1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Это показывает, что изотипные компоненты не зависят от выбора разложения (3). Из определения ясно, что пространство Ъ' разлагается в прямую сумму изотипных компонент, отвечающих различным неприводимым представлениям множества Х. ПРИМЕР 10. Для вполне приводимого представления однозлементного множества над алгебраически замкнутым полем изотипные компоненты — это собственные подпространства соответствующего линейного оператора. 455 $1.
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА Представление В называется изотипным или, точнее, Я-изотипным, если К =В~ли Изотипные представления удобно описывать следующим образом. Пусть Я: Х вЂ” Е(У) — неприводимое представление и Я— любое векторное пространство. Определим представление (4) Л: Х- 1(У®Я) по формуле )т(х)(и З з) = (Я(х)и) З з. Если (з„..., г ) — базис пространства Я, то разложение УЗЫ=(УЗз,)Ю...®(УЗз ) (5) является разложением пространства 5г ® Я в прямую сумму инвариантных подпространств, причем ограничение представления Л на каждое из них изоморфно Я.
Теорема 4, Если основное поле К алгебраически замкнуто, то всякое инвариантное надпространство пространства УЗ З Е имеет вид АЗ Я„где Š— некоторое надпространство пространства Я. Доказательство. Так как сумма подпространств вида УЗ З Я есть надпространство того же вида, то достаточно доказать теорему для минимальных инвариантных подпространств.
Пусть Иг с УЗ Я вЂ” минимальное инвариантное подпространство. Для любого и е И' в соответствии с разложением (5) имеем и= р1( )Зз,+...+ Р.( )З „, где р„..., у„— некоторые морфизмы представления В в пред- ставление Я. Согласно следствию 1 теоремы 2, у, =Л,.р, где Л,- Е К, а р — некоторый фиксированный изоморфизм представления А„, в представление Я. Таким образом, и= р(в)З(Л,г, +...+Л г ) и, стало быть, И~ = (Г З (Л,г, +... + Л.з„). С) ЗАДАЧА 2. Доказать, что, если поле К алгебраически замкнуто, всякий эндоморфизм представления (4) имеет вид иЗг иЗСз где С вЂ” некоторый линейный оператор в пространстве Я. 456 Гл.
! !. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ и®а: и~ а(и)и. При этом соглашении произведения оператора и ® а на любой линейный оператор А Е 1.(У) выглядят следующим образом: А(и ® гг ) = Аи Э сг, (и 8 о)А= и ®А'а, (6) (7) где А" — сопряженный оператор, определяемый по формуле (А'о)(и) = а(Аи). Заметим, что ввиду канонического взаимно однозначного соответствия между подпространствами пространства У и подпространствами пространства У", сопоставляющего каждому подпространству его аннулятор, представление В*: Х -+ ЦУ*), определяемое формулой В*(х)а = Я(х)*о, неприводимо. Определим представления Т, и Т, множества Х в пространстве 1.(У) по формулам Т!(х)А=В(х)А, Т(х)А=АЙ(х).
Ввиду формул (6) и (7) эти представления изотипны. Теорема 5 (теорема Бернсайда). Пусть 11: Х - 1.(У) — неприводимое представление множества Х над алгебраически замкнутым полем. Тогда подалгебра алгебры 1.(У), порожденная множеством Я(Х), совпадает с ЦУ) за исключением случая, когда д!ш У = 1 и В(Х) = О.
Заметим, что подалгебра, порожденная множеством В(Х), состоит из всевозможных линейных комбинаций произведений операторов В (х), х Е Х. Таким образом, теорема утверждает, что, за исключением упомянутого тривиального случая, всякий линейный оператор является линейной комбинацией произведений операторов ГС(х), х Е Х. Д о к а з а т е л ь с т в о. Как мы знаем, пространство Ц У) может быть отождествлено с У 4с У' таким образом, что всякому разложимому элементу и Э а е У 8 У* соответствует оператор 457 $1. ННВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТИА Обозначим через А подалгебру алгебры 1.(У), порожденную множеством Н(Х).
Ясно, что она является подпространством в ЦУ), инвариантным как относительно представления Т„ так и относительно представления Т„. По теореме 4 она должна представ- лЯтьсЯ в виде А = УЗ И', где Иге — подпРостРанство пРостРанства У', н в то же время в виде А = Уь З 1 ", где Уь — подпространство пространства У. Это возможно, только если А есть 1.(У) или О. В последнем случае днп У=1, так как иначе представление Н было бы приводимо. П ЗАДАЧА 3. Тензорным произведением представлений Н: С— — О1.(У) и 5: Н- О (Иг) называется представление определяемое формулой (Н З д)(д, 6) = Я(д) З Н(6). (См. определение тензорного произведения линейных операторов в $8.1.) Доказать, что тензорное произведение непрнводимых представлений групп С и Н над алгебраически замкнутым полем неприводимо. Рассмотрим теперь класс вполне приводимых линейных представлений, в определенном смысле противоположный классу изотипных представлений.
А именно, будем говорить, что вполне приводимое представление имеет простой спектр, если оно является суммой попарно не изоморфных неприводимых представлений или, иначе говоря, если все его (ненулевые) нзотипные компоненты неприводимы. П зим Е и 11. Вполне приводимое представление одноэлементного множества над алгебранчески замкнутым полем имеет простой спектр тогда и только тогда, когда все корни характеристического многочлена соответствующего линейного оператора являются простыми. Для представлений с простым спектром инвариантные подпространства и эндоморфизмы описываются особенно просто. Предложение 4. Пусть Н: Х вЂ” 1.(У) — вполне приводимое представление с простым спектром. Рассмотрим какое-то разложение (3) пространства У в прямую сумму минимальных инвариантных надпространств.
