1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Так как всякое конечное расширение может быть получено путем последовательных простых расширений, то достаточно доказать его в случае, когда Я = Р(о) — простое расширение поля Р. Пусть 6 — минимальный многочлен элемента о над Р. Тогда 6 делит минимальный многочлен Х элемента а над К в кольце Р[х]. Следовательно, Ле делит Х в кольце р(Р)[х] и, значит, разлагается на различные линейные множители в Х,[х].
Согласно лемме 9.5.1, гомоморфизм р продолжается до гомоморфизма ~1: Я вЂ” Х ровно бенЬ =Йш„Я способами. Применяя доказанное утверждение к случаю Р = Л, Я = Х,, получаем, что ] Ап1к Х [ = и. Остается доказать, что С = Ац1 Х. Пусть р е АШ Х. Тогда для любого а я Х элемент р(а), как и а, является корнем многочлена (13), т. е. существует такой элемент де С (быть может, зависящий от п), что у(а) = до.
Если поле Х конечно, то в качестве а возьмем элемент, порождающий группу Х ', и тогда мы получим, что у = д б С. Если же Х (и, стало быть, К) бесконечно, то для каждого де С положим Х, =(с~ Е Х' у(а) =да) с Х. Очевидно, что Х, — подпространство над Л (и даже подполе). Из доказанного следует, что Отсюда мы должны получить, что на самом деле Х = Х, для некоторого д б С. Это вытекает из следующей ниже леммы. Ь Лемма 1. Конечномерное векторное пространство Ъ' над бесконечным полем не может быть покрыто конечным числом собственных подпространств.
$ б. РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА 435 Доказательство. Пусть Ъ'= О Ъо где Р!,..., 1; — соб° =! ственные подпространства. Для каждого 1 возьмем какую-нибудь ненулевую линейную функцию 1! е Ъ'*, обращающуюся в нуль на г'„и рассмотрим многочлен Р = П 1,. Из условия следует, что ,=! Р(о) = О для любого о е Р'; но тогда Р— нулевой многочлен, что, очевидно, неверно. П Определение 1. Конечное расширение Х поля К называется расширением Галуа, если !Ац1к А[= б!шк Ь. Группа Ан! о в этом случае называется группой Галуа расширения 5 и обозначается через С!а! Г/К.
(Косая черта здесь не подразумевает никакого факторобразования.) Из теоремы 1 следует, что если Т вЂ” расширение Галуа поля .К и Р з Т, — подполе, содержащее К, то Ь вЂ” расширение Галуа поля Р. Многочлен,Г Е К[х] называется сгпарабельным, если он не имеет кратных корней ни в каком расширении поля К.
Обозначим через Г' формальную производную многочлена Г. Предложение 2. Многочлгн г" б К[х] сепарабелен тогда и только тогда, когда (Л Г') = 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, прежде всего, что наибольший общий делитель любых двух многочленов Г, д е К[х] может быть найден с помощью алгоритма Евклида и потому не изменяется при любом расширении поля К. С другой стороны, если над каким-либо расширением 5 поля К многочлен Г имеет кратный неприводимый множитель А, то А ] Г' в Ь [х] и, значит, (А Г') ф1.
В частности, это будет иметь место, если Г имеет кратный корень в Т. Обратно, если (Г,,Г') Ф 1, то какой-то неприводимый множитель А многочлена Г над К делит ~'. Это возможно только в двух случаях: если А — кратный неприводимый множитель и если А'=О. В первом случае многочлен г" имеет кратный корень в некотором расширении поля К (в частности, если А линеен, то в самом поле К). Второй случай имеет место, только если сйагК = р > О и многочлен А имеет вид А = а + а!хг+ озхзг+... + а х г (аь, а„..., а,„Е К). (14) Пусть Š— расширение поля К, содержащее такие элементы Ь, Ь„..., Ь, что Ь; = а,. Тогда в 5[х] А =(Ь + Ь,х+ Ь,х'+... + Ь х™)', (15) 436 Гл.
