1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Его дифференциал в единице обозначается через Аг((д) и называется присоединенным оператором элемента д е С, Оператор Ад(д) задается такой же формулой, что и а(д): Аб(д)Х = дХд ' (Х с Т(С)). Так как а(ху) = а(х)а(у), то Аб(ху) = Ад(х)Аб(у). $3. КАСАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА ЛИ 515 (Впрочем, это легко проверить и непосредственно.) Далее, если д =(дв), д ' =(д„), Х =(хв), то Аб(д)Х =(у,), где ув=~ д, х„дь. (20) ь! В качестве координат в пространстве Т(С) могут быть взяты какие-то нз матричных элементов; при этом остальные матричные элементы будут через них линейно выражаться.
Формула (20) показывает, что матричные элементы оператора Ад(д) являются рациональными и, следовательно, дифференцируемыми функциями от элементов матрицы д. Таким образом, отображение Аб: С- 61.(Т(С)) является линейным представлением группы Ли С в пространстве Т(С). Оно называется присоединенным представлением группы С.
ЗАдАчА 1. Доказать, что если Г: С вЂ” Н вЂ” гомоморфизм групп Ли, то Г(Ад(д)Х) = Ад(1(д))~Ц(Х) (д е С, Х С Т(С)). ЗАДАЧА 2. Доказать, что ядро присоединенного представления связной группы Ли — это ее центр. Гомоморфизм алгебры Лн х, в алгебру Ли 1.(Ъ') линейных преобразований векторного пространства Ъ' (относительно операции коммутирования) называется линейным представлением алгебры Т (как алгебры Ли) в пространстве 1'. Согласно теореме 2, дифференциал линейного представления группы Ли С является линейным представлением ее касательной алгебры Ли Т(С).
Дифференциал присоединенного представления Ад группы Ли С называется присоединенным представлением алгебры Ли Т(С) и обозначается символом ай . Теорема 3. аб(А)Х =1А, Х] (А,Х с Т(С)). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть д(с) — кривая в группе С, удовлетворяющая условиям (11). Тогда ас1(А) = — „" Ас$(д(й))( Следовательно, для любого Х е Т(С) ад(А)Х = — Аб(д(г))Х! = уд(й)Хд(т) '! = АХ вЂ” ХА =(А, Х). С) 516 Гл. 12. ГРУППЫ ЛИ Тот факт, что ад есть линейное представление алгебры Т(С), означает, что ад([А, В]) = [ад(А), ад(В)] или, ввиду доказанной теоремы, что ЦА, В), С) = [А, [В, С]] — [В, [А, С]! для любых А, В, С е Т(С). Последнее тождество равносильна тождеству Якоби.
Полученный результат можно рассматривать как концептуальное (т.е. основанное на понимании существа дела, а не на простом вычислении) доказательство тождества Якоби для операции коммутирования матриц, С другой стороны, приведенное выше рассуждение подсказывает возможность определения присоединенного представления ад любой алгебры Ли В (не обязательно связанной с какой-либо группой Ли) по формуле ад(а)х = [а, х] (а, х е В). ПРнмяР 3. Присоединенное представление алгебры Ли (К~, х) определяется по формуле ад(а)х = а х х.
Из кососимметричности смешанного произведения (а, Ь, с) = (а х х Ь, с) следует, что оператор ад(а) кососимметричен. Тем самым определяется гомоморфизм алгебры Ли (Ез, х) в алгебру Ли Т(50 ) кососимметричных матриц 3-го порядка. Легко видеть, что ядро этого гомоморфизма тривиально. Так как обе алгебры трехмерны, то построенный гомоморфизм является изоморфизмом. ЗАДАЧА 3. Выписать матрицы присоединенных операторов векторов ортонормированного базиса пространства Ез в этом же базисе. ЗАДАЧА 4. Доказать, что для любых матриц А,Х е 1.„(К) справедливо равенство (ехр А)Х(ехр А) ' = 2„—,,[А, [А,..., [А, Х)...]]. ЗАДАЧА 5.
Иентром алгебры Ли В называется подалгебра Я(Т)=(зеВ: [з,и)=0 тиеВ). Доказать, что центр связной группы Ли С есть группа Ли, касательная алгебра которой совпадает с центром алгебры Ли Т(С). (Указание: воспользоваться задачами 2 и 2.1.) 517 $ 3. КАСАТЕЛЪНАЯ АЛГЕБРА ЛИ П ЕИмЕЕ 4. Рассмотрим присоединенное представление группы Ли 5Ц. Алгебра Ли Т(5Из) состоит из косоэрмитовых матриц с нулевым следом, т.е. матриц вида (21) — х + гх — схс Заметим, что с(е1 Х = х,' + х,'+ х,'. Следовательно, с(е1Х вЂ” положительно определенная квадратичная функция в пространстве Т(Я),).
Приняв ее за скалярный квадрат, будем рассматривать Т(5Ц) как (трехмерное) евклндово пространство. Так как с(е1Ас1(д)Х = с(е1дХд ' = с(е1 Х, то присоединенные операторы элементов группы 3Ц ортогональны, т.е. Ас((ЗЦ) с О,. Так как группа Я3, связна, то и ее образ связен и, значит, Ас((ЗЩс 3О,. Далее, КегАб состоит из матриц, коммутирующих со всеми матрицами вида (21). Пользуясь тем, что всякая матрица, коммутирующая с матрицей ' .
, диагональна, легко доказать, что ~0 — Е КегАс( = (хЕ). Аналогично доказывается, что Кегас( = О. Так как йсп3Ц = = йт$0, = 3, то 1тас1 = Т(30,), и из теорем 2.3 н 2.1 и предложения 1.3 следует, что Ас((Я),) = 50,. Таким образом, присоединенное представление осуществляет гомоморфизм группы 5Ц на группу 50, с ядром (хЛ). Отметим, что группа Я), состоит из матриц вида и совпадает с группой кватернионов с нормой 1 в матричной модели алгебры Б (см.
