1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 89

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 89)

ИНВАРИАНТЫ 483 переменных, не меняющиеся ни при какой перестановке переменных. В частности, инвариантные многочлены этой группы — это симметрические многочлены. Пространство Р(Х, К) является алгеброй относительно обычной операции умножения функций, и преобразования из группы С являются автоморфизмами этой алгебры. Отсюда следует, что инварианты образуют подалгебру в Е(Х, К). Обычно инварианты ищут не среди всех вообще, а среди «хороших» в том или ином смысле функций.

Наиболее распространенной является ситуация, когда Х = Ъ' — векторное пространство над полем К, а действие группы С определяется ее линейным представлением в пространстве И. В этой ситуации обычно ищут инварианты в алгебре К[Ъ'] многочленов на Ъ'. (Именно так обстояло дело в примере 1). Подалгебра инвариантов в К[Ъ'] обозначается через К[Ъ']с. Говорят, что орбиты линейной группы С с О(.( г') разделяются инвариантами, если для любых двух различных орбит найдется инвариант Г е К[Ъ']о, принимающий на них различные значения.

Теорема 1. Если С с О1(Ъ') — конечная группа и ее порядок не делится на сйаг К, то ее орбиты разделяются инвариантами. Доказательство. Пусть О, и О,— две различные орбиты. Тогда существует многочлен У е К[1'], равный 1 во всех точках орбиты О, и О во всех точках орбиты О,. Совокупность всех многочленов степени < беп Г, обладающих этим свойством, есть некоторая плоскость Я в пространстве всех многочленов степени < деа Г. Группа С сохраняет эту плоскость и действует на ней аффинными преобразованиями. Согласно лемме 2.1, в Я существует неподвижная точка группы С. Это и будет искомый инвариант. П ЗАДАЧА 1. В приведенном доказательстве использовался тот факт, что для любого конечного числа точек пространства существует многочлен, принимающий в этих точках любые наперед заданные значения. Докажите это.

П Рим ВР 3. Задание вектора (х„х,..., х„) е К" с точностью до перестановки его координат равносильно заданию многочлена (х — х,)(х — хз)... (х — х„) Е К[х], Кбэффициенты этого многочлена суть с точностью до знака элементарные симметрические многочлены от х„х,...х„. Следовательно, орбиты группы Я„в пространстве К" (см. пример 2) разделяются элементарными симметрическими многочленами (являющимися инвариантами группы Я„) и, тем более, разделяются всеми инвариантами. 484 Гк 11.

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ Если алгебра К]Ъ']с порождается инвариантами Г„..., Г и зти инварианты принимают одинаковые значения в каких-то двух точках, то и все инварианты принимают одинаковые значения в этих точках. Поэтому, если орбиты группы С разделяются (всеми) инвариантами, то они разделяются инварнантами Г,,..., 1„. Так, в предыдущем примере можно было заранее предсказать (в случае, когда с(чаг К11С]), что орбиты группы Я„должны разделяться элементарными симметрическими многочленами, поскольку эти многочлены порождают алгебру всех симметрических многочленов. Следующая теорема является частным случаем современной версии теоремы Гильберта об инвариантак. Сам Гильберт доказал эту теорему в 1891 г. для линейных представлений группы 31.„(К), но основная идея его доказательства применима в гораздо более общей ситуации и в том числе для конечных групп.

Теорема 2. Если С вЂ” конечная группа и ее порядок не делится на с(гаг К, то алгебра К(1л]о является конечно порожденной. Утверждение теоремы означает, что существуют такие инварианты 1„...1', что всякий инвариант представляется (быть может, не однозначно) в виде многочлена от 1„...1 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим в алгебре К] И]с так называемый оператор Рейнольдса з (читается «бекар«) по формуле Г' =сеп1 СГ= — 1„д1 ««о (40) Кгг г ]сКгу]о Это линейный оператор, обладающий следующими свойствами: 1) 11 Е К(Ъ']о для любого Г Е К(к']; 2) уч =1 для любого 1 Е К1)г]с; 3) (ГА" ) = 161 для любых Г Е К(Ъ']о, и Е К(Ъ'].

Иными словами, это проектор на алгебру инвариантов, перестановочный с умножениями на инварианты. Заметим, что многочлен инвариантен тогда и только тогда, когда инвариантны все его однородные составляющие, и что оператор Рейнольдса переводит любой однородный многочлен в однородный многочлен той же степени.

Пусть теперь 1 С К11'] — идеал, порожденный всеми однородными инвариантами положительной степени. По теореме Гильберта о базисе идеала идеал 1 порождается конечным числом многочленов, Ясно, что их можно выбрать среди однородных инвариантов. Пусть это будут инварианты Г„ ...~„, и пусть 485 $5. инВАРиднты — порожденная ими подалгебра. Мы докажем, что она совпадает с алгеброй инварнантов. Для этого докажем индукцией по и, что каждый однородный инвариант степени и принадлежит алгебре К[Л,,У.! При и = 0 доказывать нечего (алгебра К[г'„..., У'„] содержит единицу по определению). Пусть г' — произвольный однородный инвариант положительной степени. Так как г' е Х, то существуют такие многочлены Ь„..., Ь е К[Ъ'], что Можно считать, что Ь,, — однородный многочлен, степень которого равна ден6, =дед г' — ахеи г",.

