) С = С,С,, т. е, каждый элемент д Е С представляется в виде д = д,д?, где д, Е С,, 9? Е С,.
До к а вате л ьст во. Утверждение «только тогда» уже доказано выше. Пусть, обратно, выполнены условия 1) — 3) предложения. Тогда по лемме 1 д,д, = д д, при д, Е С,, 9, Е С,. Остается проверить единственность представления элемента д Е С в виде д = д,д, где д, Е С„д, Е С,. Пусть 9!9?=9!9? (% % е С! % 9?Е С?).
Тогда д, д,'=дд' ЕС!Г?С =(е), откуда %=%, 9,=%. О) ПРП!»!ЕР 1. Пусть С = (е, а, б, с) — нециклическая группа порядка 4. Легко видеть, что квадрат любого из элементов а, б, с равен единице, а произведение любых двух из них (в любом порядке) равно третьему (см. пример 4.1.7, где выписана таблица умножения этой группы). Отсюда следует, что С есть прямое произведение любых двух различных циклических подгрупп второго порядка, например, С = (е, а) х (е, б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
