1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 76
Текст из файла (страница 76)
ПРП!»!ЕР 2. Возможность и единственность представления комплексного числа, отличного от нуля, в тригонометрической форме означает, что С* =!к" х 7 (см. обозначения в примерах 4.5.2 и 4.5.3), ПРимнР 3. Пусть С = О(.+„(К) — группа матриц с положительным определителем, С, — подгруппа скалярных матриц ЛЕ с Л ) 0 и С, = Я.„(1к). Тогда С = С, х С,. В самом деле, С, и С~ — нормальные подгруппы (причем элементы подгруппы С, коммутируют $ |. ПРЯМЫЕ И ПОЛУПРЯМЪ|Е ПРОИЗВЕДЕНИЯ 411 со всеми элементами группы), С, г| С, = (е) и С = С, С„ так как каждая матрица А Е С может быть представлена в виде А =ЛА, =(ЛЕ)А„ где Л = ъ'се|А, А, = Л А Е Я.„(К) = С,.
ЗЛДлнл 1. Выяснить, при каких и 01„(К) =(ЛЕ: Л е К*) х Я.„(К). Дадим теперь определение внешнего прямого произведения групп. Определение 2. Прямым произведением групп С„..., С„называется совокупность последовательностей (д„..., д,), где д,. е С,, с покомпонентной операцией умножения; (% ° ° %)(% ° дь) = (%% дьй). Очевидно, что таким образом действительно получается группа. Она обозначается через С, х... х С,. Отождествляя каждый элемент д б С,. с последовательностью (е,..., д,..., е) 6 С, х... х С„, где д стоит на г-м месте, мы получаем вложение С,.
в С, х... х С, в виде подгруппы. Группа С, х... х С„ есть прямое произведение этих подгрупп в смысле определения 1. Обратно, если некоторая группа С разлагается в прямое произведение своих подгрупп С„ ..., С„, то отображение С, х... х С вЂ” ~ С, (д,,..., д ) ~-+ д,... д, в силу формулы (1) является изоморфизмом групп. ПРНМЕР 4. Группа (невырожденных) диагональных матриц порядка я изоморфна группе |к'г-х' ... к'.
Гораздо чаще, чем разложение группы в прямое произведение, встречается разложение в так называемое полупрямое произведение. Перед тем как дать соответствующие определения, поговорим об автоморфизмах групп. Определение 3. Автоморфизмом группы называется ее изоморфизм на себя. ПРНМЕР 5. Отображение х~ ах (а~О) является автоморфизмом аддитивной группы поля. ПРимеР б. Отображение Х (Х") ' является автоморфизмом группы невырожденных матриц, 412 Гл. 1О. ГРУППЫ Все автоморфизмы группы С образуют группу, обозначаемую через Ан1 С. Для любого элемента д е С отображение а(д): х дхд-' (х е С) является автоморфизмом: а(д)(ху) = дхуд ' =(дхд ')(дуд ') =(а(д)х)(а(д)у). Такой автоморфизм называется внутренним автоморфизмом, определяемым элементом д.
Отображение д а(д) является гомоморфизмом группы С в группу Аи1 С: а(дп)х = дах(дп) ' = д(ихн ')д ' = а(д)а(А)х. Его ядро есть центр Я группы С: Я=(кб С: ад=де ЧдеС). Его образ есть подгруппа группы Ац1С, называемая группой внутренних автоморфизмов группы С и обозначаемая через 1п1 С. По теореме о гомоморфизме 1п1 С С/Е Пример 7. Легко доказать, что при п ) 3 центр группы Я„ тривиален.
Следовательно, 1п1 Я„ Я„. Пример 8. Центр группы И.„(К) (где К вЂ” поле) состоит из скалярных матриц и изоморфен мультипликативной группе К', Факторгруппа О1„(К)/(ЛЕ: Л Е К*) есть не что иное, как проективная группа РО! „(.К) (группа проективных преобразований (и-1)-мерного проективного пространства РК", ассоциированного с векторным пространством К"). Таким образом, 1п1 01.„(К) = РО1.„(К). Пусть р е Аи1 С вЂ” любой автоморфизм и д е С.
