1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 78
Текст из файла (страница 78)
! движения А повороту на угол а вокруг точки о, есть поворот на угол сс вокруг точки Ао (см. рис. 1 б)). Таким образом, классы сопряженных элементов группы 1зот Е' суть подмножества следующих двух видов: 1) совокупность параллельных переносов на векторы заданной длины т > 0; 2) совокупность поворотов на заданный угол сс 6 (О, 2к). ЗАДАЧА 1. Описать классы сопряженных элементов в группе вращений куба. Пусть заданы действия сс и ,9 одной и той же группы С на множествах Х и 1' соответственно.
Отображение Г: Х вЂ” г называется эквивариантным или, точнее, С-эквивариантным, 423 $ 3. действия если для любого д Е С диаграмма У вЂ” + У Рпо коммутативна. Эквиварнантная биекция называется изоморфизмом действий. (Диаграмма, состоящая из множеств и отображений, называется коммутативной, если композиция отображений вдоль любых двух путей, имеющих общее начало и общий конец, дает один и тот же результат.) Подгруппа С, = (д Е С: дх = х) называется стабилизатором точки х. Для любой подгруппы Н с С определим действие группы С на множестве С/Н левых смежных классов по Н формулой д(иН) = (ди)Н. Следующая теорема, показывающая, что действие группы С на орбите Сх с точностью до изоморфизма определяется стабилизатором точки х, является обобщением и уточнением теоремы 4.5.2. Теорема 1.
Отображение У: Сх — ~ С/С„уг-+ С." =(д Е С: дх = у) является изоморфизмом действий. Доказательство. 1) Покажем, что при у=дх подмножество С." совпадает со смежным классом дС,. Действительно, д,х=у Ч=Ь д 'д,х=х Ч=Ь д 'д, Е С, Ч=~ д, ЕдС,. 2) Из определения ясно, что отображение / биективно. 3) Покажем, что отображение / эквивариантно. Пусть у = их (и Е С). Для любого д Е С имеем /(ду) =/((ди)х) = (ди)С, = д(иС,) = д/(у). О Следствие 1. Всякое транзитивное действие группы изоморфно ее действию на множестве левых смежных классов по некоторой подгруппе. Следствие 2. Если группа С конечна, то (9) (Здесь ~Сх~ обозначает число элементов орбиты Сх.) 424 Гл. 10.
ГРУППЫ Легко видеть, что С =дС.д '. (10) Так как в теореме 1 в качестве точки х можно взять любую точку орбиты, то отсюда следует, что для любой подгруппы Н с С и любого де С действия группы С на С/Н и на С/дНд-' изоморфны. Ядро неэффективности действия С: С/Н есть пересечение стабилизаторов всех точек, т. е.
П дНд '. Это наибольшая нормальная дев подгруппа группы С, содержащаяся в Н. В частности, подгруппа Н нормальна тогда и только тогда, когда она тривиально действует на С/Н. ПРИМЕР 7. Пусть Л С Ез — куб. Изоморфизм о,,:.Буш~К (см. пример 4.6.19) определяет действие 54. Б'. В свою очередь, это действие индуцирует действие группы Я, на множестве вершин куба, на множестве его диагоналей и т.
д. В приведенной таблице перечислены некоторые получаемые таким образом транзитивные действия С: Х. Для каждого из них указан стабилизатор Н одного из элементов множества Х. Во всех случаях ~ХЙН! = ~С( = 24, как и должно быть согласно следствию 2 теоремы 1. П РимеР 8. Докажем, что если ~С~ = п ( оо и Р— наименьший простой делитель числа и, то всякая подгруппа Н с С индекса р $3. действия 425 нормальна. Действительно, рассмотрим действие Н: С/Н. Число элементов любой орбиты этого действия делит ~Н~ и, значит, либо равно 1, либо больше или равно р.
