1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 92

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 92)

Отсюда следует, что определитель матрицы (46) тем более отличен от нуля, что и требовалось доказать. Так как б!ш 17 = 9, то 7) — центральная алгебра с делением степени 3. Если не требовать ассоциативности, то определение алгебры с делением следует видоизменить. Алгебра 77 (не обязательно ассоциативная) называется алгеброй с делением, если для любых а,Ь 6 77, а р:О, каждое из уравнений ам = Ь и ра = Ь имеет решение. Злдлчл 4. Доказать, что для ассоциативных алгебр это определение эквивалентно данному выше. Задача 5. Доказать, что утверждение задачи 1 справедливо и для неассоциативных алгебр.

При отказе от ассоциативности возникают новые интересные примеры алгебр с делением, даже в случае поля !Ь. 4 б. АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ 499 Пгимкг 3. Приведем конструкцию алгебры октав О, являющейся наиболее интересным и важным примером неассоциативной алгебры с делением над Ы. Пусть Р— трехмерное векторное пространства над полем 2, Рассмотрим 8-мерную алгебру О над Ы с базисом (с,: ай )г) и таблицей умножения с«еь — — с(а, Ь)с„е ь, где коэффициенты с(а, 6), равные ш1, определяются в соответствии со следующими правилами; 1) с(0, 6) = с(а, 0) = 1, так что со — — ! является единицей алгебры О; 2) с(а, а) = — 1 при а~ О, так что квюграт каждой «мнимой единицы«с, (а ~0) равен -1; 3) с(а, 6) = -с(Ь, а) при а, Ь Ф О, а~ 6, так что мнимые единицы антикам мутируют; 4) с(а, Ь) = с(Ь, с) = с(с, а) при а, Ь, с Ф О, а+ Ь+ с = О, так что любые две мнимые единицы порождают подалгебру, изоморфную алгебре кватернионов; 5) с(а 6)с(Ь с)с(с й)с(й а) = -1 при различных а 6 ой рО, а+ Ь+с+ й = О.

Ненулевые векторы пространства !г можно представлять как точки проективной плоскости РЪ' над полем Ет. При такой интерпретации условие 4) относится к тройкам точек, лежащих на одной прямой, а условие 5) — к четверкам точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой, Пример выбора коэффициентов с(а, 6) (а, 6 ~ О, аф Ь), удовлетворяющих условиям 3)-5), приведен на рис. 1, где прямые плоскости РР условно изображены шестью прямыми и одной окружностью, а стрелка, идущая от точки а к точке Ь, означает, что с(а, Ь) = !. (Остальные коэффициенты восстанавливаются в соответствии с правилами 3) и 4).) Несложно показать, что любой другой допустимый выбор коэффициентов с(а, Ь) приводится к этому за счет умножения некоторых мнимых единиц на -1.

Рис. 1 Построенная алгебра О называется алгеброй октав или алгеброй Кали. Как и в случае кватернионов, линейное отображение и «и, оставляющее на месте единицу и умножающее асс мнимые единицы на -1, является онгвиагогоморфиэмом алгебры О. Элемент АГ(и) = ий, называемый нормой октавы и, принадлежит )( и равен сумме квгдратов ее координат. Если и Р'О, то !У(и) ~ 0 и и = Аг(и) й (49) есть элемент, обратный и.

Для установления всех этих свойств достаточно условий 1) — 3), однако ввиду отсутствия ассоциативности они еще не гарантируют того, что Π— алгебра с делением. При отсутствии ассоциативности для некоторых целей может оказаться достаточным более слабое свойство альтернативности. Алгебра называется альтернативной, если ассоциатор ( )=( ) — (о ) любых ее элементов кососимметричен по и, о, ю. В частности, отсюда следует, что если какие-либо два из трех перемножаемых элементов совпадают, то имеет место ассоциативность.

500 Гл. 11. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ Зядячя б. Доказать, что в альтернативной алгебре подалгебра, порожденная любыми двумя элементами, ассоциативна. Проверим, что алгебра О альтернативна. По соображениям линейности достаточно проверить кососимметричность ассоциатора любых базисных векторов е„еь, е (а, Ь, с б И).

Если а, Ь, с линейно зависимы, то е„еь, е, принадлежат ассоциативной подалгебре и проверять нечего. Пусть а, Ь, с линейно независимы. Докажем, что тогда не только ассоциатор, но и каждое из произведений (е,еь)е„е,(еье,) кососимметрично по а, Ь, с. Рассмотрим, например, первое из них. Очевидно, что ойо кососимметрично по а и Ь. Поэтому достаточно проверить, что оно иососимметрично по Ь и с, Пользуясь свойствами 3) и 4), получаем (е еь)е, = г(а, Ь)г(а.1- Ь, с)е,ч ь„, —— -г(а, Ь)е(а 1- Ь -~-с, с)егч ьч, и, аналогично, (е„е,)еь — — е(а, с)е(а+ с, Ь)е та ч, — — — г(с, а)г(Ь, а+ Ь+ с)е ч ьчг, но из свойства 5) следует, что е(а, Ь)г(а + Ь + с, с) = -е(с, а)е(Ь,а-г Ь .1- с), откуда (е еь)е, =-(е„е )еь. Аналогично проверяется кососимметричность второго произведения.

Из формулы (49) для обратного элемента в алгебре О вытекает, что и й(1,и), и поэтому, если какие. либо два из трех перемножаемых элементов взаимно обратны, то, как и в случае их совпадения, имеет место ассоциативность. Следовательно, при и ~ 0 элемент и 'о является решением уравнения ие = о, а элемент ои решением уравнения ри = о,и, значит, О в алгебра с делением. Имеет место теорема: всякая альтернативная конвчномерная алгебра с делением над Ж изоморфна либо )Д, либо С, либо Я, либо О.

