1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Множество, элементами которого являются классы эквивалентности отношения А, называется фактормножеством множества М по отношению эквивалентности В и обозначается через М|В. Отображение Ь Ь') =ь а* 6 а'* 6'. я я (а а', я В этом случае на фактормножестве М/В также можно определить операцию * по правилу В(а) * А(Ь) = В(а ь 6). (б) М вЂ” ~ М/А, а~-~ А(а), называется отображением факторизации. Так, в третьем из приведенных выше примеров классы эквивалентности — это множества жильцов одного дома. Фактормножество можно отождествить с множеством домов; тогда отображение факторизации — это отображение, ставящее в соответствие каждому человеку дом, в котором он живет. В пятом примере классы эквивалентности — это множества окружностей одного радиуса, фактормножество отождествляется с множеством положительных чисел, а отображение факторизации — это отображение, ставящее в соответствие каждой окружности ее радиус, Пусть в множестве М задана некоторая операция (х, у) ~ х * у.
Отношение эквивалентности В в множестве М называется согласованным с операцией *, если Ь б. КОЛЬЦА ВЫЧЕТОВ 27 В словесном выражении это определение выглядит так: чтобы прризвести операцию над какими-либо двумя классами эквивалентности, надо выбрать в них произвольных представителей, произвести операцию над ними и взять тот класс, в котором будет лежать получившийся элемент. Тот факт, что этот класс ие будет зависеть от выбора указанных представителей, как раз и обеспечивается согласованностью отношения эквивалентности с операцией.
Очевидно, что все свойства операции в М, имеющие характер тождества, например, коммутативность и ассоциативность, наследуются определенной таким образом операцией в М/А. То же самое можно сказать о наличии нули (единицы) и противоположного (обратного) элемента. Более точно, если, скажем, операция в М называется сложением и в М имеется нулевой элемент О относительно этой операции, то А(0) — нулевой элемент в М/Я; если — а — элемент, противоположный элементу а в М, то Л( — а)— элемент, противоположный элементу Л(а) в М/Л.
Приступим теперь к построению колец вычетов. Пусть и— фиксированное натуральное число. Рассмотрим в множестве Е целых чисел следующее отношение сравнимости по модулю и: а сравнимо с 6 по модулю и (обозначение: а= 6 (шод п)), если а — 6 делится на п или, что равносильно, если а и Ь дают одинаковые остатки при делении на и. Очевидно, что это отношение эквивалентности, причем классы эквивалентности могут быть занумерованы числами 0,1,...,и — 1 таким образом, что г-й класс состоит из всех целых чисел, дающих при делении на п остаток г. Класс эквивалентности, содержащий целое число а, называется вычетом числа а ло модулю и и обозначается через ]а]„или просто через ]а], если ясно, какое и имеется в виду.
Фактормножество множества Е по отношению сравнимости по модулю и обозначается через Е„. Мы можем написать, что Е„= (]0]„, ]1]„,..., ]п — 1]„), но следует понимать, что каждый элемент множества Е„можно обозначать по-разному. Так, элемент [1]„может быть с таким же успехом обозначен через ]2и+ 1]„, ] — (п — 1)]„и т. д, Докажем теперь, что отношение сравнимости по модулю и согласовано с операциями сложения и умножения в Е. Пусть а ь— з а' (пюд п), 6 = 6' (шод и) Тогда а+ 6 на'+ Ь ьэ а'+ Ь'(шод и) 28 Гл.
1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ и, аналогично аЬ = а'Ь = а'Ь' (шоб и). Таким образом, мы можем определить в множестве Е„операции сложения и умножения по формулам [а]„+ [Ь)„= [а+ Ь]„, [а]„[Ь), = [аЬ]„ (справедливым для любых а, Ь Е Е). Тем самым Е„превращается в коммутативное ассоциативное кольцо с единицей. Оно называется кольцом вычетов по модулю гг.
ПРИМЕР 6. Ниже приведены таблицы сложения и умножения в кольце Е,. При этом ради простоты квадратные скобки в обозначениях элементов этого кольца опущены. Мы видим, в частности, что элементы 2 и 3 взаимно обратны, а элемент 4 обратен сам себе. ПРимеР 7. Вычислим [2]ко в кольце Е„,: [2]г [128] [3]~ [2]зг ([2]г)г [З)г [243] [ 7] [2]гг [2]м([2)г)г[2) [ 7)[3]г[2] [ 126] [ 1) [2]ко ([2)го)г [1] Полученный результат означает, что 2'гь:— 1 (шос1 125). Учитывая, что 2'гь делится на 8, получаем 2'гг = 376 (шоб 1000), т.е. десятичная запись числа 2'гь оканчивается на 376.
Кольцо Е„ обладает всеми свойствами поля, кроме, быть может, обратимости ненулевых элементов. Очевидно, что Е, — поле из двух элементов, о котором шла речь в задаче 3.2. Рассмотрение 29 $6. КОЛЬЦА ВЫЧЕТОВ приведенной выше таблицы умножения в кольце Е, показывает, что Ез — также поле. С другой стороны, ń— не поле, так как элемент [2] в этом кольце необратим. Теорема 1. Кольцо Е„является полем тогда и только тогда, когда и — простое число. Доказательство. 1) Пусть и составное, т.е, и= к1, где 1 < к,1 < и.