Так как ~С/Н~ = р и имеется по меньшей мере одна неподвижная точка (смежный класс еН), то отсюда следует, что действие тривиально. ЗАДАЧА 2. Пусть задано действие конечной группы С на конечном множестве Х. Множество орбит этого действия обозначим через Х/С, и для каждого элемента д е С множество его неподвижных точек в Х обозначим через Х'. Доказать формулу Бернсайда: ~Х/С1=ф У; ~Х ~. дбс (Указание: подсчитать двумя способами число элементов множест- ва Р = ((д, х) Е С х Х: дх = х).) ЗАДАЧА 3. Пользуясь формулой Бернсайда н задачей 1, найти число существенно различных раскрасок граней куба в 3 цвета. (Две раскраски считаются существенно различными, если они не могут быть совмещены путем вращения куба.) Дся действия группы С на самой себе сопряжениями стабили- затором точки х служит подгруппа Я(х) =(д е С: дх = хд), называемая иентрализатором элемента х.
Обозначим через С(х) класс сопряженных элементов (орбиту этого действия), содержа- щий х. Для конечной группы С формула (9) дает ~С( )!=,(„1. Ф~ (1 1) Действие группы С сопряжениями на самой себе порождает ее действие на множестве ее подгрупп. Подгруппы, эквивалентные относительно этого действия, называются сопряженными. (Так, стабилизаторы эквивалентных точек для любого действия группы С являются в силу формулы (!0) сопряженными подгруппами.) Стабилизатором подгруппы Н с С для этого действия служит подгруппа йГ(Н) = (д е С: днд ' = Н), называемая нормализапгором подгруппы Н.
В случае конечной группы С формула (9) показывает, что число подгрупп, сопряжен- ных подгруппе Н, равно [С: Н(Н)) (индексу подгруппы Л(Н)). Отметим, что ЩН) Э Н и потому в случае конечной группы (С: Н(Н)) делит (С: Н]. 426 Гл. 1О, ГРУППЫ 9 4. Теоремы Сплава Пусть р — простое число. Напомним, что конечная группа С называется р-группой, если ~ С~ = р". Теорема 1.
Нетривиальная р-группа имеет нетривиальный центр. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть С вЂ” нетривиальная р-группа, а Я вЂ” ее центр. Множество С', В разбивается на нетривиальные классы сопряженных элементов, число элементов в каждом из которых, согласно формуле (11), делится на р. Следовательно, число элементов центра также делится на р. П Следствие 1.
Всякая р-группа разрешима. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть С вЂ” нетривиальная р-группа, а Я вЂ” ее центр. Доказывая утверждение индукцией по и =1оя, ~С~, мы можем считать, что группа С/Я разрешима. Так как группа Я тоже разрешима (даже абелева), то отсюда следует, что и группа С разрешима. П Следствие 2.
Всякая группа порядка рг абелева, Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть С вЂ” группа порядка р' и Я вЂ” ее центр. Предположим, что Я ф С. Тогда )Я) = р и )С/о ~ = р, так что группа С/2 является циклической. Пусть аЯ вЂ” ее поронсдающнй элемент. Тогда каждый элемент д б С представляется в виде д= = а" г (г б 2).
Но любые два элемента такого вида коммутируют, что противоречит нашему предположению. П Пусть теперь ~С~ = р"т, где (р, т) =1. Определение 2. Силовской р-подгруппой группы С называется всякая ее подгруппа порядка р". Теорема 2. Силовская р-подгруппа существует. Доказательство. Если группа С абелева, то ее (единственной) силовской р-подгруппой является подгруппа р-кручения (см. $9.1). Произведение тех из них, порядки которых являются степенями числа р, и будет (единственной) силовской р-подгруппой.
В общем случае докажем теорему индукцией по ~С~. Если ~С( = 1, то доказывать нечего. Пусть )С) ) 1. Рассмотрим разбиение группы С на классы сопряженных элементов. Возможны два случая. 1-й случай. Существует нетривиальный класс С(х), число элементов которого не делится на р. Тогда 1Я(х)~ делится на р" $4. ТЕОРЕМЫ СИЛОНА 427 и по предположению индукции в Я(х) имеется подгруппа порядка р".
