1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 66

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 66)

Отображение, ставящее в соответствие каждой функции Г Е Г(Х, К) ее значение в точке х е Х, является гомоморфизмом алгебры г'(Х, К) на поле К, рассматриваемое как (одномерная) алгебра над самим собой. Его ядром служит идеал 1(х ) функций, обращающихся в нуль в точке х . Следовательно, г'(Х, К)/Х(хо) К Используя понятие прямой суммы абелевых групп (см. у1) и векторных пространств (см. $8.2), определим прямые суммы колец и алгебр.

Определение 1. Говорят, что кольцо (соответственно алгебра) А разлагается в прямую сумму своих подколец (соответственно подалгебр) А„..., А„, если 1) оно разлагается в прямую сумму А„..., А„как аддитивная группа (соответственно как векторное пространство); 2) А, А, = 0 при» ф з'. Последнее условие (при наличии условия 1) равносильно тому, что А„..., А„— идеалы. Оно обеспечивает следующее «покомпонентное» правило умножения: (х~ +... + х„)(у, +... + у») = х, у, +...

+ х„у„(х,, у, е А, ). Пусть теперь А„..., А, — какие-то кольца или алгебры. Определение 2. Прямой суммой колец (соответственно алгебр) А„..., А„называется их прямая сумма А, Ю... Ю А, как аддитивных групп (соответственно как векторных пространств) с покомпонентной операцией умножения: (х„..., х )(у„..., у») =(х у„..., х у ) (х,, у, Е А,). Очевидно, что определенная таким образом операция умножения в А, йз...йзА» дистрибутивна по отношению к сложению (соответственно билинейна), так что А, Ю ... В А, действительно является кольцом (соответственно алгеброй). Если все кольца А„ ..., А, коммутативны, ассоциативны или обладают единицей, то и их прямая сумма обладает соответствующим свойством.

Прямая сумма колец или алгебр в смысле определения 1 называется внутренней, а в смысле определения 2 — внешней, Между 361 $2. ИДЕАЛЫ И ФАКТОРКОЛЬЦА этими двумя понятиями имеется такая же связь, как и в случае векторных пространств. Пример 11. Пусть и = к(, где (к,1) =1. Изоморфизм аддитивных групп Е» ®Е«« (15) переводящий единицу [1[„ кольца Е„ в единицу ([11„,[1[,) кольца Е„ е« Е, (см. предложение !.2), на самом деле является изоморфнзмом колец.

Это следует из того, что в циклической алдитивной подгруппе, порожденной единицей любого кольца, умножение выражается через сложение по формуле (г1)(г1) =(г«)! (г, «Е Е). Изоморфизм колец (15) индуцирует изоморфизм мультипликатнв- ных групп их обратимых элементов: (16) Е'„— «Е; 9Е*,. ЗАДАЧА 1. Используя результат примера 11, получить следующую формулу для функции Эйлера (см. пример 4.5.6): Ф(п)=а (1 — ! )...

(1 — ! ), где р„..., р, — все (различные) простые делители числа и. ПрИмер 12. Отображение, ставящее в соответствие каждой диагональной матрице последовательность ее диагональных элементов, является изоморфизмом алгебры диагональных матриц порядка и над полем Х на прямую сумму и экземпляров поля К. Начиная с этого момента, будем предполагать, что А — к о м м утативное ассоциативное кольцо с единицей. Для любого подмножества Я с А совокупность всех»линейных комбинаций» а,х,+...+а х„(х„...,х 65, а„...,а ЕА) является наименьшим идеалом, содержащим Я.

Оно называется идеалом, порожденным подмножеством Я, и обозначается через (Я). В частности, идеал (и), порожденный одним элементом и, называется главным. Определение 3. Целостное кольцо, в котором всякий идеал является главным, называется кольцом главных идеалов. 362 Гл. 9. КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА Теорема 2. Всякое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов. Доказательство. Очевидно, что нулевой идеал является главным. Пусть Х вЂ” ненулевой идеал кольца А, и пусть и— наименьший по норме ненулевой элемент идеала Т.

Остаток при делении на и любого элемента идеала Т принадлежит 1 и, следовательно, может быть только нулем. Это означает, что Т = (и). П Таким образом, кольца г, и К[с) (где Л вЂ” поле) являются кольцами главных идеалов. Замечания 2. Сушествуют кольца главных идеалов, ие являюшиеся евклидо. выми, например, кольцо чисел вида о+ Ь4 — 19, где а, Ь е Е или о, Ь е Е+ —. 1 2' Свойства делимости, доказанные в $3.5 для евклидовых колец, обобщаются на произвольные кольца главных идеалов. Теорема 3. В кольце главных идеалов А для любых элементов х, у существует наиболыиий общий делитель д, и он может быть представлен в виде д = ах+ Ьу, где а, Ь е А. Доказательство. Рассмотрим идеал (х, у) =(ах+ Ьд: а, Ь Е А), порожденный элементами х и и. Существует такой элемент д Е А, что (х, у) = (д).

Это и будет наибольший общий делитель элементов х и у. По самому построению он представляется в виде д = ах+ +Ьу. и ЗАМЕЧАНИЕ 3. Обозначение (х, у) для идеала, порожденного элементами х и у, хорошо согласуется с обозначением (х, у) для их наибольшего общего делителя. Теорема о существовании и единственности разложения на простые множители также справедлива в любых кольцах главных идеалов. В самом деле, доказательство единственности, данное в $3.5 для евклидовых колец, с учетом теоремы 3 дословно переносится на кольца главных идеалов.

