1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Определение 1. Связная вещественная подгруппа Ли Н с С называется вещественной формой группы С, если Т(С) = Т(Н) Ю (Т(Н). ЗАмечАние 1. Это определение можно распространить на несвязные группы Ли, дополнительно потребовав, чтобы каждая связная компонента группы С пересекалась с Н. ПРимеР 2. Группа 51.„(1к) является вещественной формой группы Я.„(С). $4.
ЛИНЕЙНЕ4Е ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП ЛИ 521 ПРиь4ВР 3. Группа Я3„также является вещественной формой группы $1.„(С), а группа (1„— вещественной формой группы 01.„(С). Это следует из того, что всякая комплексная матрица единственным образом представляется в виде суммы косоэрмитовой и эрмитовой матриц, а пространство эрмитовых матриц получается из пространства косоэрмнтовых матриц умножением на 1. П РимЕР 4. Группа 50„является вещественной формой группы 50„(С) (которая, как можно доказать, связна).
Теорема 2. Пусть Н: С вЂ” 61.(г') — комплексное линейное предсгпавление связной комплексной группы Ли С, и пусть Н— вещественная форма группы С. Тогда набор инвариантных подпространсгпв для В(С) и для Н(Н) один и тот же. Доказательство. Согласно теореме 1, подпространство Н с ь' инвариантно относительно С (соответственно Н) тогда и только тогда, когда оно инвариантно относительно Т(С) (соответственно Т(Н)). Но так как аН(Т(С)) = ЙЙ(Т(Н)) + 1ЙН(Т(Н)), то инвариантность подпространства Н относительно Т(С) равносильна его инвариантности относительно Т(Н). П Этой теоремой можно воспользоваться, чтобы доказать полную приводимость линейных представлений некоторых комплексных групп Ли. Определение 2.
Связная комплексная группа Ли называется редуктивной, если она обладает компактной вещественной формой. Так, в силу приведенных выше примеров группы 01.„(С), 51.„(С) и 50„(С) редуктивны. Можно доказать (но это непросто), что всякая некоммутативная простая комплексная группа Ли редуктивна. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Более естественно в определении редуктивной группы не требовать связности: тогда в число редуктивных групп войдут все конечные группы. Из теоремы 2 и доказанной в ф 11.2 полной приводимости линейных представлений компактных групп немедленно вытекает Теорема 3.
Всякое линейное представление редукгпивной комплексной группы Ли вполне приводимо. Этот прием доказательства, принадлежащий Г. Вейлю, носит название «унитарный трюк«. С его помощью можно доказывать 522 Гл. (2. ГРУППЫ ЛИ и другие теоремы. Например, он позволяет распространить на редуктивные группы теорему Гильберта о конечной порожденности алгебр инвариантов, доказанную в Э 11.5 для компактных групп, Пользуясь изложенной выше теорией, найдем все неприводимые линейные представления группы Ли Ьйз(С).
Этот пример играет ключевую роль в теории линейных представлений произвольных простых групп Ли. Обозначим касательную алгебру Ли группы Я з(С) через з)з(С). Выберем в ней базис из матриц Ее=(О О) Е-=(! О) (2З) .=(о Непосредственно проверяется, что [Н,Е,[=2Е„, [Н, Е 1=-2Е, [Е„Е [=Н. (24) Пусть Н: Я.з(С) н И.()г) — какоето линейное представление. Положим ЕН(Н) =Н, ЕН(Е„) =Е, йн(Е ) =Е Операторы Н, Е, Е удовлетворяют соотношениям [Н,Е 1=2Е, [Н,Е 1=-2Е, [Е,Е 1=Н, вытекающим из соотношений (24). Лемма !. Если я — собственный вектор оператора 'Н с собственным значением Л, то вектор Е о (соответственно Е о), если он не раве~ нулю,— собственный вектор оператора 'Н с собственным значением Л е 2 (соответственно Л вЂ” 2). Доказательство. Имеем НЕ „о = Е Ни + [Н, Е [е = Л Е о Ч- 2Е о = (Л + 2)Е е. Аналогично доказывается, что НЕ е=(Л вЂ” 2)Е о.
0 оь = Еа яо (Ь = О, (, 2, ) По лемме! Н, =(Л, — 2й)оь. Лемма 3. Е,оь = сьо„о еде сь — — й(Ло — й+ !). Леыма 2. СУЩествцет собственный вектоР оо опеРатоРа Н, дла котоРого е ь=о. Доказательство. Так как оператор Н имеет лишь конечное число собственных значений, то существует такое его собственное значение Ло, что Ло+ 2 не является собственным значением. Соответствующий собственный вектор оо и будет искомым. С) Всякий такой вектор то называется сгпаршим вектором для представления Н Пусть ьо — старший вектор и Ло — соответствующее собственное значение оператора Н. Рассмотрим векторы $4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП ЛИ 523 Доказательство. Докажем эту формулу индукцией по й.
