1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 8
Текст из файла (страница 8)
е!е, =е,е, Ч~;у, то и умножение в алгебре А в целом коммутативно. В самом деле, для любых а, Ь е А мы тогда в предыдущих обозначениях получаем аЬ =2, а!Ь,(е!е,) =2 Ь,а!(е,е!) = Ьа. Аналогично доказывается, что если умножение базисных векто- ров ассоциативно, т. е. (е!е,)е„= е!(е, е ) тг, ~, й, то и умножение в алгебре А в целом ассоциативно. С другой стороны, если У вЂ” какое-то векторное пространство с базисом (е„е,..., е„) и еп (г, у' = 1,2,..., и) — произвольные векторы этого пространства, то мы можем определить операцию умножения в У по правилу аЬ =2 а<Ьтен и тем самым превратить У в алгебру. 37 $8. АЛГЕБРЫ ПРИМЕР 4, Поле С как алгебра над К задается следующей таблицей умножения базисных векторов: Проверка коммутативности и ассоциативности умножения в С сводится к тривиальной проверке коммутативности и ассоциативности умножения элементов 1 и 1.
ПРИМЕР 5. В ортонормированном (т.е. состоящем из ортогональных единичных векторов) базисе (ю',~', Ц пространства Еа таблица векторного умножения выглядит следующим образом: Это умножение антикоммутативно и удовлетворяет тождеству Якоби (см. пример 3.4). Последнее тождество достаточно проверить для базисных векторов, что не составляет труда (проделайте это!). ПРимЕР 6. Алгебра кватернионов Е задается базисом (1, г, у', Ц со следующей таблицей умножения: Эта алгебра ассоциативна (проверьте это!), но не коммутативна.
Она содержит в качестве подалгебры (см. определение ниже) 38 Гл. Е АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ алгебру комплексных чисел. Позже мы увидим, что в алгебре Б, как н в поле, всякий ненулевой элемент обратим. Таким образом, это «некоммутативное поле». Подмножество алгебры называется подалееброй, если оно одновременно является подпространством и подкольцом. Отображение алгебр называется изоморфизмом, если оио одновременно является нзоморфнзмом векторных пространств и колец. ф 9. Алгебра матриц Матрицей размера т х и над полем К называется прямоугольная таблица из элементов поля К, имеющая т строк и и столбцов.
В буквенной записи элементы матрицы обычно обозначаются одной и той же буквой с двумя индексами, первый из которых есть номер строки, а второй — номер столбца: А = а»! а»з ' ' ат« Иногда ради краткости мы будем писать просто А = (а„), Суммой матриц А = (аи) и В = (Ьи) одинакового размера называется матрица А + В =(аи+ Ьи). Произведением матрицы А = (аи) на элемент Л е К называется матрица ЛА = (Лаи). Относительно этих двух операций все матрицы размера т х г« образуют векторное пространство, которое мы будем обозначать К "".
По сути дела оно не отличается от пространства строк К"", Специфика матриц проявляется при определении их умножения. Произведением матрицы А =(ая) размера т х г«и матрицы В = = (Ь. ) размера а х р называется матрица АВ = (са) размера т х р, элементы которой находятся по формулам с. = 2; аиЬт» з 1 (Смысл этого определения выяснится в $2.3.) Подчеркнем, что произведение двух матриц определено только тогда, когда их размеры согласованы, а именно, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.
39 $9. АЛГЕБРА МАТРИЦ ПРИМЕР 1. О-13 ! 2+О О+2 1 1 ( — 1)+0.5+2.1 1 ! 4 1 ) О 2+( — 1) 0+3 1 О ( — 1)+( — 1) 5+3 1/ ( 3 — 2/ ' ПРИМЕР 2. < сова — в!п а ) ! сов!3 — яп,д '( яп а сова / ( в!п,д сов)3/ сова сов,д — в!п а яп 13 — сова яп!3 — в!па сов!3 '! в!п а соз,8+сова в!п)3 — яп а в!п !3+сова сов!3/ сов(а+!3) — в!п(а+ !3) ) в!п(а+,9) сов(а+!3)/ ' Умножение матриц ассоциативно в том смысле, что (АВ)С = А(ВС), (9) если только размеры матриц А, В, С согласованы таким образом, что указанные произведения имеют смысл.
В самом деле, пусть (АВ)С = (ии), А(ВС) = (ьц). Имеем тогда и„=2,(~ а, Б»/с =2 аць»сц, » ! ,» ьи — — 2,ав(~ Ь,.»сц) = 2„авьт сц, т» »» так что и„= ои. Матрица размера и х и называется квадратной матрицей порядка и. Квадратная матрица имеет две диагонали. Одна из них, ведущая из левого верхнего угла в правый нижний, называется главной диагональю, или просто диагональю, а другая — побочной диагональю. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, находящееся вне (главной) диагонали, равны нулю. Умножение на диагональные матрицы выглядит особенно просто: с , о „, о ьн ь„ ...
ь„ аЬп аь, ... аЬ, О ат О Ьм Ьм Ьз» аз Ьм аз Ьм ат Бя» 40 Гл. !. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ (каждая строка второй матрицы умножается на соответствующий диагональный элемент первой матрицы) и, аналогично, а„аш...а,„Ь, 0 ... 0 ап Ь, ага Ь, ... а,„Ь„ ОЬ,...О ~!Ь! „Ь,... (каждый столбец первой матрицы умножается на соответствующий диагональный элемент второй матрицы). Диагональную матрицу мы будем обозначать д!ад(а„а„..., а„) Диагональная матрица вида 0 1 ...