!О. ГРУППЫ и, следовательно, в некотором расширении поля Т многочлен Ь, а значит, и г', имеет кратный корень. П Следствие 1. Всякий неприводимый многочлен над полем нулевой характеристики сепарабелен. Следствие 2. Всякий неприводимый многочлен Г над полем характеристики р1дея,Г сепарабелен, Следствие 3. Всякии неприводимый многочлен над конечным полем сепарабелен.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Ь вЂ” несепарабельный неприводимый многочлен над конечным полем К. Тогда он имеет вид (14). Так как Кг = К (см. $9.5), то существуют такие Ьы Ь„..., Ь е К, что Ь„" = а„и, значит, Ь представляется в виде (15) уже в К)х), что противоречит его неприводимости. П Примером несепарабельного неприводимого многочлена может служить многочлен хе — Ф = (х — ~7)' над полем Е (1). Теорема 2. Пусть г" Е К[х) — многочлен, все неприводимые множители которого сепарабельны. Тогда его поле разложения над К является расширением Галуа. Доказательство получается путем анализадоказательства второй части теоремы 9.5.6 в случае Х = В с учетом того, что в условиях настоящей теоремы все многочлены 1;. сепарабельны. 0 Заметим, что если Т, — поле разложения многочлена Г Е К)х), то любой автоморфизм у поля 5 над К сохраняет множество ) о„..., а„) корней многочлена Г, каким-то образом их переставляя.
Так как Т = К(о„..., о„), то автоморфизм у однозначно определяется той перестановкой, которую он осуществляет на множестве корней. Тем самым группа Антк Х изоморфно вкладывается в Я„. ПРимеР 1. Как следует из формулы для решения квадратного уравнения, всякое квадратичное расширение поля К характеристики ~2 имеет вид К(~/д), где д Е К ", К'. Всякое такое расширение является расширением Галуа. Его группа Галуа порождается автоморфизмом а+ ЬЯ а — ЬтЯ (а, Ь Е К).
ПРИМЕР 2. Всякое конечное поле в,, д= р", является расширением Галуа поля Е„. Его группа Галуа — это циклическая группа порядка и, порождаемая автоморфизмом Фробениуса. 43? э 6. РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА ПРимер 3. Круговое поле К„=о(е'"м) есть поле разложения многочлена х" — 1 над Я и потому является расширением Галуа поля А). Всякий автоморфизм поля К„индуцирует автоморфизм (циклической) группы С„корней п-й степени из 1, содержащейся в К„. Как мы знаем, всякий автоморфизм группы С„есть возведение в степень й, взаимно простую с п. Тем самым группа ба! К„Я вкладывается в группу У,'„, порядок которой равен Р(и) (где у— функция Эйлера). На самом деле это вложение является изоморфизмом.
Для того чтобы это доказать, достаточно установить, что для любого простого р, не делящего и, существует автоморфизм поля К„, индуцирующий на С„возведение в р-ю степень. Последнее означает, что если à — минимальный многочлен числа е = е'"М над Я, то Г(е") = О. Можно считать, что ~ — примитивный многочлен с целыми коэффициентами. Тогда по лемме Гаусса х" — 1 = 9, где д Е Ж[х].
Легко видеть, что многочлен х" — 1 остается сепарабельным при редукции по модулю р. Следовательно, многочлены [г'], и [д]„ взаимно просты. Предположим теперь, что Де") ф О. Тогда д(ег) = О и, следовательно„ д(хг) = Г(х)Ь(х), Ь Е Е[х!. Редуцируя по модулю р, получаем что противоречит взаимной простоте многочленов [г" ]„и [д]„. Таким образом, б!то К„= Ф(и).
ПРимеР 4. Пусть Ь вЂ” поле разложения неприводимого кубического многочлена Г" с дискриминантом 1Р над полем К характеристики ф 2, 3 (см. пример 9.5.3). Тогда Ь вЂ” расширение Галуа поля К, и если Р ф К2, то б!ш, Ь =6 и Па! Х/К = о,. Если же В еК', то йткЬ =3 и Па!Ь/К А,.
