1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Обозначим его через К . В качестве его базисных векторов можно взять последовательности вида е,=(0,...,0,1,0,...) (т=1,2,...) (единица стоит на з-м месте). Таким образом, пространство К счетномерно. Так же, как предложение 1.7.1, доказывается тот факт, что всякое счетномерное векторное пространство над К изоморфно К Злдлчл 5. Докзззть, что поле и кзк векторное пространство ндд Я не является счетномерным. Злдлчл 6. Докзззть, что из всякого счетного порождающего множестве векторного пространства можно выбрать базис.
$ 2. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЪ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА 61 Зхдлчл 7. Доказать, что любое несчетное множество векторов в счетномерном векторном пространстве линейно зависимо (и, следовательно, любой базис счетен). ЗАдАчА 8. Доказать, что всякую (конечную или счетную) линейно независимую систему векторов счетномерного векторного пространства можно дополнить до базиса.
Зхдлчх 9. Доказать, что всякое подпространство счетномерного векторного пространства не более чем счегномерно (т.е. счетномерно или конечномерно). Привести пример счетномерного подпространства счетномерного векторного пространства, не совпадающего со всем пространством. Задачи 8-9 представляют собой аналоги теорем 1-4 для счетномерных векторных пространств. Аналогичные утверждения могут быть доказаны и для несчетномерных пространств, но лля этого требуется привлечение аппарата канторовской теории множеств (трансфинитной индукции или леммы Церна). С другой стороны, такой чисто алгебраический подход имеет ограниченную сферу применения. Обычно несчетномерное векторное пространство снабжается топологией, которая позволяет придавать смысл бесконечным суммам векторов.
С понятием размерности тесно связаны понятия ранга системы векторов и ранга матрицы. Определение 4. Рангом системы векторов называется размерность ее линейной оболочки. Рангом матрицы называется ранг системы ее строк. Ранг матрицы А обозначается через г(с А . Системы векторов (а„о,..., а,'7 и (6„6,..., 6 7 называются эквивалентными, если каждый из векторов Ь, линейно выражается через а„а„..., а„и, наоборот, каждый из векторов а, линейно выражается через Ь„Ь„..., 6ю.
Это, очевидно, равносильно совпадению линейных оболочек: (а„а,..., а„) = (6,, Ь,..., Ь ). Поэтому ранги эквивалентных систем векторов равны. Из определения элементарных преобразований следует, что строки матрицы А', полученной из матрицы А каким-либо элементарным преобразованием, линейно выражаются через строки матрицы А.
Но так как матрица А может быть получена из А' обратным элементарным преобразованием, то и, наоборот, ее строки линейно выражаются через строки матрицы А'. Таким образом, системы строк матриц А и А' эквивалентны и, следовательно, ранги этих матриц равны. Этим можно воспользоваться для вычисления ранга матрицы. Предложение 3. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк любой ступенчатой матрицы, к которой она приводится элементарными преобразованиями строк. Гл.
2. НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ До к а з а т ел ь с т в о. Так как ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях, то нам достаточно доказать, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк. Для этого, в свою очередь, достаточно доказать, что ненулевые строки ступенчатой матрицы линейно независимы. Предположим, что линейная комбинация ненулевых строк ступенчатой матрицы (2) с коэффициентами Л„Л„..., Л, равна нулю.
Рассматривая 2',-ю координату этой линейной комбинации, находим, что Л,а,, = О, откуда Л, =О. Рассматривая, далее, 1',-ю координату с учетом того, что Л, =О, находим, что Л а . =О, откуда Л, =О. Продолжая так дальше, получаем, что все коэффициенты Л „Л„..., Л, равны нулю, что и требовалось доказать. П В частности, какую бы последовательность элементарных преобразований, приводящих заданную матрицу к ступенчатому виду, мы ни выбрали, число ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы будет одним и тем же.
С учетом предложения 3 результаты, полученные в $1 при анализе ступенчатых систем линейных уравнений, приводят к следующей теореме. Теорема 6. 1) (Теорема Кронекера — Капелли.) Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы гг коэффициентов равен рангу расширенной матрицы. 2) Совместная система линейных уравнений является определенной тогда и только тогда, когда ранг матрицы гг коэффициентов равен числу неизвестных.
ф 3. Линейные отображения В любой алгебраической теории наряду с изоморфизмами рассматривают более общие отображения, называемые в общем случае гомоморфизмами, а в случае векторных пространств — линейными отображениями. В то время как изоморфизмы полностью сохраняют внутренние свойства алгебраических структур и их элементов, гомоморфизмы сохраняют их лишь частично. Определение 1. Пусть У и У вЂ” векторные пространства над полем Л . Отображение называется линейным, если 1) у(а+ Ь) = 1о(а)+ ~р(6) для любых а, 6 Е Ъ'; 2) 1о(Ла) = Л1о(а) для любых Л Е К аЕ 1'.
63 $ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ х( — а) = х(( — 1)а) = ( — 1) р(а) = — ~р(а). Легко также доказать, что у(а — Ь) = у(а) — ~р(Ь). ь(Ь) П РИМЕР1. Поворот есть линейное отображение (н даже изоморфнзм) Аьь пространства Е' в себя (рис. 1). ПРИМЕР 2. Ортогональное проектирование на плоскость определяет линейное отображение (но не изоморфизм) пространства Е' в пространство геометрических векторов этой плоскости. ПРИМЕР 3, Дифференцирование является линейным отображением пространства непрерывно дифференцируемых функций на заданном промежутке числовой прямой в пространство непрерывных функций на этом промежутке.
