1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Умножение вектора на число не есть операция над двумя элементами одного и того же множества. Это операция, которая каждой паре (число, вектор) ставит в соответствие вектор. В общем определении векторного пространства дело обстоит так же, однако вещественные числа заменяются элементами произвольного (но фиксированного) поля. Определение 1. Векторным (или линейным) пространством над полем ус называется множество 17 с операциями сложения 32 Гл.
Е АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ и умножения на элементы поля К, обладающими следующими свойствами: 1) относительно сложения Ъ' есть абелева группа; 2) Л(а+ Ь) =Ла+ ЛЬ для любых Л Е К, а, Ь Е Ь'; 3) (Л + п)а= Ла+ па для любых Л, и Е К, аЕ 'г'; 4) (Лп)а= Л(па) для любых Л, о Е К аЕ Ь'; 5) 1а= а для любого ае Ь". Элементы векторного пространства называются векторами. Элементы поля К, в отличие от векторов, мы будем иногда, допуская вольность речи, называть числами, даже если К не есть числовое поле. Векторы в смысле элементарной геометрии мы будем отныне называть геометрическими векторами. Операции над ними удовлетворяют всем аксиомам векторного пространства, что, собственно, и послужило основой для данного выше определения.
Пространство геометрических векторов евклидовой плоскости (соответственно трехмерного евклидова пространства) мы будем обозначать через Е' (соответственно через Е'). Подчеркнем, что это векторное пространство над полем К. Приведем другие важные примеры векторных пространств. ПРиыеР 1. Множество К" строк длины и с элементами из поля К является векторным пространством над .К относительно операций, определенных формулами (а„ аз,...,а„) + (Ь,, Ью ..., Ь„) = (а, + Ь„ а + Ь,..., а„ + Ь ), Л(а„от,..., а„) = (Ла„Ла,..., Ла„). ПРиме 2, Множество Р(Х, К) всех функций на множестве Х со значениями в поле К является векторным пространством относительно обычных операций над функциями: (у + д)(х) = у(х) + д(х), (Лу)(х) = Лу(х).
ПРИМЕР 3. Пусть К вЂ” подполе поля Е. Тогда Е можно рассматривать как векторное пространство над К, определив умножение элементов из Х на элементы из К просто как умножение в Х. В частности, поле С есть в этом смысле векторное пространство над К. Укажем некоторые следствия аксиом векторного пространства, не являющиеся следствиями только аксиом абелевой группы. Все они доказываются аналогично похожим на них следствиям аксиом кольца (см. $3).
Символом О обозначается как нуль поля К, так $7. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА и нулевой вектор, т. е. нуль алдитивной группы У; читатель увидит, что это не приводит к путанице. 1) ЛО= О для любого Л Е К (здесь Π— нулевой вектор). 2) Л(-а) = — Ла для любых Л Е К аЕ У. 3) Л(а — Ь) = Ла — ЛЬ для любых Л е К, а, Ь е У. 4) Оа=О для любого аЕ У (здесь О слева — число, справа— вектор). 5) ( — 1)а= — а для любого ае У. 6) (Л вЂ” и)а= Ла — 7«а для любых Л, и е К, ае У. Определение 2. Подмножество 17 векторного пространства У называется подлросглранством, если 1) 17 является подгруппой аддитнвной группы У; 2) ае У =Ф- Лае (7 для любого Л е К. ЗАМЕЧАНИЕ 1. В определении подгруппы требуется, чтобы аЕ Сг =Ь вЂ” аЕ Г.« При наличии условия 2) это свойство выполняется автоматически, так как — а = ( — 1)а.
Подпространство векторного пространства само является векторным пространством относительно тех же операций. ПРИМЕР 4. В пространстве Я» множество векторов, параллельных заданной плоскости или прямой, является подпространством. ПРИМЕР 5. В пространстве р(Х, К) всех функций на заданном промежутке Х числовой прямой множество непрерывных функций является подпространством. В каждом векторном пространстве У есть два «тривиальных» подпространства: само пространство У и нулевое подпространство (состоящее из одного нулевого вектора). Последнее мы будем обозначать символом О. Определение 3.
