1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 11
Текст из файла (страница 11)
+ р „а„. Для любых Л„л,,..., Л„е К получаем отсюда Л 61+Лгьз+ . +Л 6,„=(Л,рн+Лзр + +Л р )а+ +(л,р„+л,р„+...+л р,),+ +(л,р,„+л,р„+...+л р „)а„. Рассмотрим систему и однородных линейных уравнений с т неизвестными рнх,+р,х +...+р,х =О, р|зх| + рт2хт + ' '+ р азха р„х,+р„х +...+р „х =О. Если (Л„л„..., Л„) — произвольное решение втой системы, то л,ь, + л,ь, +... + л„ь„= о.
С другой стороны, по теореме 1.2 зта система имеет ненулевое решение. Следовательно, векторы 6„6„..., Ь„линейно зависимы. П 55 Гл. 2. НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Ввиду леммы 3 определение 1.7.4 базиса векторного пространст- ва можно переформулировать следующим образом. Определение 3.
Базисом векторного пространства»' называ- ется всякая линейно независимая система векторов, порождающая пространство Ъ'. Теорема 1. Всякое конечномерное векторное пространст- во У обладает базисом. Более точно, из всякого конечного порождающего множества Я с У можно выбрать базис про- странства Ъ'.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если множество Я линейно зависимо, то по лемме 1 в нем найдется вектор, линейно выражающийся через остальные. Выкидывая этот вектор, мы получаем порождающее множество из меньшего числа векторов. Продолжая так далыпе, мы в конце концов получим линейно независимое порождающее множество, т.е. базис. П Теорема 2. Все базисы конечномерного векторного про- странства У содержат одно и тоже число векторов.
Это число называется размерностью пространства Ъ" и обозна- чается 41ш У, Дока зател ьст во. Если бы в пространстве Ъ' существовали два базиса из разного числа векторов, то, согласно предложению 1, тот из ннх, в котором больше векторов, был бы линейно зависим, что противоречит определению базиса, П ЗАмечАние 4. Нулевое векторное пространство (состоящее из одного нулевого вектора) считается обладающим»пустым ба- зисом»; в соответствии с этим его размерность считается равной нулю. ПРИМЕР 4. Пространство Я' (соответственно Е') имеет раз- мерность 2 (соответственно 3). ПРИМЕР 5.
Ввиду примера 1.7.7 пространство К" имеет раз- мерность и. ПРИМЕР б. Поле комплексных чисел как векторное простран- ство над К имеет размерность 2, а алгебра кватернионов (см. при- мер 1.8.6) — размерность 4. ПРИМЕР 7. Если Х вЂ” конечное множество из п элементов, то векторное пространство Р'(Х Х) всех функций на Х со значени- ями в К (см. пример 1.7.2) имеет размерность и. В самом деле, рассмотрим так называемые б-функции б„(а Е Х), определяемые формулами )~1, если х = а, ~0, если х Ф а. $2. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА 57 Очевидно, что любая функция ьт е е'(Х, К) единственным образом выражается через б-функции, а именно, от = ~; у(а)б,. аех Следовательно, функции б., ае Х, составляют базис пространства Р(Х, К), причем координатами функции в этом базисе служат ее значения.
Если множество Х бесконечно, то для любого и в пространстве Р'(Х К) имеется и линейно независимых векторов, например, б,, б,..., б., где а„п,..., а„е Х различны, и, следовательно, пространство Р'(Х К) бесконечномерно. П гимар 8. Поле и кэк векторное прострвнство нэд О бесконечномерно. В самом деле, если бы оно было конечномерным, то вещественное число определялось бы конечным набором рациональных чисел — своих координат в некотором бээисе этого пространства. Но тогда множество всех вещественных чисел было бы счетным, что неверно. ЗАДАЧА 1. Найти число векторов п-мерного векторного пространства над конечным полем из д элементов. ЗАДАЧА 2.
Доказать, что пространство всех непрерывных функций на любом промежутке числовой прямой бесконечномерно. Из основной леммы о линейной зависимости (предложение 1) следует, что в любом (конечном или бесконечном) множестве Я векторов конечномерного векторного пространства 1г имеется максимальное линейно независимое подмножество, т.е. такое линейно независимое подмножество, которое становится линейно зависимым при добавлении к нему любого из оставшихся векторов множества Я. Более того, любое линейно независимое подмножество множества Я можно дополнить до максимального линейно независимого подмножества. Предложение 2.
Всякое максимальное линейно независимое подмножество (е„..., е„) множества Я является базисом линейной оболочки (Я) этого множества. Дока з а те лье т во. Нужно доказать, что каждый вектор из (Я) линейно выражается через е„..., е„. По определению линейной оболочки каждый вектор из (Я) линейно выражается через векторы из Я. Поэтому достаточно доказать, что каждый вектор ае Я линейно выражается через е„..., е„.
Для ае (е„..., е,) это очевидно. Для аф (е„..., е,) это следует из леммы 2. П Применяя высказанные соображения к Я = Тх, мы получаем следующую теорему. 58 Гл. 2. НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Теорема 3. Всякую линейно независимую систему векторов конечномерного векторного пространства 1' можно дополнить до базиса. В частности, любой ненулевой вектор можно включить в базис, а любые и линейно независимых векторов п-мерного векторного пространства уже составляют базис. ЗАДАЧА 3. Найти число базисов и-мерного векторного пространства над полем из д элементов.
