1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 68

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 68)

Элементы и„..., и определены однозначно с точностью до умножения на обратимые элементы. Они называются инеариантными множителями модуля М. Очевидно, что АппМ=(и ). (20) В случае А = К]г] (К вЂ” поле) теорема 5 описывает строение линейных операторов в векторных пространствах над полем К (см. пример 1). Условие конечной порожденности заведомо выполняется, если векторное пространство конечномерно. Более того, в этом случае отсутствуют свободные слагаемые, так как свободный циклический модуль над К]т] имеет бесконечную размерность над К. Результат выглядит особенно просто, если поле К алгебраически замкнуто. В этом случае примарные циклические модули имеют вид К]т]/((т — Л) ) (Л е К).

Такой модуль является гп-мерным векторным пространством над К с базисом (](т - Л)-- ],..., ]т - Л], [1]), $3. мОДУли НАД ХОльЦАми ГлАнных иДеАлОВ 371 где [Г(г)] обозначает класс Г(т)+((г — Л) ). Оператор умножения на Ф записывается в этом базисе жордановой клеткой ,7(Л) = О л Л Из предыдущего вытекает Теорема 6. Всякий линейный оператор в конечномерном векторном пространстве над алгебраически замкнутым полем в некотором базисе записывается жордановой матрицей, причем эта матрица определена однозначно с точностью до перестановки диагональных клеток.

Напомним, что первое утверждение этой теоремы было доказано другим способом в $6.4. Из (20) следует, что последний инвариантный множитель Л [г]- модуля, ассоциированного с линейным оператором А, — это не что иное, как минимальный многочлен оператора А (ср. теорему 6.5.1), ЗАДАЧА 1. Доказать, что оператор умножения на 8 в К[8]-модуле В[В]/(А($)), где Ь(Ф)=г" +а,1" '+...+а,,В+а„, имеет в базисе ([г" '], [г" '],..., [т], [1]) матрицу — а, 1 О ...

ΠΠ— О 1 ... ΠΠ— а„,О О ... О 1 — а„О О ... О О а его характеристический многочлен равен А(Ф). Вывести отсюда, что произведение инвариантных множителей ТГ[г]-модуля, ассоциированного с любым линейным оператором А, равно характеристическому многочлену оператора А.

ЗАДАЧА 2. Вывести из предыдущей задачи теорему Гамильтона — Кали (следствие 2 теоремы 6.5.1). ЗАДАЧА 3. Получить канонический вид матрицы линейного оператора над полем вещественных чисел. ЗАДАЧА 4. Получить канонический вид матрицы линейного оператора в четырехмерном векторном пространстве над полем е, 372 Гл. 9.

КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА ф 4. Нетеровы кольца Начиная с этого момента н до конца главы термин «кольцо» означает«коммутативное ассоциативное кольцо с еди н н це й», Подкольца предполагаются содержащими единицу, гомоморфнзмы колец — переводящими единицу в единицу. Естественным расширением класса колец главных идеалов является класс нетеровых колец. Определение 1. Кольцо А называется нгтеровым, если выполняется любое нз следующих эквивалентных условий: 1) всякий идеал порождается конечным числом элементов; 2) не существует бесконечной строго возрастающей цепочки идеалов 1, С 1, С... С 1„С...

(1„Ф 1„„,). Напомним, что идеалом, порожденным элементами х„..., х„Е А, называется идеал (х„..., х„) = (а, х, +... + а„х„: а„..., а„б А). Эквивалентность условий 1) н 2) доказывается следующим образом. Пусть 1, С 1, с... — возрастающая последовательность идеалов. Тогда 1 = () 1. есть также идеал. Если он порождается » 1 конечным числом элементов, то все онн принадлежат идеалу 1„ для некоторого достаточно большого и н, значит, 1 = 1., так что последовательность не является строго возрастающей.

Обратно, если некоторый идеал 1 не порождается конечным числом элементов, то существует такая последовательность элементов х„ х,... е 1, что последовательность идеалов (х, ) С (х„хг) С .. является строго возрастающей. Очевидно, что всякое факторкольцо нетерова кольца также нетерово. Конечно порожденные модули над произвольными нетеровымн кольцами устроены не так просто, как над кольцами главных идеалов. Однако следующая теорема показывает, что они в некотором смысле похожи на конечномерные векторные пространства. Теорема 1.

Всякий подмодуль йГ конечно порожденного модуля М над нвтеровым кольцом А конечно порожден. ЗАмечлние 1. В случае М= А (т.е. когда М вЂ” свободный циклический модуль) утверждение этой теоремы совпадает с первым определением нетерова кольца. $4. нетеРОВы кОльца 373 Доказательству предпошлем две очевидные леммы о модулях над произвольным кольцом. Лемма 1. Всякий факыормодуль конечно порожденного модуля конечно порожден. Лемма 2. Пусть М, — подмодуль модуля М. Если модули М, и М/М, являюася конечно порожденными, то и модуль М конечно порожден, Доказательство теоремы 1. Пусть модуль М порождается элементами х„..., х„. Докажем утверждение теоремы индукцией по т. При т =1 можно считать, что М = А/1, где 1 — идеал кольца А; тогда 1т' = 1/1, где .1 — идеал, содержащий 1. По определению нетерова кольца идеал,1 конечно порожден как А-модуль; но тогда и 1т' конечно порожден (лемма 1). При т > 1 рассмотрим подмодуль М, с М, порожденный элементами х„..., х„,.

