1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Конечно, используя особенности конкретной матрицы, тот же результат можно было бы получить более коротким способом. ЗАдАчА 3. Доказать, что и, = а,/а,, где д, — наибольший общий делитель миноров «-го порядка исходной матрицы С (до считается равным 1). ЗАМЕЧАНИЕ 2. Как следует из предыдущей задачи, числа и„..., и„однозначно определяются матрицей С. Если отказаться от требования и,|и,.+ „ то процедура приведения целочисленной матрицы к диагональному виду несколько облегчится, но диагональный вид уже не будет, вообще говоря, определен однозначно. Теорема 5.
Для всякой подгруппы Ж свободной абглевой группы Ь ранга и существует такой базис (е„..., е„) группы Ь и такие натуральные числа и„..., и (гп < п), что (и,е„..., и е ) — базис группы Л и и«~и,~, пра «' =1,..., »и — 1. Доказательство. Согласно теореме 3 группа |У является свободной абелевой группой ранга гп < п. Пусть (е„..., е„)— какой-нибудь базис группы Ь и Ц,...,)'„) — базис группы )1Г. Тогда ()„...,) )=(е,,...,е„)С где С вЂ” целочисленная матрица размера п х гп и ранга гп. У нас есть возможность делать следующие «элементарные» преобразования базисов групп Ь и Ж: 1) прибавление к одному базисному элементу другого, умноженного на целое число; 2) перестановка двух базисных элементов; 3) умножение одного базисного элемента на — 1.
Элементарные преобразования базиса группы Ь приводят к целочисленным элементарным преобразованиям строк матрицы С, а элементарные преобразования базиса группы йГ ' — к целочисленным элементарным преобразованиям столбцов этой матрицы. 350 Гл. 9. КОММУТАТИБНАЯ АЛГЕБРА Согласно предложению 1, с помощью таких преобразований мы можем добиться того, чтобы С = йад(и„..., и ), где и„..., и )Ои и,.~и,. „, при г =1,..., га — 1. (Среди чисел и„...
..., и не может быть нулей, так как г1с С = т.) Но это как раз и означает, что полученные в результате преобразований базисы (е„..., е„) и (го..., ~,„) групп Ь и ЛГ связаны соотношениями г",. = и е, (с = 1,..., т). П Базис (е„..., е„) группы Ь, удовлетворяющий требованиям теоремы, не единствен. Однако числа и„..., и, как мы увидим ниже, определены однозначно. е ° е ° е Они называются инвариант- ными множителями подгруппы Фс Ь. ЗАДАЧА 4. Доказать, что при гп = и индекс ~Ь: Ф~ конечен и равен произведению инвариантных множителей. ЗАДАЧА 5.
П сть Ь вЂ” еУ р шетка в Е" и Аà — ее подрешетка. Доказать, что индекс е ° е ° е ~Л; Х! равен отношению объРис. 2 емов фундаментальных параллелепипедов решеток 1т и Ь . На рисунке 2, иллюстрирующем теорему 5, точками изображены элементы решетки Ь с Е', а кружками — элементы подрешетки АГ. Векторы е, и е составляют базис решетки Ь, удовлетворяющий требованиям теоремы; при этом и, = 1, и = 4.
Изучим теперь строение произвольных конечно порожденных абелевых групп. Для этого нам понадобится понятие прямой суммы абелевых групп. Определение 4. Говорят, что (аддитивная) абелева группа А разлагается в прямую сумму подгрупп А„..., А„если каждый элемент ае А единственным образом представляется в виде а= = а, +... + а„где а, е А,. При этом пишут А =А, а...ЕА„. В случае двух подгрупп А„ А, единственность представления любого элемента а е А в виде а = а, + а (а, е А „аз Е А,) равносильна тому, что А, П А = О.
851 $1. АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ Определение 5. Прямой суммой (аддитивиых) абелевых групп А„..., А„называется абелева группа А, Ю... Ю А„, составленная из всех последовательностей (а„..., а,), где а, е А,, с покомпонентной операцией сложения. Так, например, ЕЮ ...
Ю Е = Е". Отметим, что если группы А„..., А, конечны, то )А> Ю... Ю Аь] = )А<] . [А„] Прямую сумму в смысле определения 4 называют внутренней, а в смысле определения 5 — внешней. Эти два понятия связаны между собой так же, как в случае векторных пространств (см. $8.2). В случае мул ьтиплнкативных абелевых групп С„... ..., С, обычно говорят не о прямой сумме, а о прямом произведении и пишут С, х... х С,. Это согласуется с общим определением прямого произведения групп, которое будет дано в $10.1. Рассмотрим вначале разложения циклических групп в прямую сумму (циклических) подгрупп.
Напомним, что всякая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе Е, а всякая конечная циклическая группа порядка и изоморфна алдитивной группе Е„ вычетов по модулю п. ЗАДАЧА б. Доказать, что группа Е не может быть разложена в прямую сумму двух ненулевых подгрупп. Предложение 2. Если п= й1, где (lс,1)=1, то (7) ń— Еь Ю Е,.
До к аз атель ст во. Так как [Е, ЮЕ,] = й1 =п, то достаточно найти в группе Е„ Ю Е, элемент порядка и. Таким элементом является, например, ([1]„ [1],). (л ЗАДАЧА 7, Найти прообразы элементов [1], е Ез и [1], е Е, при изоморфизме Ем: Ез Ю Е,, переводящем [1]и в ([1]м [1]з). Следствие. Если и = р," ... р," — разложение числа и на простые множители, то (8) ń— ЕьЮ...ЮЕь. Определение 6.