Что касается существования, то оно будет позже доказано для гораздо более широкого класса колец (см. теорему 7.1). Следующая теорема является обобщением теоремы 1.6.1. Теорема 4. Пусть и — ненулевой необратимый элемент кольца главных идеалов А, Факторкольцо А/(и) является полем тогда и только тогда, когда элемент и прост. Доказательство. Для всякого ае А будем обозначать через 1а) смежный класс а+ (и) е А/(и). Если и = спи, где о и ти зез $2. ИДЕАЛЫ И ФАКТОРКОЛЬЦА необратимы, то [и][ю] =О, но [и], [ге] зь О, так что в кольце А/(и) есть делители нуля и, стало быть, оно не является полем.

Обратно, если элемент и прост, то для всякого х(ь(и) элементы х и и взаимно просты и, следовательно, существуют такие а и 6, что ах+ Ьи = 1. Переходя к смежным классам, получаем [а][х] = 1 в А/(и). Таким образом, всякий ненулевой элемент кольца А/(и) обратим и, значит, оно является полем. П П Римки 13. Выясним, когда простое число р является простым элементом кольца Е[!] целых гауссовых чисел (см. пример 3.5.1).

Так как Е[г] =Е[г]/(гг+1) (ср. пример 5), то Е[г]/(р) Е[Г]/(8г+ 1, р) Е [г]/(гг+ 1) (см. пример 3). Согласно примеру 1.3, многочлен гг+! неприводим над Е„тогда и только тогда, когда р = — 1 (щог! 4). Двукратное применение теоремы 4 показывает, что последнее условие и является необходимым и достаточным для того, чтобы элемент р был прост в Е[г]. Пусть р =— ! (щод 4), н пусть р = я,... я, (э ) 2) — разложение р на простые множители в кольце Е[г]. Переходя к нормам, получаем АГ(гг,)...

Ю(я,) = АГ(р) = рг, откуда е = 2 и М(гг,) =Ж(яг) = р. Если я, = а+ Ьг (а, 6 е Е), то а'+Ь'=р (и гг,=а — Ьг). Таким образом, всякое простое число вида 46 + 1 представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел. ЗАЛАчА 2. Доказать, что простые элементы кольца Е[Ь] — это, с точностью до ассоциированности, простые натуральные числа вида 46+ 3, числа вида а+ Ьг (а, 6 Е г)), где аз+ Ь' есть простое натуральное число вида 46+ 1 и число 1+ г.

ЗАдАчА 3. Пользуясь однозначностью разложения на простые множители в кольце Е[г], доказать, что натуральное число и представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел тогда и только тогда, когда в его разложение на простые множители (в Е) все множители вида 46+3 входят в четной степени, и найти число таких представлений в этом случае. Следующая теорема является обобщением примера 11.

Теорема Е. Пусть и и и — взаимно простые элементьг кольца главных идеалов А. Тогда (17) А/(ии) А/(и) Щ А/(и). 364 Гл. 9. КОММУТАТИБИАЯ АЛГЕБРА Доказательство. Отображение /: А е А/(и) 9 А/(о), ае-»(а+(и), а+ (о)), является гомоморфизмом колец. Пусть а и Ь вЂ” такие элементы кольца А, что аи + Ье = 1. Тогда /(Ье) = (1 + (и), О+ (и)), /(ап) = (О+ (и), 1 + (е)), откуда следует, что гомоморфизм / сюръективен. Очевидно, что Кег / = (ио).

Это н дает нзоморфизм (17). П ПРИМЕР 14. Если / Е К[Ц] — неприводимый многочлен над полем К, то факторкольцо К[к]/(/) является полем. Например, К[к]/(т'+1) С (см. пример 5). Напротив, если /=(г — с,)...(т— — с„), где с„..., с„различны, то из теоремы 5 следует, что к[чло=к[чЛ~ —.,>е .»к[~ко —.л=ке . ек (см. пример 4). $3. Модули над кольцами главных идеалов Ввиду свойств (1) — (3) на абелевы группы можно смотреть как на «векторные пространства над е,».

Аналогичным образом можно определить «векторные пространства» и над более общими кольцами. Они называются модулями. Понятие модуля оказывается очень полезным. В частности, теория модулей над кольцами главных идеалов, которая будет изложена в настоящем параграфе, включает в себя теорию конечно порожденных абелевых групп, которой был посвящен $1, и теорему о приведении матрицы линейного оператора к жордановой форме. Начнем, однако, с общих понятий. Пусть А †ассоциативн кольцо с единицей. Олределенне 1. (Левым) А-модулем (или модулем над А) называется аддитивная абелева группа М с операцией умножения (слева) на элементы кольца А, обладающей следующими свойствами: 1) а(х + у) = ах + ау для любых а Е А, х, у Е М; 2) (а+ Ь)х = ах + Ьх для любых а, Ь Е А, х Е М; 3) (аЬ) х = а(Ьх) для любых а, Ь е А, х е М; 4) 1х = х для любого х Е М.

$ 3. МОДУЛИ НАД КОЛЬЦАМИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ 365 В частности, модули над полем — это векторные пространства; модули над Ж вЂ” это просто аддитивные абелевы группы. Имеются, однако, и другие важные примеры модулей. Пример 1. Модуль над кольцом многочленов К)е] (К вЂ” поле) — это векторное пространство над К с линейным оператором, играющим роль умножения на 1. Пример 2. Кольцо А является модулем над самим собой (произведение элемента модуля на элемент кольца определяется как произведение этих элементов в кольце).

Характеристики

Список файлов книги