1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Если он равен нулю при всех значениях переменных в поле К, то он является нулевым многочленом и, следовательно, равен нулю и при всех значениях переменных в любом расширении Р поля К, а это, в свою очередь, означает, что алгебра Ь(Р) не порождается над Р одним элементом. Однако если Ь расщепляется над Р, то легко доказать, что алгебра Ь(Р) порождается одним элементом. В самом деле, рассмотрим =( „..., „(елл "лл ° р. - .р л с(„ ...,а„ е Р.
Тогда определитель, составленный из координат элементов 1,(т, с(л,...,(т" ', есть определитель Вандермонда для а„ ...,а„ и, значит, отличен от нуля.П Обратимся теперь к изучению некоммутативных конечномерных алгебр с делением. Очевидно, что всякая алгебра с делением является простой. Пусть Р— центральная конечномерная алгебра с делением над полем К. 493 $6.
АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ Предложение 2. Алгебра Р остается простой при переходе к любому расширению Р поля К. Доказательство. Пусть 1 С Р(Р) — ненулевой идеал. Рассмотрим самую короткую линейную комбинацию вида а= 2 Л,а,. (Л,. Е Р, а, Е Р), принадлежащую 1 и отличную от нуля. Очевидно, что а„..., а„ линейно независимы над К, так как иначе число слагаемых можно было бы сократить. Точно так же, Л„..., Л, линейно независимы над К, Домножив элемент а на а,' (с любой стороны), что не выведет нас за пределы идеала 1, добьемся того, чтобы а, = 1.
Если при этом г > 1, то а 1г К = Х(Р) и, значит, существует такой элемент с Е Р', что са ф а с. Имеем а — сас = 2, Л,.(а, — са,.с )Е1, причем а — сас ' ~0, так как Л„..., Л, линейно независимы над К, а а — са с ' ФО. Это противоречит определению элемента а. Следовательно, в = 1; но тогда 1 э 1 и, значит, 1 = Р(Р). С1 Теорема 2. Существует такое конечное расширение Р поля К, что Р(Р) Е„(Р) для некоторого и е )ч), Следствие. с1пп Р = пз.
Число п называется степенью алгебры Р и обозначается через дед Р. Так, степень алгебры кватернионов равна 2. Доказательство теоремы 2. Пусть К вЂ” максимальное алгебраическое расширение поля К. (Существование такого расширения доказывается при помощи леммы Цорна.) Это алгебраически замкнутое поле, называемое алгебраическим замыканием поли К. По теореме 3.4 для некоторого и Е М. Пусть ев Е Р(К) — элементы, соответствующие при этом изоморфнзме матричным единицам, и Р С К— подполе, порожденное над К координатами всех этих элементов в каком-либо базисе алгебры Р(К), составленном из элементов алгебры Р.
Очевидно, что Р— конечное расширение поля К и Р(Р) 1„(Р). П 494 Гк ~ Е ЛИНЕИНЫЕ ПРЕЛСТАВЛЕНИЯ И АССОПИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЪ| Если Р Э К вЂ” такое расширение, что Р(Р) = 1.„(Р), то говорят, что алгебра Р раси(валяется над Р. ПРимЕР!. Алгебра кватернионов В(а, д) расщепляется над полем Р = К(~/а, ф3). Важную информацию об алгебре В доставляет изучение ее максимальных коммутативных подалгебр или, что то же, максимальных подполей. Теорема 3. Всякое максимальное подполе Р алгебры .0 имеет размерность и над К. Всякий изоморфизм максимальных подполей продолжается до внутреннего автоморфизма алгебры .О. (Не утверждается, что все максимальные подполя изоморфны.) Доказательство.
Заметим, прежде всего, что если Р— максимальная коммутативная подалгебра в П и Р†люб расширение поля К, то Р(Р) — максимальная коммутативная подалгебра в П(Р). В самом деле, условие максимальности означает, что Р совпадает со своим централизатором Яо(Р)=~хЕР: ах=ха ЧаЕР), а это эквивалентно тому, что б1ш Яо(Г) = б1ш Р Но в координатах определение централизатора записывается как система однородных линейных уравнений с коэффициентами из К, а размерность пространства решений любой системы однородных линейных уравнений не меняется при расширении поля. Пусть теперь К вЂ” алгебраическое замыкание поля К.