Конечная группа, порядок которой есть степень простого числа р, называется примарной, или р-группой. Таким образом, всякая конечная циклическая группа разлагается в прямую сумму примарных циклических подгрупп. 352 Гл.в. КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА ЗАДАЧА 8, Доказать, что примарная циклическая группа не может быть разложена в прямую сумму двух ненулевых подгрупп. Теорема 6. Всякая конечно порожденная абелева группа А разлагается в прямую сумму примарнгях и бесконечных циклических подгрупп, причем набор порядков этих подгрупп определен однозначно. Доказательство.
Пусть (а„...,а.) — система порождающих группы А. Рассмотрим гомоморфизм р: Е"- А, (/с„...,к„) к,а,+...+к„а„. По теореме о гомоморфизме А =Е" /Лг, где Ж = Кег з». По теореме 5 существует такой базис (е„..., е„) группы Е" и такие натуральные числа и„..., и„(гп ( и), что (и,е„..., и е„) — базис группы М и и,[и,.в, при е = 1,..., Еп — 1. Рассмотрим гомоморфизм Ф: е" е„в...ве. вев...ве, 1, е, +... + 1„е„вв (Ц )„,..., [1 )„, 1 „„..., 1„). Очевидно, что Кег ел = Ач. Отсюда следует, что (9) А-Е в...вв„ввв...ве, в — т (Если и, =...
= и, = 1, то первые д слагаемых имеют вид Е, = Е/Е = = О и их следует отбросить.) Таким образом, группа А разлагается в прямую сумму циклических подгрупп. Каждое конечное слагаемое этого разложения, в свою очередь, может быть разложено в прямую сумму примарных циклических подгрупп. Тем самым получится требуемое разложение группы А. Перейдем к доказательству единственности. Пусть (с), обозначает циклическую группу порядка д с порождающим элементом с. Предположим, что группа А каким-то образом разложена в прямую сумму примарных и бесконечных циклических подгрупп: А = (с,), Е...
Е (с,), Е (с, „,) Е... Е (с, „,) (10) (среди простых чисел р„..., р, могут быть одинаковые). Рассмо- трим так называемую подгруппу кручения ТогА Ф(аЕА: пеа=О для некоторого гпЕЕ, го~О). (11) 353 э Е АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ Очевидно, что ТогА есть сумма первых з слагаемых разложения (10).
Следовательно, А/ТогА = е,'. Так как определение подгруппы ТогА не зависит от разложения (10), то тем самым показано, что число 1 не зависит от этого разложения. Далее, для каждого простого числа р можно рассмотреть подгруппу р-кручения Тот,А Ф (а Е А: р'а= 0 для некоторого й Е К, ). (12) Очевидно, что Тог „А есть сумма тех конечных слагаемых разложения (10), порядки йоторых суть степени р. Поэтому сумма этих слагаемых не зависит от разложения (10). Тем самым доказательство единственности сводится к случаю, когда А — примарная группа. Пусть |А ~ = р' и группа А каким-то образом разложена в прямую сумму циклических подгрупп: А =(с,),ч 9...Ю(с,)„ч (Е, +...+ /с, = й). (13) Докажем индукцней по Е, что набор чисел (Еп..., Е„) не зависит от разложения (13).
При Е = 1 утверждение очевидно. При к > 1 рассмотрим подгруппу рА Ф (ра: а Е А) с А. Очевидно, что рА =(рс,) ч- Э... Ю(рс„)р-,' в частности, при Е,. =1 соответствующее слагаемое просто исчезает. Так как определение подгруппы рА не зависит от разложения (13), то по предположению индукции набор отличных от единицы чисел к„..., к, не зависит от этого разложения. Что касается единиц, то их количество может быть определено из соотношения й, +... ... + к, = к и потому также не зависит от разложения (13). П ЗАмЕчлниЕ 3. Сами подгруппы разложения (13) при г > 1 определены не однозначно. Например, при Е, =... = к„= 1 группу А можно рассматривать как г-мерное векторное пространство над полем Е,, и ее разложение в прямую сумму циклических подгрупп — это то же самое, что разложение векторного пространства в прямую сумму одномерных подпространств, которое, очевидно, не единственно.
Злм ечлйи е 4. Если группа А конечна, то в ее разложении не может быть бесконечных слагаемых и, зяачит, она разлагается в прямую сумму примарных циклических подгрупп. 354 Гл. 9. КОММУГАТИВНАЯ АЛГЕБРА Условие и,.~и, , не было использовано в доказательстве теоремы. Однако оно позволяет восстановить числа и„ ...,и„, т.е. инвариантные множители подгруппы А»с Ж", по порядкам слагаемых разложения (10) и тем самым доказать, что инвариантные множители подгруппы свободной абелевой группы Ь не зависят от выбора базиса группы Ь, удовлетворяющего требованиям теоремы 5. А именно, анализируя доказательство теоремы, мы видим, что для каждого простого числа р степень, в которой оно входит в разложение и , равна максимальной степени р среди чисел р,,...
..., р,'; степень, в которой число р входит в разложение и„ равна его максимальной степени среди оставшихся чисел р»',... ...,р,' и т.д. В частности, всякая конечная абелева группа А допускает разложение А =(а,)„Ю...®(а )„, (14) в котором и» ( и„, при й = 1,..., т — 1. Можно считать, что и, ~ 1; иначе какое-то число первых слагаемых можно было бы отбросить.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
