1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Пусть А — целостное кольцо. Заметим, что для элементов а, 6 е Е А условие Ь | а равносильно тому, что (а) с (Ь), и соответственно условие а 6 равносильно тому, что (а) = (6). Теорема 1. В нетеровом кольце каждый необратимый ненулевой элемент может быть разложен в произведение простых элементов. (Имеется в виду, что это произведение может состоять только из одного множителя.) Доказательство. Предположим, что существуют необратимые ненулевые элементы, которые нельзя разложить на простые множители. Такие элементы будем называть плохими.
Пусть ив плохой элемент. Тогда он, в частности, не является простым и, значит, а = а,Ь„где а, и 6, — необратимые элементы. Ясно, что хотя бы один из элементов а, и Ь, плохой. Пусть это а,. Тогда $7. РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ 40! а, =а Ь, где а и Ьэ — необратимые элементы, причем хотя бы один из них плохой. Продолжая этот процесс, мы получаем бесконечную строго возрастающую последовательность идеалов (а )С(а,) С(о ) С..., что противоречит нетеровости. С) Что касается единственности разложения на простые множители, то она, конечно, может иметь место лишь с точностью до перестановки множителей и умножения их на обратимые элементы.
Поэтому в дальнейшем, говоря о единственности, мы будем понимать ее именно в этом смысле. Анализируя доказательство единственности разложения на простые множители в евклидовом кольце, данное в З3.5, мы видим, что оно опирается только на одно свойство кольца: если простой элемент р делит произведение аЬ„ то он делит а или Ь; иначе говоря, идеал (р), порожденный любым простым элементом р, прост. Это приводит нас к следующей теореме. Теорема 2.
Если в кольце А главный идеал, порожденный любым простым элементом, прост, то любой элемент этого кольца не более чем одним способом может быть разложен в произведение простых элементов. Заметим, что главный идеал, порожденный не простым необратимым ненулевым элементом, не может быть простым ни в каком кольце. Определение 1.
Кольцо А называется факториальным, если каждый его необратимый ненулевой элемент может быть разложен на простые множители, причем это разложение единственно в указанном выше смысле. В частности, всякое кольцо главных идеалов факториально (см. $2). Очевидно, что в факторнальном кольце главный идеал, порожденный любым простым элементом, прост.
В факториальном кольце для любых двух элементов а и Ь существует наиболыиий общий делитель НОД(а, Ь) — общий делитель, делящийся на все другие общие делители. А именно, если а= П р,.", Ь = П р,' (й„(, >О), !=! \ ! где р„..., р, — простые элементы, то НОД(а, Ь) = П р,."!"!"'!. ! 402 Гл.э.
КОММУТАТИБНАЯ АЛГЕБРА Наибольший общий делитель определен однозначно с точностью до умножения на обратимый элемент. Элементы а и 6 факториального кольца называются взаимно простыми, если НОД(а, 6) = 1, т.е. если в разложениях элементов а и Ь на простые множители не содержится общих (с точностью до ассоциированности) множителей.
Следующая теорема является обобщением (следствия) теоремы 3.6.1. Теорема 3. Всякое факториальное кольцо нормально. Доказательство этой теоремы ничем не отличается от доказательства теоремы 3.6.1. Теорема 4. Кольцо многочленов А[х] над факториальным кольцом А также факториально. Доказательство этой теоремы требует некоторой подготовки. Многочлен Г" е А[х] назовем примитивным, если его коэффициенты взаимно просты в совокупности. Пусть К вЂ” поле отношений кольца А.
Очевидно, что всякий многочлен Ь е К[х] можно представить в виде Ь=-Ьь, (39) где Ь е А[х] — примитивный многочлен, а а и Ь вЂ” взаимно простые элементы кольца А. Лемма 1 (лемма Гаусса). Если многочлен 1'е А[х] делится на примитивный многочлен де А[х] в кольце К[х], то Г делится на д и в кольце А[х]. Доказательство. Пусть | =дЬ, где Ь е К[х). Представим Ь в виде (39) и докажем, что Ь вЂ” обратимый элемент кольца А.
Предположим противное, и пусть р — какой-либо простой делитель элемента Ь. Умножим равенство У = -дЬ на Ь и произведем редукцию по модулю р (т.е. применим естественный гомоморфизм А[х]- (А/(р))[х)). Мы получим 0 [ а)а [ у ]р [ Ь() ]р Все множители в правой части отличны от нуля, но, поскольку в кольце А/(р) нет делителей нуля, в кольце (А/(р))[х) также не может быть делителей нуля. Полученное противоречие показывает, что Ь вЂ” обратимый элемент и, значит, Ь е А[х].
С) Следствие. Если многочлен г'Е А[х] может быть разложен в произведение двух многочленов меньшей степени в кольце $7. РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ 403 К[х], то он может быть разложен в произведение многочленов меньшей степени и в кольце А[х]. Доказательство теоремы 4. Следствиелеммы Гаусса и очевидные соображения показывают, что простыми элементами кольца А[х] могут быть только элементы следующих двух типов: !) простые элементы кольца А; 2) примитивные многочлены Ь е А[х], неприводимые над полем К. С другой стороны, ясно, что все этн элементы действительно являются простыми и что любой необратимый ненулевой элемент кольца А [х] может быть разложен в произведение таких элементов.