Тогда 1) всякое инвариантное надпространство пространства У есть сумма некоторых из слагаемых разложения (3); 458 Гк ! !. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ 2) если основное поле К алгебраически замкнуто, то всякий эндоморфизм р представления А имеет вид !э(х) = Л,х при х Е У (Л„..., Л Е К). (8) Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Всякое инвариантное подпространство есть сумма минимальных инвариантных подпространств. Всякое минимальное инвариантное подпространство по определению представления с простым спектром есть изотипная компонента и, значит, совпадает с одним из слагаемых разложения (3). 2) Каждое слагаемое разложения (3), будучи изотипной компонентой, инвариантно относительно зндоморфизма у, а по лемме Шура у действует на нем скалярно.
П Следствие. Для вполне приводимого представления с простым спектром разложение пространства представления в прямую сумму минимальных инвариантных надпространств единственно. 2 2. Полная приводимость линейных представлений конечных и компактных групп Для некоторых классов групп можно доказать априори полную приводимость всех линейных представлений. Мы начнем с конечных групп, для которых доказательство чисто алгебраическое. Оно основано на простой идее, заключенной в следующей ниже лемме. Пусть  — конечномерное аффинное пространство над полем К. Лемма 1 (о неподвижной точке). Всякая конечная группа С аффинных преобразований пространства В, порядок которой не делится на сваг К, имеет в В неподвижную точку.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Неподвижной точкой является центр тяжести орбиты любой точки р Е В: сеп! Ср = — 2 др. П ! гч о Пусть теперь У вЂ” конечномерное векторное пространство над полем Х и С с ОЦЪ') — некоторая группа его линейных преобразований. Теорема 1. Если С вЂ” конечная группа и ее порядок не делится на с(!агК, то для любого С-инвариантного надпространства У с Ъ' существует С-инвариантное дополнительное надпространство Иl.
$2. ПОЛНАЯ ПРИВОДИМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 459 До к аз а т е л ь с т в о. Задать подпространство Иг, дополнительное к У, — это все равно, что задать проектор Р на У параллельно Иг. Инвариантность подпространства И' равносильна тому, что соответствующий проектор Р перестановочен со всеми преобразованиями нз С, Совокупность всех проекторов на У описывается линейными уравнениями Ри Е У Чи б У, Ри =и Чи Е У и, следовательно, представляет собой плоскость в пространстве ЦУ) всех линейных операторов на И.
Обозначим эту плоскость через В. При линейном действии группы С на 1.(И) сопряжениями плоскость В переходит в себя и на ней индуцируются какието аффинные преобразования. Тем самым мы получаем конечную группу аффинных преобразований плоскости В. Ее неподвижная точка и будет искомым проектором.
П Следствие. Всякое линейное представление конечной группы С над полем К, характеристика которого не делит ~ С~, вполне приводимо. Д о к а з а т е л ь с т в о получается применением теоремы к образу группы С при рассматриваемом линейном представлении. П ПРИМЕР 1. Докажем, что трехмерное линейное представление группы В,, построенное в примере 1.3, неприводимо не только над 11, но и над С. Так как оно во всяком случае вполне приводимо, то достаточно доказать отсутствие одномерных инвариантных подпространств, т.е. отсутствие общих собственных векторов у операторов представления. Как мы знаем (предложение 6.2.1), всякому мнимому собственному вектору вещественного линейного оператора соответствует двумерное инвариантное вещественное подпространство. Однако для рассматриваемого представления нет двумерных инвариантных вещественных подпространств.
При К = К или С разумным обобщением конечных групп являются компактные топологические группы. Определение 1. Топологической группой называется группа С, снабженная хаусдорфовой топологией таким образом, что групповые операции рл СхС- С, (ху)~ ху, г: С вЂ” ~ С, х ~-+ х ', являются непрерывными отображениями. Гомоморфизмом топологических групп называется гомоморфизм групп, являющийся в то же время непрерывным отображением. 460 Гл.
Н. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ Примерами топологических групп могут служить аддитивные и мультипликативные группы полей К и С, а также группы невы- рожденных матриц над этими полями. Всякая группа (например, конечная) может рассматриваться как топологическая, если ее снабдить дискретной топологией.
Всякая подгруппа топологической группы, наделенная индуцированной топологией, является топологической группой. Прямое произведение топологических групп является топологической группой. Топологическая группа называется компактной, если она является компактным топологическим пространством, В частности, все конечные группы компактны. Примерами бесконечных компактных групп могут служить «окружность» Т=(зЕС: 1х~=1), ортогональная группа О„и унитарная группа 11„. Докажем компактность группы О„.
Эта группа выделяется в и'-мерном пространстве 1.„(К) всех вещественных матриц Х = (хн) порядка и уравнениями хмх,, = б„ и, следовательно, замкнута в 1„(К). Из выписанных уравнений следует также, что ~х„.~ < 1, а потому группа О„ограничена в 1.„(К). Следовательно, она компактна. Аналогично доказывается компактность группы 1)„. Всякая замкнутая подгруппа компактной группы компактна. Прямое произведение компактных групп компактно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
