1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Примкр 7. Пусть У есть (б-мерное) пространство функций на множестве граней куба. Изоморфизм группы Я, и группы симметрии куба определяет линейное представление группы Я, в пространстве И. Обозначим это представление через А, а его характер — через Х, Всякий элемент д е Я4 каким-то образом переставляет грани куба и таким же образом В(д) переставляет 6-функции этих граней. Поэтому х(д) = 1г А(д) есть число граней, которые элемент д оставляет на месте. Таким образом получается следующая таблица значений характера Х: Вычисляя скалярные произведения этого характера и характеров неприводимых представлений группы 94 (см.
пример б), находим: (Х!Х1) = 1~ (Х!Х~) = О~ (Х !Хз) = 1) (Х !Хз) = 11 (Х !Хз) = О. Таким образом, я — 771+ Вз+ Вз 4?8 Гл. Н. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И АССОПИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ ЗАДАЧА 3. Найти минимальные инвариантные подпространства для представления В из примера?. ЗАДАЧА 4. Пусть С С о„— дважды транзитивная группа подстановок. (Это означает, что для любых двух упорядоченных пар различных символов найдется подстановка из С, переводящая первую пару во вторую.) Доказать, что представление группы С в пространстве функций на множестве (1,..., и) разлагается в сумму ровно двух неприводимых представлений, одно из которых— тривиальное одномерное. (Указание: использовать выражение, которое дает формула Бернсайда (см. задачу 10.3.2) для числа орбит группы С в множестве (1,..., и) х (1,..., и).) ЗАдАчА 5.
Составить таблицу характеров группы А,. ЗАДАЧА б. Пусть В: С - П1('г') — какое-то линейное представление конечной группы С. Доказать, что проектор Р,. пространства на его изотипную компоненту, отвечающую неприводимому представлению В, группы С, может быть задан формулой Р.= — „' 2 х,(д ')В(д), дд С где п = ~С~, и,. = О1гп В„а Х; — характер представления В,, (Указание: доказать, что элемент †„' 2., х,(д ')д е кс де С есть единица д'-го слагаемого разложения (23), для чего вычислить его скалярные произведения с элементами группы С, пользуясь формулами (21) и (24).) Помимо уже рассмотренной нами операции сложения представлений, имеются и другие важные операции над линейными представлениями (произвольных) групп. Для любого линейного представления В: С вЂ” Сд(.(Ъ') можно определить сопряясенное представление В'.
С вЂ” 61.(Ъ'*) по правилу (В*(д)а)(л) = а(В(д) ~т) (а Е Ъ", х Е Ъ'), (30) т.е. по обычному правилу действия преобразований на функции. На матричном языке это выглядит следующим образом: (31) В*(д) = (В(д)') '. $4. ЛИНЕИНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП 479 Следовательно, характер сопряженного представления находится по формуле х (д) = хн(д ). (32) Определение сопряженного представления может быть переписано в следующем симметричном виде: (71'(д) *)(11(д) ) = ( ) Отсюда следует, что 11*' = А (при каноническом отождествлении пространства И" с И), Может случиться, что В* = тт; в этом случае представление В называется самосопряженным. Для комплексного линейного представления конечной группы в базисе, ортонормированном относительно инвариантного эрмитова скалярного умножения, формулы (31) и (32) принимают вид 71 "(д) = Л(д) Х (д) = Х (д).
(33) ПРИМЕР 8. Для неприводимых (одномерных) представлений циклической группы имеем в обозначениях примера 5: 71о — 71о 71о — 71 — ь ()о 1 ° и 1). П РИмеР 9, Как следует из примера 10.3.5, в группе Я„любой элемент сопряжен своему обратному. Поэтому всякое линейное представление группы о„самосопряженно. ЗАДАЧА 7. Доказать, что если А — неприводимое представление какой-либо группы, то представление В' также неприводимо. Определим теперь операцию умножения линейных представлений группы С.
Произведением линейных представлений тт: С вЂ” О1(Ъ') и о: С вЂ” 61.(И') называется линейное представление Вд: С -~ О1(Ъ З И~), д ~-~ 71 (д) 8 д(д). (См. определение тензорного произведения линейных операторов в $ 8.1.) ЗАМЕЧАНИЕ 2. Иногда представление тто называют тензорным произведением представлений Л и о, но мы сохраняем этот термин для представления прямого произведения двух групп, определенного в задаче 1.3. ЗАДАЧА 8. Пусть в пространствах У и И' выбраны какие-то базисы и представления 11 и о записаны в этих базисах. Будем 480 Гл. Н.
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ задавать элемент пространства У З И' матрицей Я, составленной из его координат (см. формулу (10) в $8.1). Доказать, что пред- ставление ВЯ в этих терминах задается формулой (ВЯ)(д)Я = В(д)ЯЯ(д)т, Из формулы (28) $8.1 следует, что (34) (35) Хлз Хл Хз ' (Хз !Х~) = 1 (Хз! Х~) = 0 (Хз 1Хг) = 1~ (Хз!Хз) =1 (Х'~Хз) =1 Следовательно Вз — В1+ Вг+ Вз+ Вз. (38) Аналогично определяется произведение нескольких представлений, а также симметрическая и внешняя степени представления.