ПРИМЕР 4. Отображение ь Г'ь-+ ~ г"(х) с(х является линейным отображением пространства непрерывных функций на отрезке (а, Ь) в поле )к, рассматриваемое как векторное пространство над самим собой. Линейное отображение у: У вЂ” У однозначно определяется образами базисных векторов пространства У. В самом деле, пусть (е,: ь Е 1) — базис пространства У„ тогда для любого вектора х=2 хьеь имеем У(х) = 2 хьх(еь).
С другой стороны, если и, е У (ь Е 1) — произвольные векторы, то отображение р: У- У, определяемое по формуле (о(х) = 2 хьиь, как легко видеть, является линейным и р(еь) = иь. Это определение отличается от определения изоморфизма векторных пространств тем, что в нем не требуется биективности. Отметим, что при линейном отображении нулевой вектор переходит в нулевой, а противоположный — в противоположный. В самом деле, ьь(ьь+ Ь) = =ь (а)+ь (Ь) Гл. 2. НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Эти соображения позволяют получить аналитическое описание линейных отображений.
Сделаем это для пространств строк. Пусть 1и:К"- К" — линейное отображение. Применим его к единичным строкам е„е,..., е„пространства К" (см. пример 1.7.7). Мы получим какие-то строки р(е,) = (а,, а,, а ) 6 К (у = 1, 2,..., и)- Числа а, (1 = 1,2,..., т, у = 1,2,..., и) образуют матрицу А размера т х н, которая называется матрицей линейного отобрахсения у.
(Обратите внимание, что координаты строки а(е,) записываются в т'-м столбце матрицы А.) Для любой строки х = (х,, хл,..., х„) = ) ха ел е К" имеем Р(х) = 2, 'хзР(ез) = (2, 'а,.х,, ~ а ах,,, ~ а .х,). Таким образом, если положить у(х)=у=(уоуз,...,у ), то уо у~,..., у„выражаются через х„х„..., х„по формулам у,.= 2 авх, (з'=1,2,...,т). (10) ~=! Обратно, если А = (аи) — произвольная матрица размера т х н, то отображение р: К" - К", определяемое формулой (10), линейно и его матрица есть А . Тем самым устанавливается взаимно однозначное соответствие между линейными отображениями пространства К" в К™ и матрицами размера т х и.
В соответствии с этим матрица линейного отображения 1и: У- У произвольных конечномерных векторных пространств определяется следующим образом: в ее ~'-м столбце стоят координаты образа 7'-го базисного вектора пространства У. Эта матрица, естественно, зависит от выбора базисов в пространствах У и У. ПРимеР 5. В пространстве Е' выберем ортонормированный базис (е„ е,). Пусть и — поворот на угол о (рис. 2). Тогда р(е,) = е, соз о + е з!и о, р(е ) = — е, з1п о + е сова.
Ь 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 65 Это означает, что матрица отображения ео есть < соз а — з1п а з1п а соз а /' (1 1) Заметим, что в данном случае У = У и мы использовали один и тот же базис (е„е,) в двух качествах: как базис пространства У и как базис Р(,1 ---- ез пространства У, хотя, согласно определению, не обязаны были это делать. ПРИМЕР 6. Найдем матрицу проектирования из примера 2. В плоскости проектирования выберем любой а базис (е„е ) и дополним его ортого- е~ нальным вектором е до базиса пространства. Так как при проектироваРис.
2 нии векторы е, и е, переходят сами в себя, а вектор е, — в нуль, то искомая матрица (относительно выбранных базисов) имеет вид <о оо) В отличие от изоморфизма линейное отображение не обязано быть ни сюрьективным, ни инъективным. Нарушение этих свойств приводит к возможности связать с каждым линейным отображением два подпространства — его образ и ядро. Определение 2. Образом линейного отображения р: ог — Ьг называется подмножество 1гп <р = ( Ко(а): а Е 'о' ) С Ц а ядром — подмножество Кег р =(аЕ У; со(а) =О) С Ь'. ео(а+ Ь) = ор(а)+ |р(Ь) =0+0=0, т.е.
а+Ь ЕКег ео. Далее, если аЕКег ~р, т.е. оо(а)=О, то для любого ЛЕК р(Л а) = Л ~р(а) = Л 0 = О, Легко видеть, что 1т р — подпространство в У, а Кег р — подпространство в У. Докажем, например, второе. Если а, Ь е Кег р, т.е. зо(а) = ор(Ь) =О, то Гл. 2.
НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ т. е. Л а Е Кег р. Наконец, О Е Кег у, так как по доказанному выше ~(О) = О. ПРиме~ 7. Ядром отображения проектирования из примера 2 является совокупность векторов, ортогональных плоскости проектирования. ПРИМЕР 8. Ядром отображения дифференцирования из примера 3 является совокупность постоянных функций, а образом— пространство всех непрерывных функций. Последнее следует из существования первообразной у каждой непрерывной функции, доказываемого в анализе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
