1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 79
Текст из файла (страница 79)
(Указание: доказать, что если (С) = и < 60, то для некоторого простого р, р ~ и, число )т' силовских р-подгрупп группы С не превосходит 4; если при этом 1т' > 1, то, рассмотрев действие группы С на множестве силовских р-подгрупп сопряжениями, получить нетривиальный гомоморфизм С вЂ” ~ Я„.) 9 Б.
Простые группы Определение 1. Нетривиальная группа С называется простой, если она не содержит нетривиальных (т.е. отличных от (е) и С) нормальных подгрупп. $5. ПРОСТЫЕ ГРУППЫ 429 Всякая разрешимая простая группа С есть циклическая группа простого порядка. Действительно, так как С'~ С, то С'= (е), т. е. группа С абелева. Но в абелевой группе все подгруппы нормальны.
Следовательно, группа С циклическая и, более того, простого порядка. Таким образом, простые группы бывают двух типов: 1) абелевы, к которым относятся лишь циклические группы простого порядка; 2) неабелевы (и, следовательно, неразрешимые). Примером неабелевой простой группы может служить группа Аз (доказательство ее простоты см. ниже). Значение простых групп может быть пояснено следующими соображениями. Пусть имеется цепочка вложенных подгрупп С=Со~С1Э'''~С ~~С =(е), (12) в которой С, з С,. (г = О, 1,..., т — 1).
Если факторгруппа Р,. = С,./С,. „, содержит нетривиальную нормальную подгруппу Дг, то между С,. и С„, можно вставить еще одну подгруппу, а именно полный прообраз )т' при каноническом гомоморфизме С, — Е,. Поэтому, если, например, группа С конечна, то можно построить цепочку (12), в которой все факторы просты. В любом случае такая цепочка, если она существует, называется композиционным рядом группы С. Несложно доказывается теорема Жордана — Гельдера: если группа С обладает композиционным рядом, то набор его факторов определен однозначно с точностью до перестановки. Таким образом, с каждой группой, обладающей композиционным рядом (например, с каждой конечной группой), каноническим образом связывается набор простых групп.
Поэтому классификация простых групп имеет фундаментальное значение для понимания строения любых групп. ЗАдлчА 1. Доказать, что конечная группа разрешима тогда и только тогда, когда все факторы ее композиционного ряда абелевы. Классификация неабелевых простых конечных групп чрезвычайно сложна. Она была получена в результате 30-летней работы нескольких сотен математиков всего мира, завершившейся в 1981 г. Мы ограничимся рассмотрением примеров. Предложение 1. Группа А„проста при п > 5. Лемма .
Если в разложении подстановки о Е А„в произведение независимых циклов присутствует цикл четной длины или 43О Гл. !О. ГРУППЫ два цикла одинаковой нечетной длины, то класс сопряженно- сти подстановки о в А„совпадает с ее классом сопряженности в Я„. (Неподвижный символ следует рассматривать как цикл длины 1.) Д о к а з а т е л ь с т в о.
В любом из рассматриваемых случаев в централизаторе подстановки о в группе Я„имеется нечетная подстановка т,. Действительно, если в разложении о присутствует цикл четной длины, то в качестве т, можно взять этот цикл, а если присутствуют циклы (~;~ ... г,), (т',~', ... т' ) одинаковой нечетной длины д, то можно взять тз = (гд)(~т )... ~гд). Пусть теперь т— любая нечетная подстановка. Тогда тсгг ' = (ттз)а(ттз) ', причем подстановка тт, уже четна. П В частности, все произведения пар независимых транспозиций, а при п > 5 и все тройные циклы сопряжены не только в Я„, но и вА„.
Доказательство предложения 1. Пусть ДгсА„— нормальная подгруппа, содержащая какую-то подстановку о ф е. Возведя подстановку о в подходящую степень, можно добиться, чтобы она имела простой порядок р. Тогда о есть произведение какого-то числа независимых циклов длины р. Рассмотрим отдельно три возможности. 1) Пусть р > 5. Запишем подстановку о в виде о = (з,~~14... 1 )т, где т — произведение остальных циклов (если их нет, то т = е), и сопряжем ее с помощью тройного цикла (г,~ьз).