Если имеется два таких разложения многочлена Г е А[х], то, рассматривая их как разложения в кольце К[х], факториальность которого известна, мы заключаем, что множители второго типа в этих разложениях ассоциированны в К[х]; но так как они являются примитивными многочленами, то они ассоциированны и в А[х]. После сокращения на эти множители мы получаем два разложения на простые множители элемента кольца А и можем воспользоваться факториальностью этого кольца. П Рассуждая по индукции, из доказанной теоремы можно вывести Следствие.
Кольцо многочленов К[х„..., х„] от и переменных над полем К факториально при любом и. Простые элементы кольца К[х„..., х„] называются неприводимыми многочленами. Очевидно, что всякий многочлен первой степени неприводим. Лемма 2. Если многочлен Г е К[х„..., х„] над бесконечным полем К обраи1ается в нуль во всех точках гиперплоскости 1 Ф а, х, +... + а„х„+ Ь = О, то он делится на 1, Доказательство.
Перейдя к другой аффинной системе координат, мы можем считать, что 1 = х,. Тогда условие леммы означает, что все члены многочлена ~ содержат х, и, значит, у делится на 1. С1 Приведем два примера разложения многочленов на линейные множители с использованием этой леммы и факториальности кольца многочленов. ПРимеР 1. Вычислим другим способом определитель Вандермонда У(х„ ...,х„) (см. пример 2.4,5), Очевидно, что Ъ'(х„ ... ...,х„) — многочлен от х„ ...,х„. При х,. = хт (1,у различны) он 404 Гл. 9.
КОММУТАТИБНАЯ АЛГЕБРА обращается в нуль, так как соответствующая матрица в этом случае имеет две одинаковые строки. По лемме 2 мы можем заключить, что многочлен У(х„..., х„) делится на х, — хг в кольце К[х„..., х„] при любых различных г, З'; но тогда из факториальности этого кольца следует, что У(х„...х ) делится на П (х, — х,). Легко ви- ~ >з и1~ — И деть, что У(х„..., х„) — однородный многочлен степени Поэтому У(х„..., х„) =с П(х, — хз) (с е К). ! >г Сравнивая коэффициенты при х х,'... х„" ', получаем, что с = 1.
ЗАДАЧА 1. Доказать аналогичным способом, что х" + у'+ гз — Зхуг = (х+ у+ г)(х+ иу+ мг)(х+ му+ шг), где ю = — — + ь-2-. чз 2 Применим результат о факториальности кольца многочленов к описанию (и — 1)-мерных алгебраических многообразий в К". Пусть К вЂ” алгебраически замкнутое поле.
Для всякого многочлена Г' Е К[х„ ...,х„] обозначим через М(Г') алгебраическое многообразие в К", задаваемое уравнением г' =О. Теорема 5. Отображение р> М(р) устанавливает взаимно однозначное соответствие между неприводимыми многочленами от п переменных, рассматриваемыми с точностью до ассоциированности, и (и — 1)-мерными неприводимыми алгебраическими многообразиями в .К"; при этом идеал многообразия М(р) порождается многочленом р. Доказательство. 1) Пусть реК[х„...,х„] — неприводимый многочлен. Тогда идеал (р) прост и, следовательно, многообразие М(р) неприводимо и 1(М(р)) =(р). В частности, многочлен р с точностью до ассоциированности однозначно восстанавливается по многообразию М(р).
2) В предыдущих обозначениях, имеем К[М(р)] = К [х„..., х„]/(р) = К[и„..., и„], где и„..., и„— ограничения координатных функций х„..., х„ пространства К" на М(р). Предположим, что многочлен р содержит нетривиальным образом переменную х„. Тогда и любой многочлен из идеала (р) содержит х„. Это означает, что и„..., и алгебраически независимы. Следовательно, д1щ М(р) = и — 1. $7.
РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ 405 3) Обратно, пусть М с К" — (п — 1)-мерное неприводимое алгебраическое многообразие. Возьмем любой ненулевой многочлен у Е 1(М) и разложим его на неприводимые множители. Из простоты идеала Т(М) следует, что хотя бы один из этих множителей принадлежит Т(М). Пусть это будет неприводимый миогочлен Р. Тогда М С М(р), но из совпадения размерностей следует, что на самом деле М = М(р).
П Пусть Г" Е К[х„..., х„] — любой необратимый ненулевой многочлен. Разложим его на неприводимые множители: Из теоремы 5 очевидным образом следует, что М(~) = М(р,) 0... О М(р,) есть разложение многообразия М(г') на неприводимые компонен- ты. ЗАДАЧА 2. Найти Т(МЩ). Такие же результаты получатся, если вместо пространства К" взять любое неприводимое аффииное алгебраическое многообразие М, для которого алгебра К[М] факториальна. (Единственным местом, где в общем случае требуются дополнительные соображения, является п. 2) доказательства теоремы.) Если же алгебра К[М] не факториальна, то в ней существуют простые элементы, которые порождают главные идеалы, не являющиеся простыми, и одновременно в М существуют (н — 1)-мерные неприводимые подмногообразия, идеалы которых не являются главными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