(йедУ. Применяя к предыдущему равенству оператор ~, мы получаем тогда г ~'уйс =! По предположению индукции Ь," Е К[г'„..., ~„]. Следовательно, и у Е К[ум..., у ]. П Явное нахождение конечной системы порождающих алгебры инвариантов в конкретном случае может представлять собой трудную задачу.

П римки 4. Дадим новое доказательство того, что алгебра инвариантов симметрической группы Я„ (см. пример 2), т.е. алгебра симметрических многочленов, порождается элементарными симметрическими многочленами с„ ...,а„. В примере 10.6.5 уже было показано, что К(х„..., х„)~- = К(о„..., о„), причем о„ ...,о„ алгебраически независимы. Так как х„ ..., х„ являются корнями многочлена (х — х)...(х — х„)=х" — <т,х" '+...+( — 1)"о„ с коэффициентами из К[о„..., о ], то алгебра К[х„..., х„] всех многочленов и, тем более, ее подалгебра К[х„..., х„]з являются целыми расширениями алгебры К[о„..., о„]. В то же время К[х„..., х„]~. С К(х„..., х„)~.

= К(а„..., о„). 486 Гл. ! !. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСтАВЛЕННЯ И АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕВРЫ Так как алгебра К[о„..., о„], будучи изоморфна алгебре многочленов от и переменных, факториальиа, то она нормальна (целозамкнута в своем поле отношений). Следовательно, К[х„..., х„] " = К[о„..., о„]. П рнмер 5, Не следует думать, что алгебра инвариантов всегда порождается алгебраически независимыми элементами, как в предыдущем примере. Такая ситуация является скорее исключением, чем правилом. Рассмотрим, например, группу О =(хЕ) с Ст1(Ъ'), с)загК ф2. Однородный многочлен является инвариантом этой группы тогда и только тогда, когда его степень четиа. Поэтому минимальная система однородных порождающих алгебры инвариантов состоит из многочленов Дв = х,х,, которые связаны соотношениями Замечание !.

Теоремы 1 и 2 справедливы и для конечных групп, порядок которых делится на с!заг К, но приведенные выше доказательства в этом случае не проходят. В случае К = К доказанные теоремы могут быть обобщены на произвольные компактные группы. Теорема 3. Орбиты компактной группо! С линейных преобразований вещественного векторного пространства Ъ' разделяются инвариантами. До к аз атель ст в о. Следуя доказательству теоремы 1, мы не можем теперь априори гарантировать существование многочлена, равного 1 на О, и О на О,.

Однако из теоремы Вейерштрасса о равномерной аппроксимации непрерывных функций на компактных множествах многочленами следует, что существует миогочлен у, положительный на О, и отрицательный на О,. Совокупность всех многочленов степени ( дед Г, обладающим этим свойством, есть некоторое О-инвариантное выпуклое множество М в пространстве всех многочленов степени < дед~. Неподвижная точка группы О в этом множестве и будет искомым инвариантом.

П ЗАмечдние 2. Для комплексных векторных пространств аналогичная теорема неверна, как показывает пример окружности Т с С' = И.„(С). э 5. ИНВАРИАНТЫ 487 Теорема 4. Пусть С вЂ” компактная группа линейных преобразований векторного пространства 1г над полем К'=]я или С. Тогда алгебра К[$']с является конечно порожденной. Эта теорема, как и теорема 2, является частным случаем теоремы Гильберта об инвариантах. Доказательство может быть проведено так же, как и доказательство теоремы 2, если только нам удастся определить оператор Рейнольдса, обладающей свойствами 1) — 3). Это можно сделать, заменив в формуле (40) суммирование по конечной группе надлежащим образом определенным интегрированием по компактной группе.

(Например, в случае С =7 это будет обычное интегрирование по окружности.) Однако мы дадим другое доказательство. В силу полной приводимости линейных представлений компактных групп (следствие теоремы 2.2) пространство К[1']„однородных многочленов степени п на Ъ' может быть разложено в прямую сумму подпространства К[7']с С-инвариантных многочленов и некоторого С-инвариантного подпространства (К[Ъ']„) .

Положим К[Чс = 9(К[1г]„) . га Очевидно, что подпространство К[1'] инвариантно относительно С и К[У]=К[1] ВК[ ] . (41) Определим теперь оператор ~ как проектор на К[1']о относительно разложения (41). По построению этот проектор перестановочен с действием группы С. Единственное, что нам нужно проверить — это то, что он перестановочен с умножениями на инварианты. Для этого достаточно доказать, что К[$/]оКМ с КМ . Умножение на инвариант у е К[Ъ']~ перестановочно с действием группы С, т.е. является эндоморфизмом представления группы С в пространстве К[Ъ'].

Так как подпространство К[$']о по построению дополнительно к К[Ъ']о, то представление группы С в К[Ъ'] разлагается в сумму нетривиальных неприводимых представлений. То же самое можно сказать и о представлении группы С в ~К[Ъ'] . Значит, проекция этого подпространства на К[Ъ']о равна нулю, т.е. УКМ~ с КЮ~, что и требовалось доказать. 1З 488 г . и. линейные предстлвления и лссоцилтивные ллгевры П римеР б. Рассмотрим линейное представление В группы О„ в пространстве 1„вещественных симметричных матриц порядка и, определяемое формулой Л(А)Х = АХА '(= АХАТ). Рассмотрим характеристический многочлен матрицы Х: бе1(Ж вЂ” Х) = г" — Г,(Х)1" '+Л(Х)~" ' — .

Характеристики

Список файлов книги