Мы получим (см. пример 3.5): о' = (з, ~ ь) о(г, ь~ ьз) ' = (~ ь в', г ... х ) т б )у и, значит, о'о 1 =(г, ~т4) е йг. Так как все тройные циклы сопряже- ны в А„и группа А„ими порождается (см. предложение 2.1), то И=А„. 2) Пусть р = 3. Если о есть просто тройной цикл, то, как и выше, получаем, что Уч' = А„. В противном случае запишем подстановку а в виде о = (з, аА)(АА.1з)т, где т — произведение остальных циклов, и сопряжем ее с помощью подстановки (з,.1,)(аь1з).
Мы получим: о' = (ъ'Аэз)И, т',ьз)т е Ж, о'ст 1 = (г~ (1)(ьзтз) Е Х. г 5. ПРОСТЫЕ ГРУППЫ 431 Так как все произведения пар независимых транспозиций сопряжены в А„и группа А„ими порождается (см. предложение 2.1), то и в этом случае 1т' = А„. 3) Пусть, наконец, р = 2.
Тогда подстановка о есть произведение какого-то четного числа независимых транспозиций. Запишем ее в виде о = (г1 зг)(гзг4)т где т — произведение остальных транспозиций, и сопряжем с помощью цикла (г, Чгз). Мы полУчим: о' = (ЧЧ)(г,г',)т е АГ, о'~т ' = (г,гз)(Чг,) Е М, откуда, как и выше, следует, что 1У = А„.
П В частности, группа А, является простой группой порядка 60. В силу задачи 4.2 это наименьший порядок, который может иметь неабелева простая группа. Заметим, что при и = 5 предыдущее доказательство сильно упрощается, сводясь (с учетом леммы) к рассмотрению случая, когда о — цикл длины 5. ЗАДАЧА 2. Доказать, что единственной нетривиальной нормальной подгруппой группы А, является четверная группа Клейна Ъ4. ЗАДАЧА 3.
Доказать, что всякая простая группа С порядка 60 изоморфна А,. (Указание; рассмотрев действие группы С на множестве силовских 5-подгрупп, получить вложение С с А„далее рассмотреть действие группы С на А,/С.) В качестве примера еще одной серии простых групп приведем без доказательства следующий факт: при гз ) 2 группа Р51.„(К) = 51.„(К)ДЛЯ: Л е К, Л" = Ц проста, за исключением случаев, когда гз =2 и К вЂ” конечное поле из 2 или 3 элементов.
ЗАДАЧА 4. Найти порядок группы РЯ (Р,), где Р, — конечное поле из г элементов, Доказать, что Р51-г(вг) — лз Р51-г(вз) — Аз Р5~-г(в4) — Р51-г(вз) — '4з. (Указание: рассмотреть естественное действие группы С = = РЯ (в,) на проективной прямой Р(Р) над полем в,; при д =5 рассуждать, как в задаче 3.) Группа РЯ (в,) есть простая группа порядка 168. Это следующая по порндку неабелева простая группа после группы Аз. Группа РЯ (вз), как можно показать, изоморфна группе А . 432 Гл. 1О. ГРУППЫ ЗадАчл 5.
Доказать, что группа Р51 (С) проста. В качестве примера использования геометрических соображений для доказательства простоты (бесконечной) группы докажем, что группа 50, проста. Всякий элемент группы 50, есть поворот на некоторый угол а вокруг некоторой оси.
Преобразование, сопряженное с помощью элемента д б 50, повороту на угол о вокруг оси 1, есть поворот на тот же угол а вокруг оси д1 (ср. 8Тй пример 3.6). Поэтому всякая нор- а мальная подгруппа группы 50, вме- ,'в сте с поворотом на угол а вокруг 1 7 какой-либо оси должна содержать + с~ поворот на угол а вокруг любой,'й оси. о/ 1 Легко видеть (ср. пример 6.3.4), 1 что произведение поворотов на я вокруг осей гп и т', образующих ! между собой угол т, есть пово- 1 рот на угол 2 г вокруг оси, перпендикулярной плоскости осей т и т'. Предположим теперь, что Ж с Рис.
