1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Если структура (М, о) изоморфна структуре (Аг, *) и операция о в множестве М коммутативна, то и операция * в множестве йГ коммутативна. Таким образом, в принципе все равно, какую из изоморфных друг другу алгебраических структур изучать: все они являются различными моделями одного и того же объекта. Однако выбор модели может оказаться небезразличным для фактического решения какой- либо задачи. Определенная модель может предоставить для этого наибольшее удобство.
Например, если какая-то модель имеет геометрический характер, то она позволяет применить геометрические методы. ф 2. Абелевы группы Сложение вещественных чисел обладает следующими свойствами: (С1) а+ 6 = 6 + а (коммутативность); (С2) (а+ 6) + с = а+ (Ь + с) (ассоциативность); (СЗ) а+О= а; (С4) а+ ( — а) = О. Из этих свойств чисто логическим путем могут быть получены и другие свойства, например, наличие операции вычитания, обратной к сложению. Это означает, что для любых а, Ь уравнение х+а= 6 имеет единственное решение.
Докажем, что это так. Если с— решение данного уравнения, т. е. с+ а= 6, то (с + а) + ( — а) = Ь + ( — а). Пользуясь свойствами (С2)-(С4), получаем (с + а) + ( — а) = с + (а + (-а)) = с + О = с. Таким образом, с = Ь+(-а). э 2. АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ Это показывает, что если решение существует, то оно единственно и равно Ь+( — а). С другой стороны, подстановка х = Ь+( — а) в рассматриваемое уравнение показывает, что Ь+( — а) действительно является решением: (Ь + ( — а)) + а = Ь + (( — а) + а) = Ь + (а + ( — а)) = Ь + О = Ь.
Умножение вещественных чисел обладает аналогичными свойствами: (У1) аЬ = Ьа (коммутативность); (У2) (аЬ)с = а(Ьс) (ассоциативность); (УЗ) а1 = а; (У4) аа '=1 при а~О. Свойства (У1) — (У4) лишь формой записи отличаются от свойств (С1) — (С4), с единственной оговоркой, что в (У4) мы предполагаем, что аФ О, в то время как в (С4) никаких ограничений на а нет.
Поэтому приведенный выше вывод из свойств (С1)-(С4) наличия операции вычитания, будучи переведен на язык умножения, даст вывод из свойств (У1)-(У4) наличия операции деления, обратной к умножению. Более точно, таким путем доказывается, что для любого а ~ О и любого Ь уравнение ха = Ь имеет единственное решение, равное Ьа '. Все эти рассуждения приведены здесь не для того, чтобы читатель узнал что-либо новое о вещественных числах, а чтобы подвести его к важной для алгебры идее. Эта идея есть аксиоматический метод в алгебре. Он состоит в одновременном изучении целых классов алгебраических структур, выделяемых теми или иными аксиомами, представляющими собой какие-то свойства операций в этих структурах.
При этом совершенно не важно, как в каждом конкретном случае эти операции определяются. Коль скоро выполнены аксиомы, справедлива и любая теорема, полученная логическим путем из этих аксиом. Конечно, лишь немногие системы аксиом действительно интересны. Невозможно придумать «из головы» такую систему аксиом, которая привела бы к содержательной теории. Все системы аксиом, рассматриваемые в современной алгебре, имеют длительную историю и являются результатом анализа алгебраических структур, возникших естественным путем. Таковы системы аксиом группы, кольца, поля, векторного пространства и другие, с которыми читатель познакомится в этом курсе.
Свойства (С1)-(С4), а также (У1) — (У4) являются по сути дела системой аксиом абелевой группы. Перед тем как привести 12 Гл. Е АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ точные формулировки этих аксиом, скажем несколько слов о терминологии. Названия и обозначения операций в алгебраических структурах не имеют принципиального значения, однако чаще всего они называются сложением или умножением и обозначаются соответствующим образом. Это позволяет использовать разработанную терминологию и систему обозначений, относящиеся к операциям над вещественными числами, а также вызывает полезные ассоциации.
Приведем вначале определение абелевой группы, использующее язык сложения. Определение 1. (Аддитивной) абелевой группой называется множество А с операцией сложения, обладающей следующими свойствами: 1) а+ Ь = 6 + а для любых а, 6 Е А (коммутативность); 2) (а+Ь)+с =а+(Ь+с) для любых а, Ь, с Е А (ассоциативность) 3) в А существует такой элемент 0 (нуль), что а+ 0 = а для любого аЕ А; 4) для любого элемента а Е А существует такой элемент — аЕ А (противоположный элемент), что а+( — а) =О.