задачу 1.9.4). Таким образом группа Я), представляет собой (трехмерную) сферу в 4-мерном евклидовом пространстве Б. Группа 30з получается из нее отождествлением диаметрально противоположных точек и тем самым представляет собой 3-мерное вещественное проективное пространство. 5!8 Гл. 12. ГРУППЫ ЛИ Пространство Т(Я),) совпадает с пространством чисто мнимых кватернионов. ЗАДАЧА б.
Рассуждая аналогичным образом, доказать, что присоединенное представление осуществляет гомоморфизм группы 81.,(К) иа связную компоненту группы 80,, (см. задачу 1.2) с ядром (~Е). ЗАДАЧА?. Доказать, что присоединенное представление осуществляет гомоморфизм группы ЯЕ,(С) на группу 50,(С) с ядром (+ ) ф 4. Линейные представления групп Ли Линейные представления групп Ли весьма хорошо изучены, но мы здесь имеем возможность рассказать лишь о некоторых начальных идеях этой теории. Основная из них состоит в том, чтобы заменять изучение линейных представлений групп Ли изучением линейных представлений их касательных алгебр Ли. Пусть С вЂ” какая-то группа Ли и В: С вЂ” ~ И.(г') — какое-то ее (конечномерное) линейное представление.
Тогда ~И: Т(С) — 1.(Ъ') есть линейное представление алгебры Ли Т(С). Теорема 1. Всякое надпространство ст С )г, инвариантное относительно С, инвариантно относительно Т(С). Если группа С связно, то верно и обратное: всякое подпространство, инвариантное относительно Т(С), инвариантно также относительно С. Доказательство. 1) Пусть подпространство Ег инвариантно относительно С, и пусть А Е Т(С).
Возьмем кривую д(т) в С, удовлетворяющую условиям (11). Тогда ГИ(А) = и В(д(т))! и, следовательно, для любого вектора и Е У сИ(А)и = щВ(д(Г))и~ Е У. $4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП ЛИ 519 2) Обратно, пусть Н инвариантно относительно Т(С). По теореме 2.3 для любого А Е Т(С) А(ехр А) = ехр дА(А) и, следовательно, для любого и Е (Г А(ехр А)и = ~ — „, йА(А)ь и е Н Ьг а Таким образом, надпространство (Г инвариантно относительно ехр Т( С). Если группа С связна, то отсюда следует, что оно инвариантно относительно всей группы С.
П Таким образом, если группа С связна, то набор инвариантных подпространств для представления А группы С и для представления дА алгебры Т(С) один и тот же. Следствие. Линейное представление А связной группы Ли С неприводимо (соответственно вполне приводимо) тогда и только тогда, когда представление аА алгебры Ли Т(С) неприводимо (соответственно вполне приводимо).
ЗАДАЧА 1. Пусть С вЂ” связная группа Ли и Н вЂ” ее связная подгруппа Ли. Доказать эквивалентность следующих условий: 1) Н вЂ” нормальная подгруппа группы С; 2) подпространство Т(Н) инвариантно относительно присоединенного представления группы С; 3) Т(Н) — идеал алгебры Т(С). Связная группа Ли называется простой, если она не содержит нетривиальных связных нормальных подгрупп Ли. Алгебра Ли называется простой, если она не содержит нетривиальных идеалов. ЗАДАЧА 2. Доказать, что если касательная алгебра связной группы Ли С проста, то и группа С проста (как группа Ли).
(На самом деле верно и обратное.) 3 А ДАчА 3. Доказать, что группа Ли 504 проста. (На самом деле группа 3Оз не имеет никаких нетривиальных нормальных подгрупп. См. $10.5 ) Классификация простых групп Ли имеет для теории групп Ли такое же значение, какое имеет классификация простых конечных групп для теории конечных групп. Она была получена в конце прошлого — начале нынешнего века В. Киллингом и Э. Картаном (сначала для комплексных групп Ли, затем для вещественных).
Это одно из самых поразительных достижений математики. 520 Гл. 12. ГРУППЫ ЛИ Можно докзать, что группа Ли 50„проста при любом и > 5, Однако группа Ли 80,, как вытекает из следующего примера ниже, простой не является. ПРИтЕР 1. Как мы видели в примере 3.4, группа Я)з может быть интерпретирована как группа кватернионов с нормой 1. Рассмотрим линейное представление Н группы Ли С = 5Пз х Я), в пространстве Н, определяемое по формуле Н(р, д)х=рхд ' (х6Н). Так как Н(рхд ') = Уд(р))д(х)уд(д) ' = Х(х) при р, д Е Я),, то Н(С) С О,. Из соображений связности следует, что Н(С) С 50„. Тем самым определен гомоморфизм Уу: 5()з х 5Пз 50,. Если (р, д) е КегН, то, в частности, Н(р, д)1 = рд ' = 1, откуда р = д. Далее, как и в примере 3.4, получаем, что р = д = х1.
Так как йщ С = йгп 5О4 — — б, то отсюда следует, что Ус(С) = 50„. Таким образом, ЬО (ЯЗ хя) )/((Е,Е),(Е,— Е)). В частности, каждый из множителей произведения ЯЗ х Я) при гомоморфизме Н переходит в связную нормальную подгруппу Ли группы 50, и, следовательно, группа 50, не является простой группой Ли. ЗАДАЧА 4. Доказать, что группа Ли 51.„(К) проста при любом и > 2. Комплексные и вещественные группы Ли находятся в тесной связи. Пусть С вЂ” связная комплексная группа Ли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