Она верна при й =О, если считать, что о ~ — — О. Предположим, что она верна для некоторого й. Тогда Е, иь 1 = Е Е оь = Е Е оь ч- (Е „, Е )оь = =сьЕ оь 1+Нее — — своз -1-(Ло — 2я)оь -— сь ~оь, где сь !=сь+Ло 2ь=(ья 1)Ло — 22 — )с=(А+1)(Ло — й). П Так как собственные векторы оператора 'Н, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы, то существует такое и, что векторы тб, ои оз,... ..., о„отличны от нуля и линейно независимы, а о„, ~ — — О. Из леммы 3 следует тогда, что с „1=0, т.е. Ло=п.
Далее, как следует иэ доказанных формул, линейная оболочка векторов ьо,оы ог,..., о„ инвариантна относительно операторов Н, Ее, Е и, значит, относительно всей алгебры з1 (С). Если представление Ь' неприводимо, то "=(о "1. (25) и операторы Н, Ет, Е задаются в базисе (оо, оы ..,, о„) формулами (26) (27) (28) Ноь = (и 2ь)оь, Е оь=й(п йя 1)оь 1 Е иь —— оь я=(' ) ЕЯ. (О) действует по формулам ( == рх = ах -1- су, яр = Ьх+ Еу.
(29) Это действие индуцирует линейное действие группы Я-~(С) в пространстве Е" (С~). Если рассматривать а и р как координаты в сопряженном пространстве (С )", а 2 если условиться, что о 1 — — о„е ~ —— О. Число и называется слгаршим весом представления Л. Формулы (26)-(28) показывают, что неприводимое представление группы 5 (С) полностью определяется своим старшим весом.
'Ъ братно, если выполнено условие (25), то представление Л неприводимо. В самом деле, всякое ненулевое инвариантное подпространство инвариантно, в част. ности, относительно оператора Н и, следовательно, является линейной оболочкой каких.то из его собственных векторов кщ ии..., о„. Но, будучи инвариантным также относительно операторов Еь и Е, ойо должно содержать все эти векторы, т.е. сознавать с И. Остается вопрос о существовании неприводимого представления с заданным старшим весом. Можно проверить прямым вычислением, что операторы 'Н, Еь, Е , определяемые формулами (26)-(28), задают линейное представление алгебры Ли а12(С), и затем, пользуясь обшей теоремой, которой не было в данном курсе, доказать существование линейного представления группы 51 (С), имеющего своим дифференциалом это представление. Мы поступим иначе, а именно, построим нужное представление явно.
Будем считать, что группа Я2(С) тавтологически действует в пространстве С 2 с базисом (х, рг, т.е. элемент 5224 Гл. 12. ГРУППЫ ЛИ симметрическую алгебру пространства Сз отождествить с алгеброй многочленов на (Сз)* (см. 48.3), то элементы пространства ли(Сз) будут однородными многочленами степени и от х и у или, как говорят, бинарными формами степени и, а действие группы 51з(С) можно будет понимать как линейную замену переменных по формулам (29).
Полученное таким образом линейное представление обозначим через Н„. Согласно определению, (Ни (у)!')(х, у) = )(ах + су, Ьх т бу) для любой бинарной формы 7' степени и. Вычислим дифференциал представления Ли. Положим г(Н„(Н)=Х, ЙН(Е )=Е, йЛ(Е )=Е . Принимая во внимание, что ехр тН = ( 0 ~ ), ехр тЕи = (О 1), ехр тЕ = ( ! 01) получаем для бинарной формы 7 б Е" (С ) (Х/)(х, у) = — це х, с у)~ = х-~-'-р) — у — (-ьу), (Еи))(х, у) = — „т У(х, у+ тх)~ = х — Ц-"-), (Е У)(*, ) = ~н* ! )),, = -'~(-*.У~.
В частности, дЛЯ Уо = х" ХУΠ— — пУо, Е Го=о т.е. уо является старшим вектором представления Н„ с собственным значением и. При этом !' (Е), '""п-)( (~Е) если и нечетно, если и четно. 3АдАчА 6. Описать неприводимме линейные представления группы ли 5Оз(с). ЗАДАЧА 7. Описать неприводимые комплексные линейные представления групп Ли 50з и 50з ! .уь = ЕА Уо = п(п — 1)...
(и — А +! )х" "У", так что формы уо, Уы .. и Г„составляют базис пространства Еи(Сз). Следовательно, Ни — неприводймое представление со старшим весом и. Одновременно мы доказали, что всякое непризодимое линейное представление алгебры Ли з1з(С) является дифференциалом некоторого (неприводимого) линейного представления группы Зйт(С).
Полученные результаты дают также описание неприводимых комплексных линейных представлении групп Ли 5йз(В) и 5Оз, являющихся вещественными формами группы Ят(С). В самом деле, если Н вЂ” вещественная форма группы 50з(С) и ЕП Н и ОВ(Р) — ее неприводимое комплексное линейное представление, то представление ИЕ алгебры Ли Т(Н) однозначно продолжается до линейного представления алгебры Ли з!з(С), которое по доказанному выше является дифференциалом некоторого линейного представления группы Я.з(С), Отсюда следует, что неприводимые комплексные линейные представления группы Н вЂ” это в точности ограничения на Н неприводимых линейных представлений группы 5(я(С).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