Непосредственная проверка показывает, что ~ра(д)~р ' = а(р(д)). Следовательно, 1п1 С вЂ” нормальная подгруппа группы Ац1 С. Конечно, нетривиальные внутренние автоморфизмы имеются лишь у неабелевых групп. Придир 9. Найдем группу АШЯз. Так как при любом изоморфизме групп сохраняются порядки элементов, то всякий автоморфизм р группы Я переводит транспозиции в транспозиции. $ !. ПРЯМЫЕ И ПОЛУПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 413 Более того, так как группа Яз порождается транспозициями, то автоморфизм зз однозначно определяется тем, как он переставляет транспозиции. Следовательно, [ Ап1 Яз [ ~~ [Яз! = б.
Но группа 1п1 Яз, как мы видели выше, содержит как раз б элементов. Следовательно, А 1оз — — 1п1 оз. ПРИМЕР 10. Найдем группу Ап1 К.. Пусть р Е Аи1 К„и Зз([1]) = = [Й[. Тогда Р ФЬ=ФЬ. Следовательно, гомоморфизм !зз. обратим, т.е. является автомор- физмом, тогда и только тогда, когда обратим элемент а в кольце Й„.
Таким образом, Апг У„У*„, где У,'„— группа обратимых элементов кольца Ж„. Пользуясь понятием внутреннего автоморфизма, можно следующим образом переформулировать определение нормальной подгруппы: подгруппа нормальна, если она инвариантна относительно всех внутренних автоморфизмов группы С. Пусть Аг — нормальная подгруппа группы С, а Н вЂ” любая подгруппа. Тогда произведение 1тН=. '(иЬ; и Е Аг, Ь Е Нзт является подгруппой, как показывают следующие тождества: (и,Ь,)(и Ь,)=и,(Ь,и Ь,')Ь,Ь, (иЬ) ' =(Ь 'и 'Ь)Ь ', Кроме того, ХН=НА1. (2) где умножение в последнем выражении понимается в смысле кольца У,„.
Таким образом, всякий автоморфизм группы У.„имеет вид ~р,: хи ах для некоторого аЕ Ж„. Обратно, для любого аЕ У.„отображение р„ является гомоморфизмом группы Ж„в себя и 414 Гл. 10. ГРУППЫ Определение 4. Говорят, что группа С разлагается в полупрямое произведение подгрупп Л и Н, если 1) Аà — нормальная подгруппа; 2) Аг ОН =(е); 3) АгН= С.
При этом пишут С = М > Н (или С = Н С Аг) Свойства 2) и 3) эквивалентны тому, что каждый элемент группы С единственным образом представляется в виде произведения пЬ, где и Е М, Ь Е Н. В частности, если группа С конечна, то 1 С 1=1Аг~!Н!. ПРИМЕР 11. Я„= А„> ((12)) П~ имеР 12. Я, = Ъ'„> Я,, где Ъ'„— четверная группа Клейна (см. пример 4.6.15), а Я вложена в Я, в виде подгруппы, оставляющей на месте символ 4. В самом деле, легко видеть, что для каждого Ь е (1, 2,3,4) в )т имеется единственная подстановка, переводящая 4 в Ь. Отсюда следует, что каждая подстановка е е Я, единственным образом представляется в виде е = тр, где т е Ъ4, РЕ Яз.
П ~имеР 13. О1„(Н) = ~.„(Н) >, (б1ад (А, 1,..., 1): А ~ Н ). ПРимвР 14. Группа ОА(Я) аффинных преобразований аффинного пространства Я есть полупрямое произведение (нормальной) подгруппы Тгап Я параллельных переносов и группы О1(Ъ') линейных преобразований ассоциированного векторного пространства )т, вложенной в ОА(Я) в виде подгруппы, оставляющей на месте какую либо фиксированную точку. ПРИМЕР 15. Группа 1зот Я движений евклидова аффинного пространства Я есть полупрямое произведение группы параллельных переносов и группы О( 1т) ортогональных преобразований ассоциированного евклидова векторного пространства. Если С = АГУ Н, то СВАГ = Н. Однако не следует думать, что для всякой нормальной подгруппы Аг найдется такая подгруппа Н (изоморфная С/АГ), что С = Аг > Н.
