1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Отображение о: М- )т' будет тогда задаваться многочленами 7, = [р(е,) (Е = 1,..., т), В терминах гомоморфизмов алгебр многочленов в К, соответству- ющих точкам алгебраических многообразий (см. (35)), это опреде- ление может быть представлено в виде следующей диаграммы: 396 Гл. 9. КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА где о„..., о„— ограничения на А1 координатных функций пространства К", и, следовательно, будет морфизмом.
В частности, аффинные алгебраические многообразия М и А1 изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны алгебры К[М] и К[Я]. Тем самым в случае алгебраически замкнутого поля К устанавливается взаимно однозначное соответствие между аффинными алгебраическими многообразиями, рассматриваемыми с точностью до изоморфизма, и конечно порожденными алгебрами без нильпотентных элементов. Выбор «модели» аффннного алгебраического многообразия М вЂ” его вложения в пространство К"— соответствует при этом выбору системы порождающих алгебры К[М].
Аффинное алгебраическое многообразие, соответствующее конечно порожденной алгебре А, называется ее спек»яром и обозначается через Врес А. Согласно предыдущему, его точки могут рассматриваться как гомоморфизмы алгебры А в К. В частности, орес К[х„..., х„] = К". В приводимых ниже примерах мы считаем, что с[1аг К = О. П Рим Ер 1. Пусть Н е К' — «гипербола», задаваемая уравнением ху = 1. Нетрудно проверить, что 1(Н) = (х11 — 1). Следовательно, где ио = 1.
Алгебра К[Н] с таким же успехом может быть порождена элементами 1 , = й(и — ). Этому выбору порождающих соответствует реализация многообразия прес К[Н] в виде гиперболы Н, е К', задаваемой уравнением х' — уз = 1. Изоморфизм Н вЂ” Н, задается формулой (х, у)» 1»(х+ у), »(х — у)).
/1 1 Пример 2. Аналогично, для «параболы» Р е К', задаваемой уравнением у = х', имеем К[Р] = К[х„у]/(р — х ) = К[и, о], где о = и'. Ясно, что К[Р] = К[и] и, следовательно, Р К'. Изоморфизм осуществляется проектированием на ось х: (х, у)н х.
4 6, КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫЕ АЛГЕБРЫ 397 ПРимЕР 3. Гипербола Н из примера 1 не изоморфна К', так как в алгебре К[Н] есть обратимый элемент и, не принадлежащий полю К, а в алгебре К[К'] = К[х] таких элементов нет. ПРнмеР 4. Если в поле К уравнение з'+ 1 =О не имеет решения (например, если К = К), то кривая С с К', задаваемая уравнением (л2+ 1)д = х, взаимно однозначно проектируется на ось х. Однако это отображе- ние не является изоморфизмом, так как обратное отображение л [з,, ) не задается многочленами.
В силу данного определения изоморфизма внутренними свойствами аффинного алгебраического многообразия следует считать такие свойства, которые могут быть выражены в терминах алгебры К[М]. При изучении этих свойств удобно пользоваться топологией Зарисского. А именно, подмножество АГ с М считается замкнутым в топологии Зарисского, если оно может быть задано уравнениями вида 7;.
=О (г = 1,..., т), где Д„..., ),„е К[М]. Например, замкнутые подмножества в К'— это в точности алгебраические многообразия. Замкнутые подмножества в любом алгебраическом многообразии М с К" — это алгебраические многообразия в К", содержащиеся в М. Нетрудно проверить, что данное определение удовлетворяет аксиомам топологии, т.е. что пересечение любого числа и объединение конечного числа замкнутых подмножеств замкнуты. Например, объединение подмножеств, задаваемых уравнениями Г,. =О (~ = 1,..., т) и дз = О (д = 1,..., Р) соответственно, может быть задано уравнениями 7,д, = О (т' = 1,..., т; ~' = 1,..., Р). Топология Зарисского, за исключением тривиальных случаев, не является хаусдорфовой. Например, замкнутые подмножества прямой К' в топологии Зарисского — это вся прямая и конечные подмножества; поэтому если поле К бесконечно, то любые два непустых открытых подмножества пересекаются.
Ввиду своей бедности топология Зарисского играет в основном вспомогательную роль как удобный язык при изучении алгебраических многообразий. Однако некоторые грубые свойства алгебраических многообразий ею все же улавливаются. 398 Гл. 9. КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА Определение 4. Топологическое пространство называется нетеровым, если в нем не существует бесконечной строго убывающей последовательности замкнутых подмножеств.
