1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Так же, как в случае мультиплнкативной абелевой группы, доказывается, что в кольце не может быть двух различных единиц (но может не быть ни одной). ЗАмечАние 1. Если 1 =О, то для любого а имеем а = а1 = аО = О, т.е. кольцо состоит нз одного нуля. Таким образом, если кольцо содержит более одного элемента, то 1 ~ О. ЗАМЕЧАНИЕ 2.
При наличии коммутативности из двух тождеств дистрибутивности, входящих в определение кольца, можно оставить лишь одно. Аналогичное замечание относится к определению единицы. ПримЕЕ 1. Числовые множества У,, Я, К являются коммутативными ассоциативными кольцами с единицей относительно обычных операций сложения и умножения. ПЕИМЕЕ 2. Множество 2У, четных чисел является коммутативным ассоциативным кольцом без единицы. ПРимер 3. Множество всех функций, определенных на заданном подмножестве числовой прямой, является коммутативным ассоциативным кольцом с единицей относительно обычных операций сложения и умножения функций. Пример 4. Множество векторов пространства с операциями сложения н векторного умножения является некоммутативным и неассоциативным кольцом.
Однако в нем выполняются следующие тождества, которые в некотором смысле заменяют коммутативность и ассоциативность: а х Ь + Ь х а = О (антикоммутативность), (а х Ь) х с+(Ь х с) х а+(с х а) х Ь =О (тождество Якоби). Антикоммутативность очевидна в силу определения векторного Умножения. По поводу проверки тождества Якоби см. пример 8.5. 1б Гл. 1.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ЗАДАЧА 1. Пусть Х вЂ” какое-либо множество и 2 — множество всех его подмножеств. Доказать, что 2х — кольцо относительно операций симметрической разности Мс.'~1'т' = (М ~ 1'т') 0 (М '~, Гт') и пересечения, взятых в качестве сложения н умножения соответственно. Доказать, что это кольцо коммутативно и ассоциативно.
Элемент а ' кольца с единицей называется обратным к элементу а, если аа '=а 'а=1. (В коммутативном кольце достаточно требовать, чтобы аа ' =1.) Так же, как в случае мультиплнкативной абелевой группы, доказывается, что в ассоциативном кольце с единицей никакой элемент не может иметь двух различных обратных элементов (но может не иметь нн одного). Элемент, имеющий обратный, называется обратимым. Определение 2. Полем называется коммутатнвное ассоциативное кольцо с единицей, в котором всякий ненулевой элемент обратим.
ЗАмечАние 3. Кольцо, состоящее из одного нуля, не считается полем. Примерами полей служат поле рациональных чисел Я и поле вещественных чисел К. Кольцо У, не является полем: в нем обратимы только ~1. ЗАдАчА 2. Доказать, что существует поле, состоящее из двух элементов. (Очевидно, что один из этих элементов должен быть нулем поля, а другой — его единицей.) Любое поле обладает следующим важным свойством: аЬ=О =~ (а=О или Ь=О). В самом деле, если а ф О, то, умножая обе части равенства аЬ = О на а ', получаем Ь = О. Существуют и другие кольца, обладающие этим свойством, например, кольцо Е. Они называются кольцами без делителей нуля.
В кольце без делителей нуля возможно сокращение: (ос =Ьс(или са=сЬ) и сфО) ~ а=Ь. В самом деле, равенство ас = Ьс может быть переписано в виде (а — Ь)с = О, откуда при с ф О получаем а — Ь = О, т.е. а = Ь. Э 4. ПОДГРУППЫ, ПОДКОЛКА И ПОДПОЛЯ 17 Приведем пример коммутативного ассоциативного кольца с делителями нуля. ПРИМЕР 5. В кольце функций на подмножестве Х числовой прямой (см. пример 3) есть делители нуля, если только Х содержит более одной точки.
В самом деле, разобьем Х на два непустых подмножества Х, и Х, и положим при 1 =1, 2 (1 при хЕХ,, 'Гогда /'„/' ~0, но 1,Д =О. Отсутствие делителей нуля в поле означает, что произведение любых двух ненулевых элементов также является ненулевым элементом. Ненулевые элементы поля К образуют абелеву группу относительно умножения. Она называется мультипликативной группой поля К и обозначается через К'. 5 4. Подгруппы, подкольца и подпали Пусть М вЂ” множество с операцией о и Д/ — какое-либо его под- ' множество. Говорят, что дг замкнуто относительно операции о, несли / а Ь Е Ж =ь а о Ь Е ДГ. 1 В этом случае операция о определена в множестве ДГ и превращает его в некоторую алгебраическую структуру. Если операция о в М обладает некоторым свойством, имеющим характер тожде- ственного соотношения (например, свойством коммутативности или ассоциативности), то она, очевидно, обладает этим свойством и в Д/.
Однако другие свойства операции о могут не наследоваться подмножеством /т. Так, подмножество адаптивной абелевой группы, замкнутое от- носительно сложения, не обязано быть абелевой группой, так как оно может не содержать нуля или элемента, противоположного какому-либо его элементу. Например, подмножество Ж~ замкнуто относительно сложения в абелевой группе Ж, но не является абелевой группой (и вообще группой), так как не содержит проти- воположного элемента ни к одному своему элементу, кроме нуля.