Например, для (нормальной) подгруппы 2е. в группе е, не существует дополнительной подгруппы. Пусть С = Аг > Н. Для каждого Ь Е Н обозначим через а(Ь) ограничение на АГ внутреннего автоморфизма а(Ь) группы С. Очевидно, что а(Ь)еАШАГ и что отображение Ьг а(Ь) является $ !. ПРЯМЫЕ И ПОЛУПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 415 гомоморфизмом группы Н в группу Ап1Н. Первую из формул (2) можно переписать в аиде (и, Ь,)(п Ь,) = (п,а(Ь,)п )(Ь, Ь,). (3) Пусть теперь имеются какие-то группы )т' и Н и задан гомоморфизм а: Н- Аи1Ю. Определим в декартовом произведении Л х Н операцию умножения по формуле (п„Ь,)(пт, Ь ) =(п,а(Ь,)пт, Ь,Ь ).
(4) подсказанной формулой (3). Непосредственно проверяется, что операция (4) удовлетворяет аксиомам группы. Полученная группа С называется (внешним) полуирямым произведением групп Н и Н, определяемым гомоморфизмом а, и обозначается Аг ~, Н или а просто 1т' > Н. Если отождествить группу 1т' с подгруппой группы С, состоящей из пар вида (и, е), а группу Н вЂ” с подгруппой, состоящей из пар вида (е, Ь), то группа С будет полупрямым произведением этих подгрупп в смысле определения 4, Обратно, если какая-то группа С разлагается в полупрямое произведение своих подгрупп 1т' и Н и а: Н вЂ” Аи1 Н вЂ” гомоморфизм, определенный, как было указано выше, то отображение Ф) Н- С, (п, Ь) ° пЬ есть изоморфизм групп.
Прямое произведение является частным случаем полупрямого: оно получается, если в качестве а взять тривиальный гомоморфизм. Условимся обозначать через (а)„циклическую группу порядка п с порождающим элементом а. ПРимеР 16. Опишем группы, являющиеся полупрямыми произведениями циклических групп (а)„и (Ь) порядков и и т соответственно. Гомоморфизм оп (6) — АШ(а) „У:„ определяется образом элемента 6, который представляет собой возведение в некоторую степень Ь в группе (а)„. (См. пример 10.) Число Ь (его задание существенно лишь по модулю и) должно удовлетворять условию Ь" эз 1 (шод и). В частности, если число ~К'„~ = ~р(п) взаимно просто с гп, то отсюда следует, что Й = 1, а это соответствует прямому произведению.
416 Гл, 1О. ГРУППЫ Например, всякое полупрямое произведение групп (а), и (6), является прямым произведением. Полупрямое произведение групп (а)„и (6), отвечающее числу Ь, обозначим через (а)„>, (6)„. Оно определяется соотношением ЬаЬ ' = а'. Например, (а)„>, (6), есть группа диэдра В„. Некоторые из полу— ! ченных таким образом полупрямых произведений могут оказаться изоморфными. А именно, при (г, т) = 1 мы можем заменить элемент 6 элементом Ь', который также порождает группу (6); при этом Ь заменится на Ь'. Это показывает, что существенно не само число Ь, а циклическая подгруппа, порожденная элементом (й] в Х*„.
Например, имеются всего две неизоморфные группы, разлагающиеся в полупрямое произведение групп (а)„и (6) (одна из них есть прямое произведение этих групп). 2 2. Коммутант Пусть С вЂ” какая-либо группа. Коммутатором ~лементов х, у Е Е С называется элемент (х, у) = хух 'у '. Очевидны свойства: 1) (х, у) =е ~=Ф. хд= ух; 2) (х, у) ' =(у,х). Подгруппа, порожденная всеми коммутаторами, называется коммутантом группы С и обозначается (С, С) или С'. Ввиду свойства 2) для образования коммутанта достаточно брать произведения коммутаторов.
Коммутант тривиален тогда н только тогда, когда группа С абелева. Очевидно, что если у: С- Н вЂ” какой-либо гомоморфизм групп, то ~р(С') с Н', а если ~р(С) = Н, то х(С') = Н'. В частности, коммутант инвариантен относительно всех внутренних автоморфизмов группы, т.е. является нормальной подгруппой. Теорема 1. Коммутант С' группы С является наименьшей нормальной подгруппой, факторгруппа по которой абелева. Доказательство. 1) Пусть С/С'=А и тп С- А — канонический гомоморфизм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
