1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 93
Текст из файла (страница 93)
(Единицей линейной группы является единичная матрица Е.) 504 Гл. !2. ГРУППЫ ЛИ ЗАДАЧА 1. Если С вЂ” линейная группа Ли, то ос бе! д = !г с(д = О, задающее (и' — !)-мерное пространство матриц с нулевым следом. В $6.5 мы дали определение производной матричной функции одной переменной. Точно так же определяются частные производные матричной функции нескольких переменных. Определим дифференциал матричной функции Ф= Ф(х„...,х„) по формуле Переходя к матричным элементам, легко доказать формулы с1(Ф+!Р) = с(Ф+ с1!Р, с((ФФ) = (с(Ф)чс+ Ф(с(!Р).
(5) (6) Используя последнюю формулу для вычисления дифференциала с((ФФ '), равного нулю, находим: с1(Ф ') = — Ф с(с(Ф)Ф '. ПРимиР 3. Группа 0„(К) задается матричным уравнением ддт = я, которое ввиду очевидной симметрии можно рассматривать как систему — уравнений относительно матричных элемень!сс + !1 2 тов. Дифференцируя в единице это уравнение, получаем линейное уравнение сс(99 )=ссд+(с(9) =О, задающее -( †-с-мерное пространство кососимметрических ма- 2 триц. Так как 2 ~(~ + !~ ~(~ !,) тс 2 = 2 Т,(С) = Т,(С)9 дая любой матрицы д е С. В дальнейшем под группами Ли мы понимаем именно линейные группы Ли, а касательное пространство группы Ли С в единице обозначаем просто с'(С). П РимкР 1. Сама группа О1.„(К), будучи открытым подмножеством пространства 1.
(К), является и'-мерной группой Ли. ПРимиР 2. Группа 51.„(К) является (и' — 1)-мерной группой Ли. Действительно, дифференцируя в единице задающее ее уравнение с(е! д = 1, получаем линейное уравнение з!. ОпРеделение и пРОстейшие сВОЙстВА ГРУпп ли 505 то 0„(К) есть -(- — )-мерная группа Ли. Заметим, что группу 0,(1к) обычно обозначают просто через 0„. ПРимеР 4.
Группа В„(К) невырожденных треугольных матриц, будучи открытым подмножеством в пространстве всех треугольных матриц, является -1 — ~ -мерной группой Ли, 2 ПРиыеР 5. Всякая дискретная (в частности, конечная) подгруппа группы Я..(К) является нульмерной группой Ли. Мы будем также рассматривать вещественные группы Ли, состоящие из комплексных матриц, понимая под этим такие подгруппы группы 01.„(С), которые являются дифференцируемымн многообразиями в пространстве 1„(С), рассматриваемом как 2п'-мерное вещественное пространство.
П РиыеР 6. Группа ()„задается в 1„(С) матричным уравнением (7) (где д* = дт). Это уравнение можно рассматривать как систему пз вещественных уравнений относительно вещественных и мнимых частей элементов хн матрицы д: 2'(х,.„~!=1 (1=1,...,п), Йе2 хах,.„=!пт~ х,х,, =О (!,,!'=1,..., и; 1 <2). Дифференцируя в единице уравнение (7), получаем линейное уравнение Ыд+ (!(д)* =О, задающее п'-мерное пространство косоэрмитовых матриц. Так как 2п~ — и' = и', то 1)„есть пз-мерная вещественная группа Ли.
ПРИМЕР 7. Группа Я)„=1)„Г!Я.„(С) является (и' — 1)-мерной вещественной группой Ли (докажите это). Ее касательное пространство в единице состоит из косоэрмитовых матриц с нулевым следом. Предложение 1. Всякая группа Ли С с 0 „(К) замкнута в Ж„(К). Д о к а з а т е л ь с т в о, Пусть С вЂ” замыкание группы С в 0Е„(К).
Из соображений непрерывности следует, что С вЂ” подгруппа, а из определения дифференцируемого многообразия — что С открыта в С. Пусть теперь д е С. Тогда смежный класс дС открыт в С и, следовательно, пересекается с С; но это значит, что дС = С и, в частности, д е С. П 506 Гл. 12. ГРУППЫ ЛИ Основной метод теории групп Ли состоит в переходе от рассмотрения группы С к рассмотрению ее касательного пространства Т,(С) = Т(С) (которое, как мы увидим, имеет структуру алгебры).
