1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 86
Текст из файла (страница 86)
П РимеР 3. Как следует из формулы (6), регулярное представление алгебры Е(У) изотипно. Более точно, оно изоморфно иЯ, где п =д1гп У, а  — тавтологическое представление алгебры 1.(У) в пространстве У (т. е. тождественное отображение Е(У)- Е(У)). Следовательно, скалярное умножение (11) в 1(У) имеет вид (12) (А, И) = и 1г АН. Если Ев — оператор, задаваемый (в каком-либо фиксированном базисе) матричной единицей Е„, то )'1 при к=~',1=~, ( О в остальных случаях.
Отсюда следует, что если с)гаг К1и, то скалярное умножение (12) невырожденно и, стало быть, алгебра ЦУ) полупроста. (Как мы увидим (см. пример 6), она полупроста и в том случае, когда сЬаг К ! и.) 466 гл. ! 4, линнйные пред~тднления н дс~ог1нлтиннь~е ллгенрь~ Примнр 4. Пусть А = К[2]/(6). Мы можем рассмотреть А как К[1]-модуль.
Тогда 6 будет характеристическим многочленом оператора умножения на 1 (см. задачу 9.4.1). Пусть с„..., с„— его корни (с учетом кратностей) в поле разложения. Тогда для любого многочлена Г" б К[2] корнями характеристического многочлена оператора умножения на У(2) будут Г(с!),..., Г'(с„).
Но оператор умножения на Дг) в К[1)-модуле А — это то же, что оператор умножения на [Д = г" + (6) в алгебре А, т.е. оператор Т([г")). Следовательно, 1г Т([г")) = 2 У(с,.). Поэтому в базисе ([1),[2],[32),...,[1" ']) алгебры А матрица скалярного умножения (11) имеет вид В! 82 ... 8„ 82 83 " Ви 3 4 ''' п ! а2 3! 32 аи — 1 2 341 '' 2 — 2 где 3 = с," +...
+ с~. Заметим, что степенные суммы 3, можно выразить через коэффициенты многочлена 6 без того, чтобы находить его корни. Согласно теореме 2, если с)1агК = О, алгебра А полупроста тогда и только тогда, когда матрица (!3) невырожденна, С другой стороны (см. пример 2), она полупроста тогда и только тогда, когда многочлен 6 не имеет кратных неприводимых множителей, что в случае с[4агК = О равносильно тому, что с„..., с„различны. Таким образом, мы приходим к следующему выводу: многочлен 6 над полем нулевой характеристики не имеет кратных корней в своем поле разложения тогда и только тогда, когда матрица (13) невырожденна. ЗАмечАние 2. Последнее утверждение можно доказать и более непосредственно. А именно, матрица (13) может быть представлена в виде произведения 1 1 ...
1 с, с.... с„ с2 с' ... с„' 1 с с2 ... с" 1 ! 4 и-' СЗ СЗ ... СЗ с"-' си ' ... с" ' 1 с с' ... с"-' 1 и Следовательно, ее определитель равен П (с! — с,)2, ! >! т.е. дискриминанту многочлена 6 (см. $3.9). э 3. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ 467 ЗАДАЧА 1. Доказать, что в общем случае (но при условии, что сваг К = 0) число различных корней многочлена А равно рангу матрицы (13). Алгебра А называется простой, если А ф 0 и А не имеет никаких нетривиальных (т. е. отличных от 0 и А) идеалов. ПРИМЕР 5.
Всякое расширение Х поля К является простой (коммутативной) алгеброй над К. ЗАДАЧА 2. Доказать обратное утверждение: всякая простая коммутативная алгебра над К есть либо поле, содержащее К (т.е. расширение поля К), либо одномерная алгебра с нулевым умножением. Для любой алгебры А подпространство А' является идеалом (как и вообще произведение двух идеалов), Если алгебра А нильпотентна, то А' ~ А, Поэтому простая алгебра А не может быть нильпотентной, за исключением тривиального случая, когда А' =0 и 61гп А = 1, т.е.