Например, симметрический квадрат представления В: С вЂ” 61.(У) есть представление ЯгВ: С вЂ” 01(Яг(У)), д ~ Яг(В(д)). (См. определение симметрического квадрата линейного оператора в $8.3.) Из формулы (53) гл. 8 следует, что Хз а(д) = В(Хл(д)'+ Хн(д')) (37) Если отождествить пространство Яг(У) с пространством БТг(У) симметрических тензоров, то представление ЯгВ будет не чем иным, как ограничением представления В' на инвариантное подпространство 8Тг(У). Аналогичное утверждение справедливо и для внешнего квадрата ЯВ представления В.
Так как Тг(У) = БТг(У) Ю ЛТг(У), то Вг огВ + з1гВ (38) Произведение неприводимых представлений, как правило, не является неприводимым. Разложение произведений неприводимых представлений на неприводимые компоненты — это одна из основных задач теории представлений, Для представлений конечных групп благодаря формуле (35) она в принципе может быть решена с помощью теории характеров. ПРИАЗЕР 10. Разложим в сумму неприводимых представлений квадрат представления В группы Я„(см, пример 4). Пользуясь таблицей характеров группы Я,, приведенной в примере б, получаем; $4.
ЛИНЕВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП 481 ПРИМЕР 11. Закон Гука в теории упругости выражает связь между тензором деформации и и тензором напряжений т твердого тела в какой-либо его точке. Оба этих тензора суть симметрические операторы в пространстве Вз.
(Определение тензора деформации см. в примере 6.3.5). Подняв индексы, их можно рассматривать, если угодно, как элементы пространства Я'(В'). Закон Гука имеет вид а = "ггт, где Я вЂ” некоторый симметрический оператор в пространстве Я'(Вз), называемый тензором упругости и характеризующий упругие свойства данного твердого тела в данной точке (при заданных температуре и давлении). Так как 81ш Я'(В') = 6, то размерность пространства симметрических операторов в Я'(Вз) равна — = 21.
Таким образом, в общем случае тензор упругости 6. 2 определяется 21 параметрами, которые должны быть найдены опытным путем. Ситуация упрощается, если тело имеет кристаллическую структуру. А именно, пусть С = и'Г, где à — группа симметрии данной кристаллической структуры (см. пример 9.1.1). Тогда оператор гг должен быть перестановочен со всеми операторами Я'А, где А Е С.
Общий вид такого оператора может быть найден с помощью теории представлений. Число параметров, от которых он зависит, будет тем меньше, чем больше группа С. Рассмотрим, например, кристалл поваренной соли (см. рис. 2 гл. 4). В этом случае группа С есть группа симметрии куба, т. е., в обозначениях примера 4, С = В,(Я,) х (~Е). Второй множитель тривиально действует на Я'(Вз), поэтому его можно не учитывать. Таким образом, оператор Я должен быть эндоморфизмом представления Я~В, группы Я4.
По формуле (37) получаем следуюшую таблицу значений характера х этого представления: Вычисляя его скалярные произведения с характерами неприводимых представлений, находим, что (39) ~ ~З ~1+ ~2+ ~3' В частности, представление Я'В, имеет простой спектр. Согласно предложению 4 (см. также замечание 1), общий вид его эндоморфизма зависит от 3 параметров.
Итак, для определения тензора упругости кристалла поваренной соли требуется найти опытным путем значения лишь 3 параметров (вместо 21!). 482 Гл. 11. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕЛСТАВЛЕНИЯ И АСС011ИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ ЗАмечАние 3. Ввиду изоморфизма (38) разложение (39) можно было бы найти вычитанием из разложения (36) представления ЯЛ,, которое, как легко показать, изоморфно В,. 9 5. Инварианты Всякое действие группы С на множестве Х определяет по формуле (8) гл.
10 линейное представление этой группы в пространстве тт(Х, К) функций на Х со значениями в (любом) поле К. Определение 1. Функция Г Е .г'(Х, К) называется инвариантом (данного действия) группы С, если дг' = Г' для любого д Б С. Иными словами, инвариант — это функция, постоянная на орбитах группы С.
Знание инвариантов помогает решению важной задачи описания орбит. А именно, если какой-либо инвариант Г' принимает разные значения в каких-либо двух точках, то эти точки заведомо принадлежат разным орбитам. Идеальным решением задачи является указание таких инвариантов ~„ ..., Г', что для любых двух точек, принадлежащих разным орбитам, хотя бы один из них принимает в этих точках разные значения. В этом случае говорят, что инварианты у„ ..., У„ разделяют орбиты. П РИМЕР 1. Рассмотрим линейное представление Ад группы О(.„(С) в пространстве 1.„(С), определяемое по формуле Ад(А)Х =АХА Пустьг" (т) =де1(тŠ— Х) — характеристический многочлен матри- цы Х. Запишем его в виде У (1) = 1" — Л(Х)1" '+...
+ ( — 1)"ЯХ). Тогда г„(Х) есть сумма главных миноров порядка к матрицы Х (см. задачу 6.2.1). Так как характеристические многочлены подобных матриц равны, то У„..., У'„— инварианты рассматриваемого действия группы О(.„(О). Однако они не разделяют орбит. Действительно, две матрицы принадлежат одной орбите тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же жорданову форму, в то время как значения инвариантов Д„..., ~„определяют лишь собственные значения матрицы. Пример 2. Инварианты симметрической группы Я„, действующей в К" перестановками координат, — это функции от и $5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
