1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Энтузиазм слушателей и относительно малое их число позволили мне читать курс на более высоком уровне, чем это принято на механико-математическом факультете МГУ (мехмате), и затронуть ряд тем, не входящих в курс алгебры мехмата. Однако при написании учебника я использовал свой опыт преподавания на мехмате, и его окончательный вариант имеет лишь отдаленное сходство с курсом, прочитанным в НМУ. По содержанию гл.

1 — 4 примерно соответствуют курсу алгебры первого семестра мехмата, а гл. 5 — 7 и отчасти гл. 9 — курсу линейной алгебры и геометрии второго семестра. Оставшиеся главы значительно перекрывают курс алгебры третьего семестра. Они адресованы в первую очередь тем студентам, которые хотят стать алгебраистами. Глава 7 посвящена геометрии евклидовых, аффинных и проективных пространств.

Однако ее ни в коей мере нельзя считать полноценным учебным пособием по геометрии; скорее это алгебраический взгляд на геометрию. В первых четырех главах я постарался сделать изложение настолько подробным, насколько это может быть разумно, если иметь в виду такого читателя, как студент первого семестра мехмата. (Впрочем, язык множеств и отображений используется с самого начала без каких-либо объяснений.) Однако затем я начинаю позволять себе опускать некоторые легко восполнимые детали, считая, что читатель постепенно набирается математической культуры. В книге почти нет технически сложных доказательств.

В соответствии со своим взглядом на математику я стремился заменять выкладки и сложные рассуждения идеями. Кому-то это может показаться трудным, но усилия, потраченные на усвоение идей, окупятся возможностью самостоятельно решать задачи, не рассматриваемые в учебнике. Приведенный в конце книги список литературы на русском языке, которая, на мой взгляд, может быть полезной читателю, безусловно, далеко не полон и даже до некоторой степени случаен. Я искренне благодарен всем бывшим и нынешним сотрудникам кафедры высшей алгебры мехмата, в общении с которыми сложились мои представления о преподавании алгебры. ПРЕЛИСЛОВИЕ Я благодарю редактора учебника Г. М.

Цукерман, в результате тщательной работы которой было обнаружено большое количество неточностей и опечаток, а также главного редактора издательства «Факториал» Ю. Н, Торхова, чей энтузиазм и самоотверженность немало способствовали улучшению качества учебника. Несколько полезных замечаний сделал А. Д. Свердлов, внимательно прочитавший первые две главы. Рисунок на переплете, выполненный иа компьютере Ф. Э. Винбергом, иллюстрирует гомоморфизм ЯЗ«- 30, (см. гл. 13).

О нумерации. Теоремы нумеруются в пределах параграфа. При ссылке на теорему другого параграфа той же главы первая цифра означает номер параграфа, при ссылке на теорему другой главы первая цифра означает номер главы, вторая — номер параграфа. Так, теорема 2 — это теорема 2 того же параграфа, теорема 3.2— это теорема 2 $3 той же главы, а теорема 6.3.2 — это теорема 2 $ 3 гл.

6. То же относится к параграфам, предложениям, примерам, задачам и замечаниям. Формулы и рисунки нумеруются в пределах главы. Э. Б. Винберг Предисловие ко второму изданию Настоящее издание довольно существенно отличается от предыдущего. Основные сделанные изменения имели целью упростить изложение в техническом и идейном плане. В частности, с этой целью полностью переписана глава «Тензорная алгебра». Дано изложение теории абелевых групп, независимое от общей теории модулей над кольцами главных идеалов и подготавливающее читателя к восприятию этой общей теории, если он захочет это сделать. В то же время сделано несколько небольших добавлений.

Так, дано доказательство неприводимости многочлена деления круга на любое число частей; описано приложение теории абелевых групп к исследованию симметрии кристаллов; добавлены некоторые сведения о (тензорных) произведениях и симметрических степенях линейных представлений групп с примером, иллюстрирующим применение этих понятий к физике. Наконец, исправлен ряд опечаток и мелких неточностей, в обнаружении которых мне помогли И. В. Аржанцев, А. П.

Мишина и А. Д. Свердлов. Э. Б. Винберг 31 мая 2000 г. Глава 1 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ Когда вы знакомитесь с новыми людьми, вы прежде всего запоминаете их имена и внешность. После этого, встречаясь с ними в разных ситуациях, вы постепенно узнаете их лучше и некоторые из них, может быть, становятся вашими друзьями.