Тогда [к]„, [1]„ФО, но [Ц„[1]„= [к(]„= [и]„= О. Таким образом, в кольце Е„имеются делители нуля и, значит, оно не является полем. 2) Пусть, напротив, и — простое число и [а]. ~ О, т.е. а не делится на и. Будем искать элемент, обратный к [а]„, подбором, т.е. умножая [а]„ по очереди на все элементы кольца. Получим элементы [О]„[а]„, [2а]„, ..., [(и — 1)а]„. (?) Докажем, что все они различны. В самом деле, если [/са]„ = [1а]„ (О < й < 1 < и — 1), то [(1 — к)а]„ = О, т.е.
(1 — й)а делится на и, что невозможно, так как ни 1 — к, ни а на и не делятся. (Здесь мы использовали то, что и простое.) Следовательно, в последовательности элементов (?) встречаются все элементы кольца Е„, в том числе [1]„, а это и означает, что элемент [а]„ обратим. С1 ЗАДАЧА 1. Доказать, что при любом и элемент [Ц обратим в кольце Е„тогда и только тогда, когда и и Й взаимно просты. В полях вычетов мы встречаемся с новым явлением, не имевшим места в числовых полях (подполях поля комплексных чисел). А именно, в поле Е„(и простое) выполняется равенство 1+1+... + 1 =0. и (8) (Конечно, это верно и в кольце Е„ при любом и.) Это приводит к некоторым особенностям алгебраических преобразований в этом поле, о которых мы скажем ниже. Пусть, вообще, Л вЂ” произвольное поле. Наименьшее натуральное и, для которого в поле К выполняется равенство (8), называется характеристикой этого поля; если такого и не существует, то говорят, что К вЂ” поле нулевой характеристики.
Таким образом, Е„(и простое) — поле характеристики и, а числовые поля имеют нулевую характеристику. Характеристика поля К обозначается через спаг К. ЗО Гл. Е АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ Если сйаг К = и, то для любого а Е К а+ а+... + а= 1+ 1+... + 1)а=Оа= О. В Характеристика поля, если она положительна, всегда является простым числом.
В самом деле, пусть с)заг К = и = Ь1 (1 < Ь, 1 < и). Тогда 1+1+...+1= 1+1+...+1 1+1+...+1 =О и л ! и, значит, либо 1 + 1+... + 1 = О, либо 1+ 1+... + 1 = О, что о ! противоречит определению характеристики. Большинство формул элементарной алгебры справедливы в любом поле, так как при их выводе используются только те свойства операций сложения и умножения, которые входят в число аксиом поля или являются их следствием. Особенность полей положительной характеристики проявляется только в тех формулах, которые содержат умножение или деление на натуральные числа.
Рассмотрим, например, формулу (а+ Ь)о = аз + 2ад+ Ьо. Она справедлива в любом поле, если понимать 2аЬ как аЬ+ аЬ. Однако в поле характеристики 2 она принимает более простой вид (а+ Ь)' = по+ Ь' Более общо, в поле характеристики р справедливо тождество (а+ Ь)л = ал+ Ьл. В самом деле, по формуле бинома Ньютона (а+ Ь)' = 2, Слал "Ь'. л э=о Однако при О( Ь ( р с,' = 'о=-о — -~= — '-~ ь! (число сочетаний из р ио й), очевидно, делится на р. Следовательно, все слагаемые формулы бинома Ньютона, кроме первого и последнего, в рассматриваемом случае равны нулю. ЗАЛАЧА 2.
Вывести отсюда, что в поле Е, справедливо тождество аг = а. (Другое доказательство последнего факта, называемого малой теоремой Ферма, будет дано в $4.5.) $7. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Хуже обстоит дело, когда приходится делить на натуральное число, например, когда мы находим выражение для аЬ из выписанной выше формулы квадрата суммы. Для того чтобы придать смысл этому делению в любом поле, можно рассматривать умножение на натуральное число Ь как умножение на элемент 1+ 1+... + 1 данного поля; тогда деление на й можно понимать как деление на этот элемент.
Однако если Ь делится на характеристику поля, то этот элемент равен нулю и деление невозможно. Так, формула для решения квадратного уравнения, содержащая деление на 2, применима в указанном смысле в любом поле характеристики ф 2, но в поле характеристики 2 она не работает. ПРИМЕР 8. Решим квадратное уравнение хз+ х — 1 =0 в поле Еи.
По обычной формуле находим: Так как [5] = [16] = [4]', то можно считать, что ~/[5] = [4] (одно из значений квадратного корня). Следовательно, (-Ц-[4] ~-5~ (6] р] (з1 121 12! ф у. Векторные пространства Векторы, рассматриваемые в элементарной геометрии, можно не только складывать, но и умножать на числа. Анализ свойств этих двух операций приводит к понятию векторного пространства. Прежде чем мы дадим определение, необходимо отметить, что здесь мы выходим за рамки того понимания операции на множестве, которое принималось до сих пор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