Векторные пространства У и «7 над полем К называются изоморфными, если существует такое биективное отображение что 1) «»(а+ Ь) = «»(а)+ «Р(Ь) для любых а, Ь Е У; 2) ~р(Ла) = ЛЭ»(а) для любых Л е К, а е У. Само отображение э» называется при этом изоморфизмом пространств У и (7. 34 Гл. 1.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ Как мы увидим в $2.2, описание векторных пространств с точностью до изоморфизма весьма просто. В частности, все так называемые конечномерные векторные пространства, с которыми мы в основном и будем иметь дело в этом курсе, изоморфны пространствам К". Ключевым понятием этой теории является понятие базиса. Всякое выражение вида Л,а, + Лзат+... + Л„а„(Л„ЛИ..., Л„Е К) называется линейной комбинацией векторов а„а,..., а„е Ъ'. Говорят, что вектор Ь линейно выражается через векторы а„ а, , а„, если он равен некоторой их линейной комбинации. Определение 4. Система векторов (е„ е,..., е„)сЪ' называется базисом векторного пространства т', если каждый вектор а Е У единственным образом линейно а = а,е, + л е выражается через е„е,..., е„. Коэффициенты этого выражения называются координатами вектора а в базисе (е„ез,..., е„).
ПРИМЕР 6. Из геометрии известно, что любые два неколлинеарных вектора е„ е составляют базис пространства Е' (рис. 5). Аналогично, любые три некомпланарных вектора составляют базис пространства Ез. ПРИМЕР 7. Единичные строки е, = (1, О,..., О), =(О, 1,...,О), е„=(0,0,..., 1) составляют базис пространства К". Координатами строки а = (а„ а,...,а„) в этом базисе служат числа а„ а,...,а„.
Конечно, в пространстве К" имеются и другие базисы. ПРИМЕР 8. В качестве базиса поля С как векторного пространства над К (см. пример 3) можно взять (1,т). Координатами комплексного числа в этом базисе служат его вещественная и мнимая части. Предложение 1. Всякое векторное пространство Ъ' над полем .К, имеющее базис из и векторов, изоморфно пространству К". 35 $8. АЛГЕБРЫ Доказательство. ПУсть 1е„ет,..., е„) — базис пРостРанства У. Рассмотрим отображение у:У- К", ставящее в соответствие каждому вектору строку из его координат в базисе (е„ е„ ..., е.7. Очевидно, что это биективное отображение.
Далее, если а = а, е, + а,ез +... + а„е„, Ь = Ь, е, + Ьзет +... + Ь„е„, то а+ Ь =(а, + Ь,)е, +(ат+ Ьт)е + ° +(а„+ Ь„)е„, Ла=(Ла)е, +(Ла)е + +(Ла„)е„. Отсюда следует, что р — изоморфизм. Г3 ПРИМЕР 9. Пространство Е~ (соответственно Е') изоморфно К' (соответственно 11'). 2 8. Алгебры Ввиду крайней простоты своего строения векторные пространства не интересны сами по себе, но они служат необходимым фоном для многих алгебраических (и не только алгебраических) теорий. Так, комбинируя понятия векторного пространства и кольца, мы приходим к важному понятию алгебры. Определение 1. Алгеброй над полем К называется множество А с операциями сложения, умножения и умножения на элементы поля К, обладающими следующими свойствами: 1) относительно сложения и умножения на элементы поля А есть векторное пространство; 2) относительно сложения и умножения А есть кольцо; 3) (Ла)Ь = а(ЛЬ) = Л(аЬ) для любых Л е К, а, Ь е А.
ЗАмечАние 1. Термин «алгебра», употреблявшийся нами до сих пор только как название одного из разделов математики, в этом определении имеет, естественно, другой смысл. ПРимеР 1. Всякое поле Ь, содержащее К в качестве подпола, можно рассматривать как алгебру над К. В частности, поле С есть алгебра над И. ПРимеР 2. Пространство Е' есть алгебра относительно операции векторного умножения.
ПРИМЕР 3. Множество Е(Х, К) функций на множестве Х со значениями в поле К (см. пример 7.2) является алгеброй над К 36 Гл. 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ относительно обычных операций сложения н умножения функ- ций и умножения функции на число. Эта алгебра коммутативна, ассоциативна и обладает единицей (каковой является функция, тождественно равная единице). ЗАЛАчА 1. Доказать, что кольцо 2" нз задачи 3.1 превращается в алгебру над полем У,„если определить в нем умножение на элементы этого поля по правилам ОМ=Я, 1М=М ЧМе2л.
Предположим, что алгебра А обладает базисом (е„е„..., е„) как векторное пространство над К, и пусть п а=а!е!+ а ез+... +а„е„= 2, а е!, 1=1 Ь = Ь, е, + Ьзез +... + Ь„е„= 2; Ь, е! ~=! — два произвольных элемента этой алгебры. Тогда из дистри- бутивности умножения относительно сложения и свойства 3) в определении алгебры следует, что л / л л аЬ = 2 а!(е,Ь) = 2 а! ~ 2, Ь,(е!е,)) = 2, а!Ь,(е!ет). ! ! =! т=! аз=! Это показывает, что умножение в алгебре А полностью определя- ется произведениями базисных векторов. Если умножение базисных векторов коммутативно, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