Тогда В(К) =(.ъ(К) и т где гп = йшР. Последнее означает, что в Г(К) имеется такой базис (е„..., е ), что ез=еь ь! е,.ет =О при ь' ф~'. Если рассматривать алгебру ).„(К) как алгебру линейных операторов, то элементам е„..., е„будут соответствовать попарно коммутирующие проекторы. В подходящем базисе эти проекторы одновременно записываются диагональными матрицами.
495 4 б. АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ Отождествим алгебру Р(К) с 1.„(К) при помощи какого-либо фиксированного изоморфизма. Тогда из сказанного выше следует, что существует такой элемент с Е Р(К)*, что сг (Л )с ' состоит из диагональных матриц. Но так как сГ(К)с ' — максимальная коммутативная подалгебра, то она совпадает с подалгеброй всех диагональных матриц.
Следовательно, т = и, что доказывает первое утверждение теоремы. Пусть теперь Р;, Р,' с Р— две максимальные коммутативные подалгебры и р; с;:- г; — какой-либо изоморфизм. Тогда ~о продолжается до изоморфизма Из предыдущего следует, что существует такой элемент с е Р(Л)*, что сР',(К)с ' =.Р;(К). Более того, так как всякий автоморфизм алгебры диагональных матриц есть просто перестановка диагональных элементов и, следовательно, индуцируется внутренним автоморфизмом алгебры 1.„(Л ) = Р(К), мы.
можем считать, что сас ' = ~р(а) при а Е г;(К). (44) Нам нужно доказать существование такого ненулевого элемента х Е Р, что хах ' = р(а) при аЕ У, или, что равносильно, ха= р(а)х ЧаЕ го В координатах эти условия записываются как система однородных линейных уравнений с коэффициентами из Л.
Из (44) следует, что эта система имеет ненулевое решение в К; но тогда она имеет ненулевое решение и в К. П Применим развитую теорию к описанию конечномерных алгебр с делением над полем К и над конечными полями, Теорема 4 (теорема Фробениуса). Всякая конечномерная алгебра с делением Р над полем К изоморфна либо К, либо С, либо Н. Доказательство. Центр Я(Р) алгебры Р, будучи конечным расширением поля К, изоморфен либо К, либо С. Во втором случае Р можно рассматривать как алгебру над С и, поскольку поле С алгебраически замкнуто, Р = С.
Пусть теперь В(Р) = К, т. е. Р— центральная алгебра. Так как всякое максимальное подполе алгебры Р изоморфно К или С, то дед Р = 1 или 2. В первом случае Р = К. Рассмотрим второй случай, когда Р(С) =1 (С). 496 Гл. !!. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕЛСТАВЛЕНИЯ И АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ Отождествим Р(С) с Е,(С) при помощи какого-либо изоморфизма. Каноническое скалярное умножение в 1 (С) имеет вид (Х, У) = 2!г ХУ, но нам удобнее нормировать его так, чтобы (Х, У) = -!г ХУ и, в частности, (Е, Е) = 1. Пусть Рл — ортогональное дополнение к !к в Р.
Тогда Рл(С) = (Х Е 1,(С): !г Х = О). Легко видеть, что если Х Е Рл(С), то Х' = ЛЕ (А Е С). Более точно, Х = й(1г Х )Е = (Х, Х)Е. Следовательно, для любого х Е Р, имеем х~ =(х, х) ЕЖ, причем (х, х) с О, иначе подалгебра Ж[х] не была бы полем. Таким образом, скалярное умножение на Р, отрицательно определенно. Пусть г, ~' е Р— два ортогональных элемента, скалярные квадраты которых равны — 1.
Тогда !2 ~2 (г + !)л =(г +~', Г+ !) = — 2, Г! + !1 =(4 + !) — г~ — !~ =О, так что Г и ! удовлетворяют определяютцим соотношениям алгебры кватернионов Р( — 1, — 1) = Б. Следовательно, существует нетривиальный гомоморфизм р: И- Р. Так как алгебра Н проста и б!ш Н =б!ш Р, то р — изоморфизм. С) Теорема 5 (теорема Веддерберна).
Всякое конечное тело коммутативно, т.е. является полем. Доказательство. Пусть Р— конечное тело и К вЂ” его центр. Тогда Р есть конечномерная центральная алгебра над К. Из первого утверждения теоремы 3 следует, что все максимальные подполя тела Р содержат одно и то же число элементов и, значит, изоморфны, а из второго — что все они получаются друг из друга внутренними автоморфизмами тела Р, Кроме того, всякий элемент а тела Р содержится в подполе К(ст) и, следовательно, в каком-то максимальном подполе.
