1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Так, прямое произведение и экземпляров окружности 7 есть компактная группа, называемая и-мерным тором и обозначаемая Т". Образ компактной группы при (непрерывном) гомоморфизме (в частности, линейном представлении) является компактной группой.
Имеются аналоги леммы о неподвижной точке и теоремы 1 для компактных групп. Для их доказательства мы используем понятие центра тяжести выпуклого множества. Пусть М вЂ” непустое ограниченное выпуклое множество в вещественном аффинном пространстве Я. Если а(1 М = о, то определим центр тяжести сеп1М множества М по формуле сеп1 М =,и(М) ' 1 хр(ах), м где р — обычная мера в пространстве о, инвариантная относительно параллельных переносов. Мера р определена с точностью до постоянного множителя, но из вида формулы ясно, что произвол 4 2.
ПОЛНАЯ ПРИВОДИМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 461 в выборе р не влияет на результат. Интеграл в правой части может определяться либо покоординатно, либо непосредственно как предел интегральных сумм, представляющих собой (с учетом множителя, стоящего перед интегралом) барицентрические линейные комбинации точек пространства б и поэтому имеющих инвариантный смысл.
Первое определение показывает существование интеграла, второе — его независимость от выбора системы координат. В общем случае определим сеп1 М так же, как и выше, но заменив пространство б пространством аНМ. Так как определение центра тяжести дается в терминах аффинной геометрии, то сеп1 о(М) = о(сеп1М) для любого аффинного преобразования а. В частности, если множество М инвариантно относительно какого-либо аффинного преобразования, то его центр тяжести является неподвижной точкой этого преобразования.
Из определения центра тяжести ясно, что сеп1 М Е М. На самом деле сеп1 М Е М', где М' — внутренность множества М относительно пространства аНМ. Действительно, для любой аффинно-линейной функции |, неотрицательной на М и не равной тождественно нулю на аН М, имеем У(сеп1М) = р(М) ' У У(х)з(йх) ) О. Лемма 2 (о неподвижной точке). Пусть С вЂ” компактная группа аффинных преобразований вещественного аффинного пространства Я, и пусть М с о — нелустое выпуклое множество, инвариантное относительно С. Тогда группа С имеет в М неподвижную точку.
Заметим, что в качестве М можно взять все пространство б. Доказательство. Искомой неподвижной точкой является центр тяжести выпуклой оболочки орбиты любой точки р Е М. П Теорема 2. Пусть С вЂ” компактная группа линейных преобразований векторного пространства Ъ' над полем К = К или С. Тогда для любого С-инвариант ного подлространства Ег с И существует С-инвариантное дополнительное надпространство И'. Доказательство этой теоремы дословно повторяет доказательство теоремы 1. Нужно только заметить, что в случае К = С плоскость 8, составленную проекторами на Ег, следует рассматривать как вещественное аффинное пространство.
П 462 Гк ! !. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И АССОНИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ Следствие. Всякое вещественное или комплексное линейное представление компактной топологической группы вполне приводимо. ПРимеР 2. Согласно теореме 2 и следствию 2 теоремы 1.2 всякое (непрерывное) комплексное линейное представление компактной абелевой группы есть сумма одномерных представлений, т.е. в некотором базисе оно записывается диагональными матрицами. В частности, это применимо к конечным абелевым группам и к группе Т.
Имеется другой подход к доказательству полной приводимости линейных представлений компактных групп, представляющий интерес и сам по себе. Теорема 3. Пусть С вЂ” компактная группа линейных преобразований вещественного (соответственно комплексного) векторного пространства И. Тогда в пространстве Ъ' существует С-инвариантная положительно определенная квадратичная (соответственно эрмитова) форма. Доказательство. Совокупность всех положительно определенных квадратичных (соответственно эрмитовых) форм есть С-инвариантное выпуклое множество в пространстве всех квадратичных (соответственно эрмитовых) форм.
Неподвижная точка группы С в этом множестве и будет искомой формой. О Следствие. Всякая компактная (в частности, конечная) подгруппа группы 01„(Ж) (соответственно 01„(С)) сопряжена подгруппе группы 0„(соответственно 1)„). Теорема 3 дает другой способ доказательства теоремы 2: в качестве инвариантного подпространства, дополнительного к Ег, можно взять ортогональное дополнение к У в смысле скалярного умножения, определяемого инвариантной квадратичной (соответственно эрмитовой) формой. $ 3. Конечиомерные ассоциативные алгебры Техника линейных представлений позволяет, прежде всего, достаточно хорошо описать строение конечномерных ассоциативных алгебр.
Пусть А — конечномерная ассоциативная (но не обязательно коммутативная) алгебра над полем К. Элемент а е А называется нильпотентным, если а" = О для некоторого и е В). Алгебра А называется нильпотентной, если 4 3. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ 463 все ее элементы нильпотентны. Всякая подалгебра н всякая факторалгебра нильпотентной алгебры нильпотентны.