В первой главе состоится лишь внешнее знакомство читателя с многими из алгебраических структур, рассматриваемых в этой книге. Более глубокое их понимание будет приходить в процессе дальнейшего чтения книги и решения задач. ф 1. Введение Если вообще можно четко определить предмет алгебры, то это изучение алгебраических структур — множеств с определенными в них операциями. Под операцией в множестве М понимается любое отображение МхМ- М, т. е. правило, по которому из любых двух элементов множества М получается некоторый элемент этого же множества. Элементами множества М могут быть как числа, так и объекты другого рода.

Хорошо известными и важными примерами алгебраических структур являются следующие числовые множества с операциями сложения и умножения: й) — множество натуральных чисел, Š— множество всех целых чисел, Е, = й) и (0) — множество неотрицательных целых чисел, Я вЂ” множество рациональных чисел,  — множество всех вещественных (= действительных) чисел, В, — множество неотрицательных вещественных чисел. Подчеркнем, что операции сложения и умножения определены далеко не на всяком числовом множестве. Например, в множестве отрицательных чисел не определена операция умножения, так как произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. В множестве иррациональных чисел не определены ни Гл.

Е АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ сложение, ни умножение, так как сумма и произведение двух иррациональных чисел могут быть рациональными. Приведем примеры алгебраических структур, состоящих не нз чисел. ПРИМЕР 1. Пусть М, йг, Р— какие-то множества н У: Ф-~М, д: Р-.Ф вЂ” какие-то отображения. Лроизеедением, илн композицией, отоб- ражений У и д называется отображение определяемое формулой (Гд)(а) = Г(д(а)) Э'а Е Р, т.е.

результат последовательного выполнения сначала отображения д, а потом Г. В частности, прн М = Ф = Р мы получаем таким образом операцию на множестве всех отображений множества М в себя. Эта операция дает много важных примеров алгебраических структур, называемых группами.

Так, например, согласно аксиоматике евклидовой геометрии, произведение двух движений плоскости есть также движение. Рассматривая в множестве всех движений плоскости операцию умножения, мы получаем алгебраическую структуру, называемую группой движений плоскости. ПРИМЕР 2. Множество векторов пространства с операциями сложения и векторного умножения является примером алгебраической структуры с двумя операциями. Кстати, отметим, что скалярное умножение векторов не является операцией в определенном выше смысле, так как его результат не есть элемент того же множества. Подобные более общие операции также рассматриваются в алгебре, но мы пока не будем об этом думать.

Все приведенные выше примеры являются естественными в том смысле, что они были открыты в результате изучения реального мира н внутреннего развития математики. В принципе можно рассматривать любые операции в любых множествах. Например, можно рассматривать операцию в множестве е,„, ставящую в соответствие любым двум числам чнсло совпадающих цифр в их десятичной записи. Однако лишь немногие алгебраические структуры представляют реальный интерес.

Следует уточнить, что алгебранста интересуют только те свойства алгебраических структур н составляющих их элементов, которые е к введение могут быть выражены в терминах заданных операций. Этот подход находит свое выражение в понятии изоморфизма. Определение 1. Пусть М вЂ” множество с операцией о, а АГ— множество с операцией *. Алгебраические структуры (М, о) и (АГ, *) называются изоморфными, если существует такое биективное отображение что ,1'(ао 6) = У'(а) к г'(Ь) для любых а, 6 е М. В этом случае пишут (М, о) = (Х *).

Само отображение г' называется изоморфизмом структур (М, о) и (Аг, х). Аналогичным образом определяется изоморфизм алгебраических структур с двумя или ббльшнм числом операций. П Р и м к Р 3. Отображение аь 2' является изоморфизмом множества всех вещественных чисел с операцией сложения и множества положительных чисел с операцией умножения, поскольку 2'ьь = 2'2ь Вместо основания 2 можно было бы взять любое положительное основание, отличное от 1. Это показывает, что между изоморфными алгебраическими структурами может существовать много различных изоморфизмов.

Пример 4. Пусть М вЂ” множество параллельных переносов плоскости на векторы какой-либо фиксированной прямой. Для любого вещественного числа а обозначим через г, элемент множества М, представляющий собой перенос на вектор длины ~а~ в одном из двух возможных направлений, определяемом знаком числа а. (Если а = О, то т. — это тождественное преобразование.) Легко видеть, что ,ьь — а где о обозначает умножение (композицию) параллельных переносов. Следовательно, отображение аь ь'. является изоморфизмом алгебраических структур (Ж, +) и (М,о), Ясно, что если две алгебраические структуры изоморфны, то любое утверждение, формулируемое только в терминах заданных операций, будет справедливым в одной из этих структур тогда и только тогда, когда оно справедливо в другой. Гл. 1, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ Например, операция о в множестве М называется коммутативной, если аоЬ=Ьоа для любых а, Ь Е М.

Характеристики

Список файлов книги