497 $ б. АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ Пусть г — какое-либо максимальное подполе тела Х). Из предыдущего следует, что группа В* покрывается подгруппами, сопряженными г'*. Число таких подгрупп равно (!)*: )т(Г*)) и, во всяком случае, не превосходит (Р':Г'~. Следовательно, !.0*! < ! р"!!))*: р") = !)-')*! Однако равенство невозможно хотя бы потому, что все эти подгруппы содержат единицу. Единственным исключением является тривиальный случай, когда ).т'= г ' и, значит, П =Р(ьаК). С) В отличие от поля !к и конечных полей, над многими другими полями, например над полем Я, существуют центральные алгебры с делением любой степени.
пример 2. пусть Р =Я(а), где Р— корень неприаодимого многочлена У та 3!1 Дискриминант многочлена у равен 81 = 9т; следовательно, Р— расширение Галуа степени 3 поля Я (см. пример 10.б.4). Пусть а — порождающий элемент группы Ста! ГЯ. Рассмотрим формальные выражения вида (45) ао -1- а! а -1. ах а (ао, а!, ат е Г). Определим их умножение, руководствуясь правилами дистрибутивностн и ассоциа- тивности и соотношениями аа = 2, эа= а(а)э (аа Р). Мы получим некоторую 9-мериую некоммутативную алгебру Р над (), содержащую поле Р в качестве подалгебры. Докажем, что Р— алгебра с делением. Алгебра Р может быть представлена матрицами 3-го порю~ха над полем А.
А именно, поставив в соответствие каждому элементу ае Р матрицу )а О О Т(а) = О а(а) О О О ат(а) мы получим вложение поля Р в Еэ(Р) в виде Я-подалгебры. Далее, рассмотрим матрицу 8= О О ! Легко проверить, что Яэ = 2Е, БТ(а) = Т(а(а))8. Следовательно, матрицы вида ао Т(а ) ч- Т(а!)Я.~- Т(о )Бв = 2а(ат) а(ао) а(а!) (46) 2ое(а!) 2ат(ат) ат(ао) 493 Гл. 11. ЛИНЕйНЪ|Е ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И АССОПИАТИБНЪ|Е АЛГЕБРЪ| (ао, а!, аз 6 Р) образуют Сьподалгебру алгебры Ъз(Р), изоморфную О. Она состоит из всех матриц А 6 'ьз(Р), удовлетворяющих условию ЯАЯ ' = э(А), (47) где о(А) обозначает матрицу, получаемую применением э ко всем элементам матрицы А.
Очевидно, что если матрица А, удовлетворяющая условию (47), невырожденна, то матрица А ! также удовлетворяет условию (47). Поэтому для доказательства того, что Р— алгебра с делением, достаточно проверить, что всякая ненулевая матрица вида (46) невырожденна. Для доказательства последнего факта мы применим редукцию по модулю 2. Пусть 0 — кольцо целых чисел поля Р.
Очевидно, что О инвариантно относительно группы Сга! Р/(), так что если а 6 О, то Т(а| 6 |.з(0). Далее, О содержит подкольцо Х[В] = (ьо -1- и! В ч изВз: ио, и|, мт 6 Х). Так как многочлен [/]з — — т -)- ! -!- 1 6 Ха[!] неприводим над Хз, то факторкольцо Х[В]/2Х[В] = Х,[!]/[/],Х,[!] есть поле из 8 элементов, Имеется естественный гомоморфизм (48) Х[В]/2Х[В] О/20.
Так как алдитивная группа кольца О изоморфна Хз, то [О/20[ = 8. Отсюда следует, что гомоморфизм (48) есть иа самом деле изоморфизм, так что кольцо О/20 также является полем. Путем умножения элемента (45) алгебры О на подходящее рациональное число можно добиться того, чтобы все числа ао,а|,аз принадлежали О, но хотя бы одно из них не принадлежало 20. Если при этом ао 6 20, но а! б 20, то умножением на з ' = зт/2 мы добьемся тога, чтобы ао 6 20.
Если ав, а, а 20, но оз 4 20, то мы получим тот же результат умножением на э з = э/2. Таким образом, достаточно доказать обратимость элементов (45) алгебры )7, для которых ао, а!, аз 6 О, ао 6 20. При этих условиях все элементы матрицы (46) принадлежат 0 и ее редукция по модулю 2 есть строго треугольная матрица над полем О/20. Определитель последней матрицы отличен от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