Последнее означает, что группа Галуа осуществляет только четные перестановки корней многочлена Х. ПРИМЕР 5. Пусть Г=х" +а,х" '+...+а„,х+а„ вЂ” «общий» многочлен степени и, коэффициенты которого рассматриваются как элементы поля К = к(а„..., а„) рациональных функций от и независимых переменных над некоторым полем Й. Пусть |, — поле разложения многочлена г" над К и х„..., х„е Ь— 438 гл. 10. ГРуппы его корни.
По формулам Виета а„= (-1)" о„, где о;,..., а„— элементарные симметрические многочлены от х„..., х„. Следова- тельно, Х, = Й(х„..., х„). Так как !г. ЙеуХ =1г. ЙеаК = и„ то х„..., х„алгебраически независимы над й. В частности, они различны, так что Х вЂ” сепарабельный многочлен и Х вЂ” расширение Галуа поля К. Любая перестановка корней х„ ...,х„ определяет автоморфизм поля Х, тождественный на Х. Следовательно, Оа! Х/Х = Я„. Одновременно мы доказали, что Й(х,,..., х„) " = к(о„..., о„). й 7. Основная теорема теории Галуа В теории Галуа устанавливается соответствие между подполямн расширения Галуа Х поля К, содержащими К, и подгруппами группы С = Оа! Х/Х.
А именно, каждому подполю Р с Х, содержащему К, ставится в соответствие подгруппа С„=(у~ С: д~,=Ы) с С и каждой подгруппе Н С С ставится в соответствие подполе Х~=(аеХ: по=о ЧпеН)СХ. Теорема 6.1 показывает, что ~С,,~ = б!шр Х, 61~~, Х = !Н!. (16) (17) Хо, Р Теорема 1 (основная теорема теории Галуа). Описанные выше отображения Р ~ Сг и Н ~ Хг взаимно обратны и, таким образом, устанавливают взаимно однозначное соответствие между множествами подполей поля Х, содержащих Х, и подгрупп группы С.
При этом подполям Р, являющимся расширениями Галуа поля К, соответствуют нормальные подгруппы Н группы С, и наоборот. Доказательство. Очевидно, что 439 $7. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ГАЛУА В то же время из (16) и (17) вытекает, что Йгп;, Х, =(Ср(=йшр Ь. Следовательно, Аналогично доказывается, что Далее, так как по теореме 6.1 все автоморфизмы подполя Р над К продолжаются до автоморфизмов поля Ь, поле Р является расширением Галуа поля К тогда и только тогда, когда преобразования из группы С, переводящие его в себя, индуцируют на нем Йш Р различных автоморфизмов. Но из формулы (16) следует, что Йгп„Р = [С: С ).
Поэтому Р— расширение Галуа тогда и только тогда, когда все преобразования из группы С переводят его в себя. Так как Р = ьл, где Н = Ср, то Р грн,' Следовательно, подполе Р инвариантно относительно всех преобразований из С тогда и только тогда, когда подгруппа Н нормальна. П ПРимеР 1. Пусть / — неприводимый кубический многочлен над полем К характеристики ф 2 с .0 ф К' (см.
пример 9.5.3), и пусть Ь вЂ” его поле разложения над К. Тогда Ста! Ь/К = Н. Подгруппе Аз с 3 отвечает квадратичное расширение К(т/О) поля К, содержащееся в Ь. ПРимеР 2. Пусть э — автоморфизм Фробениуса конечного поля !Гр. (р простое). Как мы знаем, ба! У,./Е, = (у)„.
Всякая подгруппа группы (л)„имеет вид (у )„, где т ! и. Соответствующее подполе есть подполе неподвижных точек автоморфизма р". Оно имеет размерность пт над Е„, т.е. изоморфно !Г .. ПРимеР 3. Пусть р — нечетное простое число. Группа Галуа С кругового поля К, = Ц(е,) (см. примеры 9.5.2 и 6.3) есть циклическая группа порядка Р— 1. Пусть Н С С вЂ” (единственная) подгруппа индекса 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