0 называется единичной матрицей. Из предыдущих формул следует, что для любой матрицы А размера пт х и ЕА=А, АЕ=А, (10) где Е в первом случае обозначает единичную матрицу порядка и, а во втором — единичную матрицу порядка т. Следующие очевидные свойства связывают операцию умножения матриц с другими операциями: А(В + С) = АВ + АС (А + В) С = АС + ВС, (11) (ЛА)В = А(ЛВ) = Л(АВ) !УЛ Е К. (12) (Как и в свойстве ассоциативности, здесь предполагается, что размеры матриц согласованы таким образом, что все указанные действия имеют смысл.) Сумма и произведение квадратных матриц одного и того же порядка ть определены и также являются квадратными матрицами порядка и. Свойства (9)-(12) показывают, что все квадратные матрицы порядка п образуют ассоциативную алгебру с единицей. Мы будем обозначать ее 1.„(Х)').
") Эту алгебру часто обозначают через М„(А ). Буква «Е» в нашем обозначении— зто первая буква слова <!!пеаг» и связана с тем, что матрицы можно интерпретировать как линейные отображения (см. $2.3). 41 й В. АЛГКНРА МКП ИЦ Отметим некоторые котрицательные» свойства алгебры 1„(К) прн п > 2. (Алгебра 1.,(К) есть поле К.) 1) Алгебра 1.„(К) не коммутативна. При и = 2 это можно продемонстрировать на следующем примере: О О О О О О ' О О О О О О Аналогичные примеры можно привести и при и > 2. 2) Алгебра 1.„(К) имеет делители нуля.
Это показывает, например, второе из приведенных выше равенств. Более того, существуют такие ненулевые матрицы, квадрат которых равен нулю, например, О О О О О О О О 3) Не всякий ненулевой элемент алгебры 1„(К) обратим. Это следует из наличия делителей нуля и того факта, что делитель нуля не может быть обратим (см.
доказательство отсутствия делителей н ля в поле, данное в $3). Так, например, матрицы ( О О ) и 11 01 О 11 О ~ необратимы в 1,(Х). ЗАДАЧА 1. Матрица Еч у которой на (г, 7)-и месте стоит 1, а на остальных местах — нули, называется матричной единицей (не путать с единичной матрицей1).
Матричные единицы Ен (г, у' = 1,..., и) образуют базис векторного пространства 1.„(К). Выписать таблицу умножения алгебры 1.„(К) в этом базисе. ЗАДАЧА 2. Матрицы вида ХЕ (Л е К) называются скалярными. Очевидно, что всякая скалярная матрица перестановочна со всеми квадратными матрицами того же порядка. Доказать обратное: всякая квадратная матрица, перестановочная со всеми квадратными матрицами того же порядка, скалярна. ЗАДАЧА 3. Доказать, что в алгебре 1.,(К) матрицы вида образуют подалгебру, изоморфную алгебре комплексных чисел. ЗАДАЧА 4. Доказать, что в алгебре Б (С), рассматриваемой как алгебра над К, матрицы вида 42 Гл.
|. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЪ| образуют подалгебру, изоморфную алгебре кватернионов (см. пример 8.6). Для каждой матрицы А= определим т ранспони рова нн ую мал| рацу оп ат, ... а, А т а12 азт .. ° а~~э а,„пт„... а „ строками которой служат столбцы матрицы А, а столбцами — строки матрицы А. Если (з; у)-й элемент транспонированной матрицы обозначить через ат. то ат а Очевидно, что (.4т)т — А (А -|- В)т =.4т -|- Вт (ЛА)т = ЛАт 'бЛ Е К Докажем, что (АВ)т = ВтА' В самом деле, пусть АВ = С=(с„); тогда ст — с — ~~а Ъ =2 Ьтат » у откуда видно, что Ст = ВтА'. Замечания |. Читатель может проследить, что все построения последних трех параграфов проходят без изменений, если в качестве К взять произвольное комыутативное ассоциативное кольцо с единицей, например, кольцо целых чисел или кольцо вычетов.
Единственное отличие является терминологическим: вместо термина «векторное пространство» в этой более общей ситуации употребляется термин «нодуль». (Сн. в 9.3.) Глава 2 НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 2 1. Системы линейных уравнений Пусть К вЂ” произвольное (но фиксированное) поле. Допуская вольность речи, мы будем обычно называть его элементы числами. Если читателю трудно представить себе произвольное поле, он может считать, что К = К, хотя объективно этот случай ничуть не проще общего. Линейным уравнением с неизвестными х„х„..., х„над полем К называется уравнение вида а, х, + азх, +...
+ а„х„= Ь, где коэффициенты ап а„..., а„и свободный член Ь суть элементы поля К. Линейное уравнение называется однородным, если Ь =О. Система т линейных уравнений с и неизвестными в общем виде записывается следующим образом: он х + амх, +...+ а,„х„= Ь„ а,х,+а х +...+а„х„=Ь, а„,х,+аьлхз+...+а „х„= Ь . Матрица А = оз азз ''' ат а, аз ... а„ называется матрицей коэффициентов, а матрица ан ам ...
а,„Ь, — о'л озз ... аза оз а, аьа ... а Ь вЂ” расширенной матрицей системы (1). 44 Гл. 2. НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае. Совместная система может иметь одно или более решений. Решить систему уравнений — это значит найти все ее решения. Подчеркнем, что одно решение системы уравнений с п неизвестными — это упорядоченный набор из и чисел, т.е. элемент пространства К". Существует простой общий метод решения систем линейных уравнений, называемый методом Гаусса. Его идея состоит в приведении любой системы линейных уравнений с помощью некоторых специальных преобразований, называемых элементарными, к эквивалентной системе некоторого простого вида, все решения которой легко найти. Напомним, что две системы уравнений называются эквивалентными, если множества их решений совпадают, т.е. если каждое решение первой из них является решением второй и наоборот.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