Выведем некоторые простейшие следствия из этих аксиом. 1) Нуль единствен. В самом деле, пусть О, и От — два нуля. Тогда О, =О, +0,=0,. 2) Противоположный элемент единствен. В самом деле, пусть ( — а), и ( — а), — два элемента, противоположных а. Тогда ( — а), = ( — а), + (а + ( — а)е) = (( — а), + а) + ( — а)г = ( — а)м 3) Для любых а, 6 уравнение и + а = Ь имеет единственное решение, равное 6+ ( — а). Доказательство см. выше. Это решение называется разностью элементов Ь и а и обозначается Ь вЂ” а.
Из свойства ассоциативности нетрудно вывести (попробуйте сделать это), что сумма произвольного числа (а не только трех) элементов не зависит от расстановки скобок. Пользуясь этим, скобки обычно вообще опускают. ПРИМЕР 1. Числовые множества Ж, Я, К являются абелевыми группами относительно обычной операции сложения. ПРимеР 2.
Множество векторов (плоскости или пространства) является абелевой группой относительно обычного сложения векторов. $2. АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 13 ПРимеР 3. Последовательность из и чисел назовем строкой длины п. Множество всех строк длины п, составленных из вещественных чисел, обозначим через К". Определим сложение строк по правилу (а„а,..., а„) + (Ь„Ь„..., Ь„) = (а, + Ь„аз+ Ью..., а„+ Ь„).
Очевидно, что множество К" является абелевой группой относительно этой операции. Ее нулем служит нулевая строка 0=(0,0,...,О), ПРИМЕР 4. Множество всех функций, определенных на заданном подмножестве числовой прямой, является абелевой группой относительно обычного сложения функций. Приведем теперь определение абелевой группы, использующее язык умножения. Определение 1'.
(Мультипликативной) абелевой группой называется множество А с операцией умножения, обладающей следующими свойствами: 1) а6 = Ьа для любых а, 6 е А (коммутативность); 2) (аЬ)с = а(Ьс) для любых а, Ь, с Е А (ассоциативность); 3) в А существует такой элемент е (единица), что ае = а для любого а Е А; 4) для любого элемента ае А существует такой элемент а ' Е А (обратный элемент), что аа ' = е.
Единица мультипликативной абелевой группы иногда обозначается символом 1. Простейшие следствия аксиом абелевой группы, полученные выше на аддитивном языке, на мультипликативном языке выглядят следующим образом: 1) Единица единственна. 2) Обратный элемент единствен. 3) Для любых а, 6 уравнение ха= Ь имеет единственное решение, равное 6а '. Оно называется частным от деления Ь на а (или отношением элементов 6 и а) и обозначается — (или 6/а).
6 П Рй МЕР 5. Числовые множества Я' = 12", (0~ и К' = К ", (О) являются абелевыми группами относительно обычной операции умножения. В дальнейшем мы познакомимся с общим понятием группы (не обязательно абелевой), которое не включает требования коммутативности операции. 14 Гл.
1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЪ| ф 3. Кольца и поли В отличие от групп кбльца и поля — это алгебраические структуры с двумя операциями, называемыми обычно сложением и умножением. Их аксиомы, как и аксиомы абелевой группы, подсказаны свойствами операций над вещественными числами. При этом аксиомы кольца — это разумный минимум требований относительно свойств операций, позволяющий охватить и другие важные примеры алгебраических структур, из которых мы пока можем привести только уже упоминавшееся множество векторов пространства с операциями сложения и векторного умножения.
Определение 1. Кольцом называется множество К с операциями сложения и умножения, обладающими следующими свойствами: 1) относительно сложения К есть абелева группа (называемая аддитивной группой кольца К); 2) а(Ь + с) = аЬ + ас и (а + Ь)с = ас + Ьс для любых а, Ь, с е К (дистрибутивность умножения относительно сложения). Выведем некоторые следствия аксиом кольца, не входящие в число следствий аксиом аддитивной абелевой группы, перечисленных в 52. 1) аО=Оа=О для любого аЕ К.
В самом деле, пусть аО= Ь. Тогда Ь + Ь = аО+ аО = а(0+ 0) = аО = Ь, откуда Ь=Ь вЂ” Ь=О. Аналогично доказывается, что Оа = О. 2) а( — Ь) = (-а)Ь = — аЬ для любых а, Ь Е К. В самом деле, аЬ+ а( — Ь) = а(Ь+(-Ь)) = аО= 0 и, аналогично, аЬ + ( — а) Ь = О. 3) а(Ь вЂ” с) = аЬ вЂ” ас и (а — Ь)с = ос — Ьс для любых а, Ь, с Е К. В самом деле, а(Ь вЂ” с) + ас = а(Ь вЂ” с + с) = аЬ и, аналогично, (а — Ь)с+ Ьс = ас.
Кольцо К называется коммутативным, если умножение в нем коммутативно, т. е. аЬ=Ьа Ыа,Ь, Ь з. кольцА и поля и ассоциативным, если умножение в нем ассоциативно, т.е. (аЬ)с = а(Ьс) та, Ь, с. Элемент 1 кольца называется единицей, если а1 = 1а = а т'а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