С другой стороны, если идеал 1 и факторалгебра А/1 нильпотентны, то и алгебра А нильпотентна. ПРимеР 1. Алгебра всех нильтреугольных (треугольных с нулями на диагонали) матриц порядка и нильпотентна. Более того, произведение любых п элементов этой алгебры равно нулю. Как мы сейчас увидим, аналогичным свойством обладает любая нильпотентная алгебра. Теорема 1, Для любой нильпотентной алгебры А существует такое п Е 11, что произведение любых п элементов алгебры А равно нулю. Для любых подпространств В, С с А условимся обозначать через ВС линейную оболочку всевозможных произведений вида Ьс (Ь Е е В, с е С).
При этом соглашении утверждение теоремы можно записать так: А' =0 для некоторого и Е й). Доказательство. Пусть В с А — максимальное подпространство, для которого существует такое п е 11, что В" = О. Предположим, что В ~ А, и пусть а е А" В. Так как аВ" = О, то существует такое к > О, что аВ" К В, но аВ'+' с В. Заменив а подходящим элементом из аВ", мы можем добиться, чтобы (9) аВ СВ.
Для некоторого гп Е АГ имеем: а =О. (10) Положим С = В Ю (а). Из условий (9) и (10) следует, что С"" =О, но это противоречит определению подпространства В.(З В отличие от коммутативного случая, все нильпотентные элементы произвольной ассоциативной алгебры А не обязаны образовывать идеал (и даже подпространство). Однако если 1 н У вЂ” два нильпотентных идеала, то их сумма 1+1 Г (х+у:хЕ1, у6.7). также является ннльпотентным идеалом, так как она содержит нильпотентный идеал 1, факторалгебра (1+ У)/1 1/(1 П Х) по которому также нильпотентна. Поэтому существует наибольший нильпотентный идеал.
Он называется радикалом алгебры А и обозначается через гад А. 464 Гл. 11. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ В коммутативном случае он совпадает с радикалом кольца А в смысле $9.4. Алгебра А называется полупростой, если гад А = О. ПРимеР 2. В силу примера 9.4.1 алгебра К[г)/(Ь) полупроста тогда и только тогда, когда многочлен 6 не имеет кратных неприводимых множителей. В случае, когда с)!агК = О, полупростые алгебры могут быть охарактеризованы с другой точки зрения. Пусть Т: А — 1.(А) — регулярное представление алгебры А (см.
пример 1.5). Определим в А «скалярное умножение» по формуле (а, Ь) = 1г Т(аЬ) = 1г Т(а) Т(Ь). (1 1) Это симметрическая билинейная функция (может быть, вырожден- ная). Кроме того, она обладает свойством (аЬ, с) = (а, Ьс), вытекающим из ассоциативности умножения в А, Предложение 1. Ортогональное дополнение 1г к любому идеалу 1 алгебрь! А также является идеалом. Доказательство. Пусть хЕ1!-, аЕА, уЕ1. Тогда (ха, у) = (х,ау) = О, (ах, у) = (у,ах) = (да,х) = О.
С) Предложение 2. Если с)!агК =О, то всякий элемент аЕА, ортогональный ко всем своим степеням, нильпотентен. Доказательство. Пусть (а", а) =1г Т(а)"+' =О Чп Е В(. Возьмем подходящее расширение поля К, в котором характеристический многочлен г оператора Т(а) разлагается на линейные множители: 1 = г!ь 11(г — А,.)А (А„..., А.
различны и отличны от О). а=! Тогда гг Т(а)" ' = 2; 1«,л,з+ ! = О. *=1 $3. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ АССОНИАТИВНЫЕ АЛГЕбРЫ 465 Пусть и пробегает значения 1,..., г. Рассмотрим предыдущие равенства как квадратную систему однородных линейных уравнений относительно ко..., к,. Ее определитель, который лишь множителем Л,'... Л,' отличается от определителя Вандермонда для Л„ ..., Л„ отличен от нуля.
Следовательно, й, = ... = й, = О в поле К, что невозможно, если сваг К =О. Поэтому г = О, а это означает, что оператор Т(а) нильпотентен, т.е, Т(а)™ = О для некоторого ги е Я. Но тогда а ''=Т(а) а=О. П Теорема 2. 1) Если скалярное умножение (11) невырожденно, то алгебра А полупроста. 2) Обратно, если алгебра А полупроста и спагК =О, то скалярное умножение (11) невырожденно. Доказательство. 1) Пусть 1 — нильпотентный идеал алгебры А.
Тогда для любого х е 1 и любого а е А элемент ах нильпотентен (так как принадлежит 1) и, следовательно, (а, х) =1г Т(ах) = О. Таким образом, 1 с Ах = О. 2) Обратно, если сваг К = О, то предложения 1 и 2 показывают, что Ах есть нильпотентный идеал. П ЗАМЕЧАНИЕ 1. На самом деле мы доказали больше: если с)гаг К = О, то гад А совпадает с ядром скалярного умножения (11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