2 с 50з — нормальная подгруппа, содержащая поворот на угол а б (О, 2я) вокруг какой-то оси 1. Пусть д — поворот на я вокруг оси пт, образующей с осью 1 угол д е [О, $]. Тогда и = д(здз ') =(дзд ')з ' Е 1У; но так как здз ' есть поворот на я вокруг оси згп, то, слгласно предыдущему замечанию, Ь есть поворот на угол 27, где г — угол между пт и зт (см.
рис. 2). Угол г равен 0 при д =О и равен а при д = —. Из соображений непрерывности следует, что он может принимать значения в отрезке [О, ю]. Следовательно, группа 1т содержит повороты на все углы из отрезка [0,2а]. Возведением этих поворотов в степени можно получить поворот на любой угол. Это показывает, что ДГ = 50з. Можно показать, что группа 50„проста при любом и ) 3, за исключением и = 4.
Отсутствие простоты группы 50, является удивительным обстоятельством, которое будет обсуждено в $12.4 433 $ б. РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА 9 6. Расширения Галуа Расширения поля Л, получаемые присоединением корней различных неприводимых многочленов, могут оказаться изоморфными или, более общо, одно нз них может изоморфно вкладываться в другое. Выяснить, когда это имеет место, не так просто. Изучением гомоморфнзмов (и, в частности, автоморфизмов) алгебраических расширений полей как раз и занимается теория Галуа. В $4.2 было рассказано о том, какую роль играют группы в геометрии и физике.
Однако своим происхождением теория групп обязана теории Галуа, в которой группы появляются принципиально иным образом. Идеи теории Галуа находят воплощение и в других разделах математики. Так, аналогом теории Галуа в топологии является теория накрытий (в частности, аналогом группы Галуа поля является фундаментальная группа топологического пространства), а в теории функций комплексного переменного— теория голоморфных отображений римановых поверхностей.
Пусть Ь вЂ” конечное расширение степени и поля Л. Автоморфизмы поля Ь над Л образуют группу, которую мы обозначим через Ац1к Ь. Предложение 1. ~Аи1 Ь~ < и Доказательство. Поле Ь может быть получено из Л последовательными простыми расширениями: Л=КьСК|СКтС'''СЛ=Ь где К,. получается из К,, присоединением корня о,. какого-то неприводимого многочлена г',. е К, 1х].
Согласно лемме 9.5.1, любой гомоморфизм 1с,,: К,, -+ Ь продолжается до гомоморфизма р,: К,. — Ь не более чем и,.=дедД=йшк К,. способами. Следовательно, тождественный автоморфизм поля К продолжается до автоморфизма поля Ь не более чем и,и ... и, =- и способами. О Пусть С С Аи1кЬ вЂ” какая-то (конечная) группа автоморфизмов поля Ь над К. Обозначим через Ьс подполе С-инвариантных элементов поля Ь. Теорема 1. Х,о = К тогда и только тогда, когда 1С~ = и. Кроме того, если Ьо = К, то для любых полей Р, (г, таких, что Л С Р С (г С Ь, всякий гомоморфизм 1ь: Р- Ь над К продолжается до гомоморфизма ф: (г — Ь ровно 41ш,, (г способами.
434 Гл. 1О. ГРУППЫ Доказательство. 1) Согласно определению, С сАц1 . Х. Следовательно, ]С[ < йгп .Х <йш„Х, = и. Если же]С]=п, то йш .Х =йш Х и, значит, Хо=К. 2) Обратно, пусть Х о = К. Для любого элемента о е Х пусть (о„..., о„) — его С-орбита. Тогда (13) есть минимальный многочлен элемента о над Л . По построению он разлагается на различные линейные множители в Х [х]. Докажем теперь второе утверждение теоремы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