Однако если, например, группа С дискретна, то ее касательное пространство равно нулю и не несет никакой информации о структуре группы С. В общем случае группа Ли достаточно хорошо контролируется своим касательным пространством в единице, только если она связна. Напомним, что топологическое пространство называется связным, если его нельзя представить в виде объединения двух непересекающихся собственных замкнутых подмножеств. Объединение двух пересекающихся связных подмножеств топологического пространства М связно. Отсюда следует, что отношение «х у, если х и у содержатся в некотором связном подмножестве» является отношением эквивалентности на М. Классы этой эквивалентности называются связными компонентами пространства М.
Если М вЂ” дифференцнруемое многообразие, то у каждой его точки есть связная окрестность (например, гомеоморфная шару). Отсюда следует, что связные компоненты многообразия М открыты в М. В то же время они замкнуты в М, так как каждая из них есть дополнение к объединению остальных. Связную компоненту группы Ли С, содержащую единицу, обозначим через С'. Предложение 2. С' — нормальная подгруппа группы С, а прочие связные компоненты суть смежные классы по С'. Д о к а з а т е л ь с т в о. Умножение слева илн справа на любой элемент д е С является гомеоморфизмом топологического пространства С на себя и потому может только переставлять его связные компоненты. Следовательно, дС = С'д есть связная компонента, содержащая д. В частности, если д е С', то дС = С'.
Это означает, что С' замкнута относительно умножения. Аналогично, инверсия является гомеоморфизмом топологнческого пространства С на себя и может только переставлять его связные компоненты. Так как (С') ' содержит единицу, то (С') ' = С . Таким образом, С' — подгруппа. Все остальное уже доказано выше. П ПРИмкР 8. Докажем, что группа 51„(К) связна. При фиксированных различных «, З' матрицы вида Е + сЕ, (с е К) образуют связное подмножество, содержащее единицу. Следовательно, все элементарные матрицы 1-го типа принадлежат 51.„(К) .
Но мы знаем (см. $10.2), что они порождают группу 5Е„(К). Следовательно, Я.„(К) =Я „(К). з к опрвдвлвнив и гп оствйшив свойствА ГРУПП ЛИ 507 ПрНАГВр 9. Аналогичным образом доказывается (проделайте это!), что группа Ж„(С) связна, а группа 61„(!!1) состоит из двух связных компонент, одна из которых есть группа матриц с положительным определителем. П римвр 10. Докажем, что группа О„состоит из двух связных компонент, одна из которых есть 50„(а другая состоит из ортогональных матриц с определителем — 1).
Пусть п = 2гп или 2гп+ 1. Ортогональные матрицы вида П(р,) О (ип, з е !й), (8) П(р ) О (1) где клетка первого порядка, заключенная в скобки, присутствует, если и = 2гп + 1, образуют связное подмножество (гомеоморфное прямому произведению гп окружностей, т.е. гп-мерному тору). Так как это подмножество содержит единицу, то оно целиком содержится в 0'„.
Но мы знаем (см. $6.3), что всякая матрица из 50„сопряжена в О„матрице вида (8). Следовательно, 0'„з БО„. С другой стороны, так как О„есть объединение двух смежных классов по 50„, каждый из которых, очевидно, замкнут, то 0'„= 50„. Примни 11. Аналогичным образом доказывается, что группы 13„и Я3„связны. ЗАДАЧА 2. Доказать, что группа Лоренца 50, состоит из двух связных компонент, причем 50„л есть подгруппа, образованная теми преобразованиями, которые оставляют на месте каждую из двух связных компонент гиперболоида л'+ + л' — х' = — 1 (Указание: доказать, что всякое преобразование из группы 30 оставляющее на месте каждую связную компоненту указанного гиперболоида, есть произведение гиперболического поворота в двумерном подпространстве, содержащем базисный вектор е„ и преобразования из группы $0„(оставляющего на месте вектор е„,).) Предложение 3.
Связная группа Ли порождается любой своей окрестностью единицы. До к а з а тел ь от в о. Пусть П вЂ” окрестность единицы группы Ли С. Обозначим через С порожденную ею подгруппу. Для любого 508 Гл. 12, ГРУППЫ ЛИ д е С подмножество дУ, являющееся окрестностью элемента д в С, содержится в смежном классе дС. Это показывает, что все смежные классы группы С по С открыты в С. В то же время они замкнуты в С, так как каждый из ннх есть дополнение к объединению остальных. Следовательно, если группа С связна, то имеется только один смежный класс, т. е. С = С. 1З Злмичлйик 2.
Мы избрали в этой главе матричный язык. Однако ясно, что вместо матриц можно было бы говорить об определяемых ими линейных преобразованиях. Так, можно говорить о группе Ли О1.(Ъ') невырожденных линейных преобразований п-мерного векторного пространства )г над полем К, о группе Ли О(Ъ') ортогональных преобразований и-мерного евклидова пространства Ъ' и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