Определение 1. Подмнцжество В аддитивной абелевой' груп-. пы А называется подгруппг(р, еслй 1) В замкнуто относитель((нт Й11жЖия', 18 Гл. 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 2) аЕВ =Ь -аЕВ; 3) ОЕ В. 3 АМЕЧАИИЕ 1. Легко видеть, что если В непусто, то из первых двух условий вытекает третье. Поэтому третье условие может быть заменено условием непустоты. Очевидно, что всякая подгруппа аддитивной абелевой группы сама является абелевой группой относительно той же операции. ПРимЕР 1. В аддитивной группе К имеется следующая цепочка подгрупп: Е с Я с К.
ПРимЕР 2. В аддитивиой группе векторов пространства множество векторов, параллельных заданной плоскости или прямой, является подгруппой. В любой адаптивной абелевой группе имеются две «тривиальные» подгруппы: вся группа и подгруппа, состоящая только из нуля. ЗАДАЧА 1. Доказать, что всякая подгруппа группы У, имеет вид пХ, где и е У.
(решение этой задачи можно найти в 54.3). Приведем мультипликативный вариант предыдущего определения. Определение 1'. Подмножество В мультипликативной абелевой группы А называется подгруппой, если 1) В замкнуто относительно умножения; 2) аЕВ =ь а ЕВ; 3) еЕВ. ПРимеР 3. В группе К' имеется следующая цепочка подгрупп: тл.1) С "«,1' С К'. Соображения, с которых начинается этот параграф, могут быть распространены на алгебраические структуры с несколькими операциями. Таким образом мы приходим к понятиям подкольца и подполя. Определение 2.
Подмножество Ь кольца К называется подкольцом, если 1) Ь является подгруппой алдитивной группы кольца Х; 2) Ь замкнуто относительно умножения. 19 $ З. ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Очевидно, что всякое подкольцо само является кольцом относительно тех же операций. При атом оно наследует такие свойства, как коммутативность и ассоциативность. ПРИМЕР 4. Цепочка подгрупп аддитивной группы 1к, приведенная в примере 1, является в то же время цепочкой подколец. ПРимеР 5.
При любом п еЖ, множество иЕ является подкольцом кольца У,. (Ср. задачу 1.) ЗАДАЧА 2. Доказать, что все конечные подмножества множества Х образуют подкольцо кольца 2» из задачи 3,1. Определение 3. Подмножество Ь поля Х называется подполем, если 1) Ь является подкольцом кольца .Х; 2) аеЬ, азаО =ь а 'еЬ; 3) 1 ЕЬ.
Очевидно, что всякое подполе является полем относительно тех же операций. П РИМЕ~ б. Поле Я является подполем поля К. ЗАДАЧА 3. Доказать, что подмножество Ь поля Х является подполем тогда и только тогда, когда 1) Ь замкнуто относительно вычитания и деления; 2) Ь э0,1. ЗАДАЧА 4. Доказать, что поле Я не имеет нетривиальных (т.е. отличных от него самого) подполей.
ф 5. Поле комплексных чисел Подобно тому как невозможность деления в кольце целых чисел приводит к необходимости расширить его до поля рациональных чисел, невозможность извлечения квадратных корней из отрицательных чисел в поле вещественных чисел приводит к необходимости расширить его до большего поля, называемого полем комплексных чисел. Для того чтобы лучше понять, что такое поле комплексных чисел, нужно прежде подумать над тем, что такое поле вещественных чисел. Строгое построение поля вещественных чисел обычно приводится в курсе анализа. Мы не будем входить в его детали.
Однако заметим, что имеется несколько определений вещественных чисел: 20 Гл. 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СГРУКГУРЫ как бесконечных десятичных дробей, как сечений Дедекинда множества рациональных чисел и т. д. Формально говоря, при этом получаются различные поля. Какое из них является »настоящим» полем вещественных чисел? Ответ на этот вопрос состоит в том, что все они изоморфны и их следует рассматривать просто как различные модели одного и того же объекта, называемого полем вещественных чисел.
Наиболее удовлетворительным в подобной ситуации всегда является аксиоматический подход, при котором сначала формулируются в виде аксиом свойства, которыми должен обладать искомый объект, а затем доказывается, что этими свойствами он определяется однозначно с точностью до изоморфизма, и с помощью какой- либо конструкции доказывается его существование. В случае поля вещественных чисел такими аксиомами (помимо аксиом поля) могут быть аксиомы порядка, аксиома Архимеда и аксиома непрерывности. Замвчанив 1.
Нетрудно доказать, что любые две модели поля вещественных чисел не просто изоморфны, но между ними имеется е д и н с т в е н н ы й изоморфизм. (Доказательство сводится к доказательству того, что всякий изоморфизм поля Ж на себя тождествен, и основано на соображении, что неотрицательные числа при любом изоморфизме должны переходить в неотрицательные, так как они и только они являются квадратами в поле Ж.) Это означает, что каждый элемент поля Ж имеет свою индивидуальность, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