когда А — одномерная алгебра с нулевым умножением. За исключением этого случая, всякая простая алгебра является полупростой. П РимеР 6. Алгебра 1(Ъ") проста (см. пример 9.2.6) и, следовательно, полупроста. Теорема 3. Всякая полупростая ассоциативная алгебра А разлагается в прямую сумму(нетривиальных) простых алгебр: (14) А =А, Ю...ВА„ причем любой идеал алгебры А является суммой некоторых слагаемых этого разложения.
До каза тельство. Мы докажем эту теорему в предположении, что с)гаг К = О. Если алгебра А проста, то доказывать нечего (в этом случае г = 1). Пусть она не проста, и пусть А, с А— какой-нибудь ее минимальный идеал. Тогда либо (15) А =А, ЮА~, либо А, с А,'-. Но во втором случае идеал А, в силу предложения 2 нильпотентен, так что этот случай невозможен. В первом случае из разложения (15) следует, что всякий идеал алгебры А,, а также всякий идеал алгебры Ах, является идеалом алгебры А и, значит, алгебра А, проста, а алгебра А,'- полупроста.
Если алгебра А',- еще не проста, то применяем к ней такое же рассуждение и т. д. 468 Гл. Н. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ Пусть теперь 1 — любой идеал алгебры А. Обозначим через проекцию на Ь-е слагаемое разложения ((4). Очевидно, что 1„= я„(1) — идеал алгебры А„. Если 1, ~ О, то 1„= А„н, следовательно, А„=А„'=А,1„=А„1с1 Это как раз и означает, что идеал 1 есть сумма некоторых слагаемых разложения ((4). Е! В частности, всякая (конечномерная) полупростая коммутативная ассоциативная алгебра А есть прямая сумма нескольких конечных расширений поля К (см.
задачу 2), а если поле К алгебраически замкнуто — то просто нескольких копий самого поля К. ЗАДАЧА 3. Доказать последнее утверждение (относящееся к алгебраически замкнутому случаю) средствами коммутативной алгебры. (Указание: рассмотреть Зрес А и воспользоваться теоремой Гильберта о нулях.) П РИМЕР 7. Пусть многочлен Ь Е К[х] не имеет кратных неприводимых множителей, и пусть Ь = р,...
р, — его разложение на неприводнмые множители над К. В силу теоремы 9.2.5 имеет место изоморфизм алгебр К[С]/(Ь) = К[С]/(р,)Ю ...Ю К[С]/(р,). ()6) Это и дает разложение полупростой алгебры К[~]/(Ь) в прямую сумму простых алгебр (конечных расширений поля К). В частности, при К = !к каждому вещественному корню многочлена Ь отвечает одномерное слагаемое разложения ((6), изоморфное !и, а каждой паре сопряженных мнимых корней — двумерное слагаемое, нзоморфное С (см. примеры 9.2.4 и 9.2.5). ЗАДАЧА 4. Вычислив двумя способами скалярное умножение (! !) в алгебре !к[х]/(Ь), где Ь Е ]к[х] — многочлен, не имеюший кратных комплексных корней, доказать, что число пар сопряженных мнимых корней многочлена Ь равно отрицательному индексу инерции симметричной матрицы (!3).
В частности, все корни многочлена Ь вещественны тогда и только тогда, когда матрица (! 3) положительно определенна. Что касается простых алгебр, то их строение в случае алгебраически замкнутого поля К описывается следующей теоремой, а общему случаю будет посвяшен $6. Теорема 4. Всякая нетривиальная простая ассоциативная алгебра А над алгебраически замкнутым полем К изоморфна 5 3. кОнечнОмеРные АссОЦиАтиВные АлГеБРы 469 алгебре вида Е(Ъ'), где И вЂ” векторное пространство над К, а всякое ее нетривиальное неприводимое представление изоморфно тавтологическому представлению алгебры Е(Ъ').