Следующая теорема устанавливает свойство монотонности размерности. Теорема 4. Всякое подпространство (7 конечномерного векторного пространства Ъ' также конечномерно, причем д1щ У < д1щ У. Более того, если У ~ Ъ', то д1щ 77 < д1щ У. Доказательство. Пусть (е„е„..., е„) — максимальная линейно независимая система векторов подпространства (7. Согласно предложению 2, (е„е„..., е„) — базис этого подпространства. Следовательно, д1гп У = й.
Линейно независимую систему (е„е„..., е,) можно дополнить до базиса всего пространства г'. Следовательно, если (7 ~ У, то 81гп Ъ' > к. 1З ЗАДАЧА 4. Найти число к-мерных подпространств п-мерного векторного пространства над полем из д элементов. Следующая теорема дает исчерпывающее описание всех конечномерных векторных пространств. Теорема 5. Конечномерные векторные пространства над одним и тем же полем изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность. Доказательство. Если У: У вЂ” У вЂ” изоморфизм векторных пространств и (е„е,, е„) — базис пространства Ъ', то (7(е,), Де,),..., 7(е„)) — базис пространства (7, так что д1щ 'г' = б1т У.
Обратно, согласно предложению 1.7.1, всякое и-мерное векторное пространство над полем К изоморфно К"; следовательно, все такие пространства изоморфны между собой. П Таким образом, в любом рассуждении мы вправе заменить произвольное и-мерное векторное пространство над полем К пространством строк К". В пространстве К" имеется «привилегированный» базис, состоящий из единичных строк (см. пример 1.7.7). С другой стороны, если в каком-либо п-мерном векторном пространстве Ъ' задан базис, то сопоставление каждому вектору строки его координат (как в доказательстве предложения 1,7.1) определяет В 2. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА 59 канонический изоморфизм пространства У и пространства К", при котором векторам заданного базиса соответствуют единичные строки.
В этом смысле можно сказать, что пространство строк— это не что иное, как конечномерное векторное пространство с выделенным базисом. Совокупность всех базисов п-мерного векторного пространства T может быть описана следующим образом. Пусть (е„..., е„)— какой-либо фиксировнный базис. Любав система и векторов (е,',..., е„') может быть тогда задана квадратной матрицей С =(си), определяемой равенствами е,' = ~ е, сч (2 = 1,..., и) (6) и называемой матрицей перехода от базиса (е„ ., е„) к системе (е,',..., е,'). Согласно этому определению,т'-й столбец матрицы С есть столбец координат вектора е,' в базисе (е„ ..., е„). Поэтому векторы е,',..., е„' линейно независимы (и, значит, составляют базис) тогда и только тогда, когда столбцы матрицы С линейно независимы, т.е.
когда матрица С невырожденна. Тем самым установлено взаимно однозначное соответствие между множеством всех базисов пространства У н множеством невырожденных матриц порядка п. Если распространить правило умножения матриц на случай, когда элементами одной из них являются векторы (что имеет смысл ввиду операций, определенных в векторном пространстве), то равенства (б) могут быть переписаны в следующей матричной форме: (е,',..., е„') = (е,,..., е„)С (7) Пусть х Е У вЂ” какой-либо вектор. Разложим его по базисам (е„..., е„) и (е,',..., е„'): х = х, е, +... + х„е„= х,'е,' +... + х„'е„'. """ .=(:) .=(;) Тогда х = (е,',, е„')Х' = (е„..., е„)СХ', откуда получается следующая формула преобразования координат при переходе от базиса (е„ ..., е„) к базису (е,',..., е„'): Х=СХ' (8) бО Гл.
2. НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ или, более подробно, х» = ~, сп х,'. (з = 1,..., гь). (9) Понятия базиса и размерности могут быть распространены на бесконечномерные векторные пространства. Чтобы это сделать, надо определить, что такое линейная комбинация бесконечной системы векторов. В чисто алгебраической ситуации нет иного выхода, кроме как ограничиться рассмотрением линейных комбинаций, в которых лишь конечное число коэффициентов отлично от нуля. Пусть (а,.: г е 1) — система векторов, занумерованных элементами бесконечного множества Х. Линейной комбинацией векторов а,, Г Е 1, называется выражение вида ~,' Лгаг, в котором лишь ег конечное число коэффициентов Л, отлично от нуля, так что сумма фактически является конечной н, таким образом, имеет смысл. На основе этого определения линейной комбинации точно так же, как в случае конечных систем векторов, определяются понятия линейной выражаемости, линейной зависимости и базиса.
Мощность базиса называется размерностью пространства. В частности, векторное пространство, обладающее счетным базисом, называется счетномерньгм. Пример 9. Очевидно, что множество всех последовательностей (строк бесконечной длины) из элементов поля К является векторным пространством относительно операций сложения и умножения на элементы поля К, определяемых так же, как для строк конечной длины. Последовательность называется финигпной, если лишь конечное число ее членов отлично от нуля. Финитные последовательности образуют подпространство в пространстве всех последовательностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