Каждому замкнутому подмножеству М аффинного алгебраического многообразия М соответствует идеал 1,(Ж) алгебры К[М], состоящий из всех многочленов, тождественно равных нулю на М; при этом К, з А1, тогда и только тогда, когда 1, (М,) с 1м(М,). Поэтому из нетеровости алгебры К[М] следует, что многообразие М является нетеровым топологическим пространством (в топологии Зарисского). Определение 5. Топологическое пространство М называется неприводимым, если оно непусто и удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: 1) его нельзя представить в виде объединения двух собственных замкнутых подмножеств; 2) любые два его непустых открытых подмножества пересекаются.
(Сравните это определение с определением связного топологического пространства.) Теорема 6. Аффинное алгебраическое многообразие М неприводимо тогда и только тогда, когда алгебра К[М] не имеет делителей нуля. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 1„Л е К[М] — такие ненулевые многочлены, что 1,Л =О. Тогда М = Ж, о%,, где Л, (Е = 1, 2),— замкнутое подмножество, выделяемое уравнением 1. = О. Обратно, пусть М=Ж,ий,, где Ж„Х, — собственные замкнутые подмножества.
Возьмем какие-нибудь ненулевые многочлены 1; е Е 1~(И,), Л е 1~(дг,); тогда 1, (т = О, П Нетрудно доказать, что всякое нетерово топологическое пространство М единственным образом представляется в виде М=[]М, ~=0 где М„ ...,М, — неприводимые замкнутые подмножества, ни одно из которых не содержится ии в каком другом. (Докажите это]) Подмножества М,.
называются неприводимыми компонентами пространства М. В частности, всякое аффинное алгебраическое многообразие единственным образом разлагается на неприводимые компоненты. э б. КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫЕ АЛГЕБРЫ ПРимеР 5. Пусть у — многочлен второй степени от и переменных над алгебраически замкнутым полем К. Уравнение д = О задает в К" квадрику ч.
Возможны следующие случаи: 1) д не разлагается на линейные множители; тогда Я вЂ” неприводимая квадрика; 2) д разлагается на два непропорциональных линейных множителя; тогда квадрика Я есть объединение двух гиперплоскостей, которые и являются ее неприводимыми компонентами; 3) д есть квадрат линейного многочлена; тогда сŠ— гиперплоскость (но в этом случае 1(Ч) ф (д)). Все это может быть выведено из более общей теоремы 7.5, которая будет доказана в следующем параграфе. Важнейшей характеристикой неприводимого аффинного алгебраического многообразия является его размерность. Определение 6.
Размерностью неприводимого аффинного алгебраического многообразия М называется число йш М = 1г. бее К[М]. В частности йгп К" = 1г. деа К[х„..., л„] = п, Размерность алгебраического многообразия обладает следующим свойством, аналогичным свойству размерности векторного пространства. Теорема 7. Пусть Ж вЂ” неприводимое замкнутое подмножество неприводимого аффинного алгебраического многообразия М.
Тогда йш Л (йш М, причем равенства имеет место только тогда, когда 1ч' =- М. До ка з а тельство. Пусть р: К[М] — К[И] — гомоморфизм ограничения. Ясно, что если элементы р(1,),... ..., р(Д,) алгебраически независимы в К[)ч'], то элементы 1'„... ..., ~„алгебраически независимы в К[М]. Отсюда следует первое утверждение теоремы. Предположим теперь, что М ~ М.
Пусть (р(1),..., р(~„)) — базис трансцендентности алгебры К[)ч ] и 1 Е 1„()ч'), 1 ф О. Докажем, что тогда Д,..., )„, 1' алгебраически независимы в К[М], откуда будет следовать второе утверждение теоремы. Гл. 9. КОММУТАТИБНАЯ АЛГЕБРА Предположим, что г"„...,,г'„Х связаны некоторой нетривиальной алгебраической зависимостью.
Эту зависимость можно представить в виде аь(~О ..., )ь)~ + а,()„ ..., ~„)~ ' + ... + а (Я,...„ Д„) = О, где а, а„ ..., а„ вЂ” некоторые многочлены, не все равные нулю. Можно считать, что а„Ф О, — иначе равенство можно сократить на у. Применяя гомоморфизм р, получаем тогда, что а (р((,),..., р(7„)) = О, а это противоречит алгебраической независимости р(г1), ,рИЭ и 9 7.
Разложение на простые множители Одной из основных задач арифметики является разложение на простые множители в кольцах целых алгебраических чисел. Аналогичная проблема для конечно порожденных алгебр возникает в алгебраической геометрии (например, в связи с описанием линейных расслоений над алгебраическими многообразиями), Несмотря на различие между этими двумя типами колец, проблема разложения на простые множители в них может трактоваться до некоторой степени единообразно. Схема такого подхода будет изложена в конце этого параграфа, а в первой части параграфа будут доказаны теоремы о существовании и единственности разложения на простые множители для некоторых типов колец.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