(Под тривиальным неприводимым представлением здесь понимается одномерное представление В, при котором В(А) = О.) До каз ат ель с т во. Рассмотрим ограничение регулярного представления алгебры А на какое-либо минимальное инвариантное подпространство И (левый идеал) алгебры А. Полученное неприводимое представление обозначим через В. Его ядро есть идеал алгебры А. По теореме Бернсайда либо А В(А) =1(Ъ'), либо дпп Ъ' = 1 и В(А) =О. Во втором случае АИ = О, так что Ае = ~х Е А: Ах = О) ф 0; но легко видеть, что Аз — идеал алгебры А и, значит, Аз = А, что противоречит нетривиальности алгебры А.
Пусть теперь А = Е(Ъ'), где Ъ' — какое-то векторное пространство, и  — тавтологическое представление алгебры А в пространстве И. Тогда регулярное представление Т алгебры А изоморфно пВ . Пусть Я: А — Е(У) — любое неприводимое представление алгебры А. Возьмем какой-нибудь ненулевой вектор и0 Е У и рассмотрим отображение у: А - Ц а~ Я(а)и . Так как ~р(Т(а)х) = у(ах) = Я(ах)и = Я(а)Я(х)ц, = Я(а)~р(х), то ~р — морфизм представления Т в представление Я. Если представление Я нетривиально, то 1гп р = У, так что представление Я изоморфно факторпредставлению представления Т. Так как Я неприводимо, то Я В (см.
следствие 2 теоремы 1.3). П Из теорем 3 и 4 следует, что всякая полупростая ассоциативная алгебра над алгебраически замкнутым полем изоморфна алгебре вида А =Е(Ъ;)Щ... ЮЕ(У), (17) где 7;,..., У, — какие-то векторные пространства. Если дпп У = и, (1=1,...,в), то бпп .4 = п~з +... + и'. (18) 470 Гл. ! !. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И АССОЦИАТИВНЪ|Е АЛГЕБРЫ Число з можно найти, если известен центр алгебры А. Вообще, центром ассоциативной алгебры А называется (коммутативная) подалгебра Я(А) = (г Е А: аг = га Уа Е А). Известно, что центр алгебры Ц$') одномерен и состоит из ска- лярных преобразований.
Поэтому для полупростой алгебры А, заданной разложением (17), (19) д|ш Я(А) = г. Пусть В, (1 = 1,..., г) обозначает неприводимое представление алгебры А в пространстве У, задаваемое проекцией на ЦУ) в разложении (17). Отметим, что представления В„..., В, попарно не изоморфны, так как их ядра различны. Теорема 5. Всякое нетривиальное неприводимое представление алгебры (17) изоморфно одному из представлений В„..., В,.
Доказательство. Пусть В: А — Ц ГГ) — нетривиальное неприводимое представление алгебры А. Так как В(А) = 1.((7)— простая алгебра, то Кег В есть сумма всех слагаемых разложения (15), кроме одного, скажем 1.(У). Но тогда В фактически сводится к представлению алгебры 1.(Ъ;) и по теореме 4 изоморфно В,. П Имеет место также следующая теорема: всякое линейное представление полупростой ассоциативной алгебры (над любым полем) вполне приводимо. 9 4. Линейные представления конечных групп Теория ассоциативных алгебр дает важную информацию о линейных представлениях конечных групп. Пусть С вЂ” конечная группа порядка и и К вЂ” какое-нибудь поле.
Определение 1. Групповой алгеброй группы С над полем К называется алгебра КС, базисные элементы которой занумерованы элементами группы С, причем произведение базисных элементов с номерами д, й е С есть базисный элемент с номером дй. Обычно базисные элементы алгебры КС отождествляют с соответствую|цими элементами группы С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