Глава 12 ГРУППЫ ЛИ Определение группы Ли аналогично определению топологической группы. А именно, группой Ли называется группа С, снабженная структурой дифференцируемого многообразия таким образом, что групповые операции рп СхС-+С, (л,у)» лу, с: 0 — «О, л~-~х ', дифференцируемы. Иными словами, (локальные) координаты произведения должны быть дифференцируемыми функциями от (локальных) координат множителей и координаты обратного элемента должны быть дифференцируемыми функциями от координат самого элемента. Всякую группу Ли можно рассматривать как топологическую группу, но структура группы Ли богаче, чем структура топологической группы, В приведенном определении под дифференцируемым многообразием можно понимать как вещественное, так и комплексное многообразие.

В соответствии с этим получается определение вещественной или комплексной группы Ли. Для того чтобы охватить оба случая, будем обозначать через К поле К или С соответственно. Примерами групп Ли служат аддитивная и мультипликативная группы поля К и группа невырожденных матриц ОЕ„(К) (или, в геометрических терминах, группа ОЕ(Ъ') обратимых линейных преобразований и-мерного векторного пространства г' над полем К). В последнем случае координатами служат матричные элементы. Теория групп Ли объединяет в себе алгебру, анализ и геометрию. Благодаря этому ее понятия и методы играют важную роль в большинстве разделов математики и теоретической физики, 502 Гл.

!2. ГРУППЫ ЛИ ф 1. Определение и простейшие свойства групп Ли Мы не будем пользоваться данным выше общим определением группы Ли. Ради простоты изложения мы ограничимся линейными группами Ли — группами Ли, являющимися подгруппами группы О(.„(К). На самом деле почти все группы Ли могут быть представлены как линейные группы Ли.

Договоримся понимать под дифференцируемой функцией функцию, имеющую непрерывные частные производные первого порядка в ее области определения. Впрочем, во всех конкретных примерах рассматриваемые функции будут аналитическими, а в случае К = С, как известно, всякая дифференцируемая функция автоматически является аналитической. Напомним, что подмножество М с К" называется о-мерным дифференцируемым многообразием, если в некоторой окрестности любой своей точки р оно может быть задано системой уравнений ~,(х„..., х„) = 0 (1 = 1,..., гп), (1) где тп = 㻠— о' и 1„..., 1 — дифференцируемые функции, ранг якобиевой матрицы которых в точке р ранен»г». ЗАМЕЧАНИЕ 1.

Всякое открытое подмножество пространства К " локально задается пустой системой уравнений и, согласно определению, является и-мерным дифференцируемым многообразием. С другой стороны, всякое дискретное подмножество локально задается системой уравнений вида х, = с,. (1 = 1,..., г») и потому является нульмерным дифференцируемым многообразием. Условие на ранг якобиевой матрицы функций г'„..., у'„означает, что некоторый ее минор порядка гп отличен от нуля в точке р. Предположим для опр еделенности, что дУ, дй д«1 '" ' дх (р) ~0. (2) дт' дг дж1 ''' дх Тогда, согласно теореме о неявной функции, в качестве параметров точки многообразия М в некоторой окрестности точки р, как и в случае системы линейных уравнений, могут быть взяты «свободные» неизвестные х „ ...,х„, через которые дифференцируемым образом выражаются «главные» неизвестные х„ ...,х„: х,=р(х „...,х), х =ь» (х„, „...,х„).

$ е ОпРеДеление и пРОстейшие свойства групп ли 503 Более точно, пусть р„ ..., р„ — координаты точки р. Тогда существуют такая окрестность У точки (р„ ..., р,„) в пространстве К" главных неизвестных и такая окрестность $' точки (р„, „ ..., р„) в пространстве К' свободных неизвестных, что пересечение М Г1(У х И) есть график дифференцируемого отображения 1о: И вЂ” Ег, задаваемого уравнениями (3), т.е. точка (х„..., х„, х,„., х„) е У х И принадлежит М тогда и только тогда, когда выполнены соотношения (3). Касательное пространство Т,(М) многообразия М, заданного уравнениями (1), в точке р е М состоит из векторов (ох„..., пх„) е К", удовлетворяющих системе однородных линейных уравнений, получающихся дифференцированием в точке р уравнений (1); ог",(р) = ~„—,'(р)йх, =0 (1 =1,,...

т). (4) 1=! 1 Заметим, что условие, налагаемое на ранг якобиевой матрицы функций У„ ..., Т„, равносильно тому, что размерность пространства решений системы (4) равна п — т. Иногда это удобнее для проверки упомянутого условия, чем непосредственное вычисление ранга якобиевой матрицы. Если выполнено условие (2), то в качестве свободных неизвестных системы (4) могут быть взяты их,,..., их„. Пространство Т,(М) может быть описано как совокупность всех касательных векторов кривых на многообразии М, проходящих через точку р. Отсюда, в частности, следует, что оно не зависит от выбора системы уравнений, задающих многообразие М в окрестности точки р. Подчеркнем, что мы понимаем касательное пространство Т,(М) как подпространство векторного пространства К", а не как параллельную ему плоскость, проходящую через точку р.

Определение 1. Линейной группой Ли называется всякая подгруппа С группы О „(К), являющаяся дифференцируемым многообразием в пространстве 1.„(К) всех матриц. Так как всякая подгруппа С с 61.„(К) инвариантна относительно умножений на свои элементы, являющихся линейными преобразованиями пространства 1„(Х), то условие, составляющее определение дифференцируемого многообразия, достаточно проверить в какой-либо одной точке группы С, например, в единице е.

Характеристики

Список файлов книги