Она и будет силовской р-подгруппой в С. 2-й случай. Не существует такого класса. Тогда, как и в доказательстве теоремы 1, получаем, что ~Я~ делится на р. Пусть ~Я ~ = р" гп, где (р, гп ) =1, и пусть Я, с Я вЂ” подгруппа порядка р"'. В группе С/Яо порядок которой равен р" "т, по предположению индукции существует подгруппа порядка р" ь. Ее полный прообраз при каноническом гомоморфизме С вЂ” С/Л, и будет силовской р-подгруппой в С.
(З Теорема 3. Всякая р-подгруппа группы С содержится в некоторой силовской р-подгруппе. Все силовские р-подгруппы сопряжены. Доказательство. Пусть Я с С вЂ” силовская р-подгруппа и Я, — какая-либо р-подгруппа. Рассмотрим действие Я, на С/Я. Так как число элементов любой нетривиальной Я,-орбиты делится на р, а число всех элементов группы С/Я не делится на р, то Я, имеет в С/Я неподвижные точки. Если дЯ вЂ” такая точка, то Я, с дед ', что доказывает первое утверждение теоремы.
Если, кроме того, Я,— силовская р-подгруппа, то сравнение порядков дает равенство Я, = =дед '. П ЗАдАчА 1. Рассуждая аналогичным образом, доказать, что в группе порядка р" всякая подгруппа Н порядка р', Й < п, имеет неподвижные точки в С/Н, отличные от еН. Вывести отсюда, что АГ(Н) ~ Н и что Н содержится в некоторой подгруппе порядка 441 Теорема 4. Число силовских р-подгрупп сравнимо с 1 по модулю р.
Доказательство. Пусть Я вЂ” силовская р-подгруппа и С(Я) — класс подгрупп, сопряженных Я. По теореме 3 это и есть совокупность всех силовских р-подгрупп. При действии С на С(Я) сопряжениями стабилизатором любой подгруппы Я' е С(Я) служит ее нормализатор Н(Я'). Ограничим это действие на Я. Тогда С(Я) каким-то образом разобьется на нетривиальные Я-орбиты, число элементов в каждой из которых делится на р, и на неподвижные точки.
Докажем, что единственной неподвижной точкой является сама подгруппа Я, откуда и будет следовать что !С(Я)! аэ 1 (плод р). Пусть Я' е С(Я) — неподвижная точка. Это означает, что Я с Лг(Я'). Тогда Я и Я' — силовские р-подгруппы группы йг(Я') и, 428 г . 1о. группы значит, сопряжены в ней. Но Я' — нормальная подгруппа в йГ(Я'). Следовательно, Я = Я'. П Теорема 4 в соединении с тем фактом, что число силовских р-подгрупп делит индекс (любой) силовской р-подгруппы, иногда позволяет доказать, что силовская р-подгруппа единственна и, значит, нормальна. Пример 1.
Докажем, что всякая группа С порядка рд, где р и ц — различные простые числа, является полупрямым произведением циклических групп порядков р и д (см. пример 1.16). Действительно, пусть р > д. Тогда силовская р-подгруппа С, нормальна в силу примера 3.8. Если С, — силовская д-подгруппа, та С, Г~ С, = (е) и, значит, ( С„С,( = рд = (С).
Следовательно, Пример 2. Докажем, что всякая группа С порядка 45 абелева. Действительно, пусть Ф, (р = 3, 5) — числа ее силовских р-подгрупп. Тогда М— = 1(шоб3) ДГз~5) =~ ДГ =1 (ДГ,ае1(шоб5), Дг,!9) =~ И,=1, так что силовские подгруппы С, и С, нормальны и С=СЭ С,. Но группа С, имеет порядок 9 и, значит, абелева (следствие 2 теоремы 1). Следовательно, и группа С абелева. Задача 2. Доказать, что все группы порядка < 60 разрешимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