Положим Ж, = 1т" й М,. По предположению индукции модуль Ж, конечно порожден. Но фактормодуль 1т/Я, является подмодулем циклического модуля М/М, и конечно порожден по уже доказанному. Следовательно, и модуль йг конечно порожден (лемма 2). П Как можно доказать нетеровость какого-либо кольца? Одним из основных инструментов для этого является следующая теорема. Теорема 2 (теорема Гильберта о базисе идеала). Кольцо многочленов А]х] над нечперовым кольцом А неаерово.

Доказательство. Пусть 1 — идеал кольца А]х]. Обозначим через А[х]„совокупность многочленов степени ( и. Это свободный А-модуль с базисом (1, х,, х"). Положим 1„= 1Г~А 1х] . По теореме 1 1„— конечно порожденный А-модуль. Очевидно, что 1= ]] 1„. =о Обозначим через У„совокупность коэффициентов при х" всех многочленов из 1„. Очевидно, что это идеал кольца А и что 1„ С 1„ ,. В силу нетеровости кольца А существует такое т, что Х„ = .7 при всех и > т.

Поэтому для всякого многочлена / Е 1„ (и > гп) найдется такой многочлен д ~ 1, что У вЂ” х" "де 1„ Это показывает, что идеал 1 кольца А]х] порождается своим подмножеством 1„. Следовательно, если 1„порождается какими-то многочленами /„..., 1, как А-модуль, то 1 порождается этими же многочленами как А]х]-модуль. 0 Следствие 1. Кольцо многочленов от любого числа переменных над нетеровым кольцом нетерово. 374 Гл. 9. КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА Говорят, что кольцо В порождается элементами и„ ...,и„ над подкольцом А, если каждый его элемент может быть представлен в виде многочлена от и„ ...,и„ с коэффициентами из А.

В этом случае имеется гомоморфизм /: А1х„...,х„] — В, х,.»»и, (где А[х„..., х„) обозначает кольцо многочленов от х„..., х„с коэффициентами из А), и, следовательно, В А(х„..., х„)/Кег/ Часто пишут В = А(и„..., и„], хотя это не означает, что В есть кольцо многочленов от и независимых переменных (между и„... ..., и„могут быть алгебраические зависимости). Следствие 2. Всякое кольцо, конечно порожденное над нетеровым подкольцом, нетерово. При работе с кольцами делители нуля, если они есть, часто доставляют неприятности.

Существуют методы борьбы с ними. Наиболее «злостными» из делителей нуля являются нильпотентные элементы. Элемент а кольца А называется нильпотентным, если а" =О для некоторого натурального гп. Легко видеть, что совокупность всех нильпотентных элементов является идеалом кольца А. Он называется (нильпотентным) радикалом кольца А и обозначается через гаг( А.

Факторкольцо А/гад А уже не имеет нильпотентных элементов (отличных от нуля). П РнмЕР 1. Пусть А — кольцо главных идеалов. Найдем гад (А/(и)), где и Е А — ненулевой необратимый элемент. Пусть и = р»' ... р," — разложение элемента и на простые множители. Элемент а+ (и) е А/(и) нильпотентен тогда и только тогда, когда а" Е (и) для некоторого натурального п; но из единственности разложения на простые множители в кольце А следует, что это имеет место тогда и только тогда, когда а делится на р,...р,.

Таким образом, гад (А/(и)) = (р,, р,)/(и). ЗАДАЧА 1. Доказать, что гад (А, Ю... Ю А,) = гад А, Е... Ю гад А „. Определение 2. Идеал 1 кольца А, не равный А, называется простым, если факторкольцо А/1 не имеет делителей нуля. 375 5 5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ Это означает, что из аЬ е 1 следует, что а е 1 или 6 е 1. Например, в кольце главных идеалов А ненулевой идеал (р) является простым тогда и только тогда, когда р — простой элемент. Теорема 3.

Радикал матерова кольца А совпадает с пересечением всех простых идеалов. Доказательство. Очевидно, что радикал содержится в пересечении всех простых идеалов. Для доказательства обратного включения нужно проверить, что если а — не нильпотентный элемент, то существует простой идеал, не содержащий а. Рассмотрим множество всех идеалов кольца А, не содержащих никакой степени элемента а. Это множество не пусто: оно содержит, например, нулевой идеал. (Здесь использовано то, что элемент а не нильпотентен.) Из второго определения нетеровости следует, что в нем есть хотя бы один максимальный элемент, т.е. идеал 1„ не содержащий никакой степени элемента а и не содержащийся ни в каком большем идеале с этим свойством.

Докажем, что 1— простой идеал. Рассмотрим факторкольцо А/1, и пусть а = а + 1 е А/1. Из построения идеала 1 следует, что элемент а не нильпотентен, но любой ненулевой идеал кольца А/1 содержит некоторую его степень. Нам нужно доказать, что кольцо А/1 не имеет делителей нуля. Пусть и, н ~ А/1, ив =О. Предположим, что и, н ~ О, и рассмотрим главные идеалы (ы) и (н).

Характеристики

Список файлов книги