1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Определение 1. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются преобразования следующих трех типов: 1) прибавление к одному уравнению другого, умноженного на число; 2) перестановка двух уравнений; 3) умножение одного уравнения на число, отличное от нуля. Подчеркнем, что при элементарном преобразовании 1-го типа изменяется только одно уравнение — то, к которому прибавляется другое, умноженное на число. Очевидно, что всякое решение исходной системы уравнений является решением новой системы, полученной элементарным преобразованием.

С другой стороны, исходная система уравнений может быть получена из новой системы подходящим элементарным преобразованием того же типа. Так, если мы прибавим к первому уравнению второе, умноженное на с, то можно вернуться назад, прибавив к первому уравнению новой системы ее второе уравнение (оно такое же, как у исходной системы), умноженное на — с. Поэтому при любом элементарном преобразовании мы получаем систему уравнений, эквивалентную исходной. Так как нам удобнее работать не с самими системами линейных уравнений, а с их (расширенными) матрицами, дадим соответствующее определение для матриц.

Определение 1'. Элементарными преобразованиями строк матрицы называются преобразования следующих трех типов: и ° 45 $ Е СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 1) прибавление к одной строке другой, умноженной на число; 2) перестановка двух строк; 3) умножение одной строки на число, отличное от нуля. Очевидно, что всякое элементарное преобразование системы линейных уравнений приводит к соответствующему элементарному преобразованию ее матрицы коэффициентов и расширенной матрицы. Покажем теперь, что с помощью элементарных преобразований строк любую матрицу можно привести к достаточно простому виду.

Назовем ведущим элементом ненулевой строки (а„а„..., а„) Е Е К" ее первый ненулевой элемент. Определение 2. Матрица называется ступенчатой, если 1) номера ведущих элементов ее ненулевых строк образуют строго возрастающую последовательность; 2) нулевые строки, если они есть, стоят в конце. Таким образом, ступенчатая матрица — это матрица вида 0 ~а...... (2) в которой элементы ан .

а , ,а , находящиеся в углах ступени ~ чатой линии, отличны от нуля, а все элементы, находящиеся слева от этой линии и ниже нее, равны нулю. При этом т', <зт «... ,т',. Теорема 1. Всякую матрицу путем элементарных преобразований строк можно привести к ступенчатому виду.

Доказательство. Если данная матрица нулевая, то она уже ступенчатая. Если она ненулевая, то пусть т, — номер ее первого ненулевого столбца. Переставив, если нужно, строки, добьемся того, чтобы а,, фО. После этого прибавим к каждой строке, начиная л со второй, первую строку, умноженную на подходящее число, с таким расчетом, чтобы все элементы ~,-го столбца, кроме первого, стали равными нулю. Мы получим матрицу вида (Ъ 'гй) Поступая таким же образом с матрицей А,, мы в конце концов получим матрицу вида (2).

П 46 Гл. 2. НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 3 А меч Ание 1. В этом доказательстве мы обошлись без элементарных преобразований 3-го типа. Однако на практике они могут быть полезны. ПРимеР 1. Приведем к ступенчатому виду матрицу 2 1 — 1 3 — 2 Вычитая из 2-й, 3-й и 4-й строк 1-ю строку, умноженную на 1, 2 и 2 соответственно, получаем матрицу с 1 2 1 О 2~~ О 1 1 — 1 2 Π— 3 — 3 3 — 6 Π— 4 — 4 3 — 3 Далее, прибавляя к 3-й и 4-й строкам 2-ю строку, умноженную на 3 и 4 соответственно, получаем матрицу ~!!! ~~) Наконец, переставляя 3-ю и 4-ю строки, получаем ступенчатую матрицу О О О -1 5 ЗАМЕЧАНИЕ 2. Предыдущий пример специально подобран таким образом, чтобы з'„тю..., у', не были просто первыми т членами натурального ряда. Такая ситуация является в определенном смысле исключительной.

Например, 2', ~ 1 только при условии, что первый столбец исходной матрицы нулевой. Как правило, ~,=2, ..., 2',=г. Л=1, В этом случае матрица (2) называется трапецеидальной. Применим доказанную теорему к решению систем линейных уравнений. $ Е СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4? Омределеиме 3. Система линейных уравнений называется ступенчатой, если ее расширенная матрица ступенчатая.

Из теоремы 1 следует, что всякую систему линейных уравнений с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду. Поэтому нам достаточно научиться решать ступенчатые системы. Введем некоторую терминологию. Квадратная матрица А = (ав) называется (верхней) треугольной, если аь =О при Т > у, и строго треугольной, если, кроме того, аа ФО при всех в'. Система линейных уравнений называется (строго) треугольной, если ее матрица коэффициентов (строго) треугольна. ЗАмечАние 3. Квадратная матрица А =(ав) называется нижней треугольной, если аь =О при г < т. Рассмотрим теперь произвольную ступенчатую систему линейных уравнений. Пусть число ненулевых строк (число ступенек) ее матрицы коэффициентов равно т, а число ненулевых строк расширенной матрицы равно г.

Очевидно, что г = т или г + 1, Возможны следующие три принципиально разных случая. 1-й случай. г=т+1. В этом случае система содержит уравнение вида Ох, +Ох, +... +Ох„= Ь, где Ь Ф О, н, следовательно, несовместна. 2-й случай. г=г=п. В этом случае после отбрасывания нулевых уравнений получается строго треугольная система.

Из ее последнего уравнения однозначно определяется х„, затем из предпоследнего уравнения определяется х„, и т. д. Следовательно, система имеет единственное решение. 3-й случай. г=г<п. Пусть в этом случае то.у'„...,.з'„— номера ведущих коэффициентов ненулевых уравнений системы, Неизвестные х,, х,,..., хз назовем главными, а остальные — свободными. После отбрасывания нулевых уравнений н перенесения членов со свободными неизвестными в правую часть получается строго треугольная система относительно главных неизвестных.

Решая ее, как в предыдущем случае, находим выражения главных неизвестных через свободные. Этн выражения называют общим Решением системы. Все решения системы получаются из общего Решения подстановкой каких-то значений свободных неизвестных. Поскольку эти значения могут выбираться произвольно, система имеет, во всяком случае, более одного решения, а если поле Л" бесконечно, то бесконечно много решений. Гл.

2. НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае, как следует из проведенного выше анализа, она имеет бесконечно много решений, если только поле Л бесконечно. Ее общее решение с точностью до перенумерации неизвестных имеет вид х, = с„х, „, + с,2х,, +... + с~ „„х„+ о'„ х =ст!х„+спх 2+ ° ° ° +от„х +дз, (3) ПРИМЕР 2. Решим систему уравнений х, +2х,+ х, =2, х, + Зх, +2х — х„=4, 2х, + х,— х,+Зх,= — 2, 2х, — 2х + х,=1, расширенной матрицей которой служит матрица из примера 1. Вычисления, проведенные в примере 1, показывают, что данная система эквивалентна ступенчатой системе х,+2х +хз =2, х +х,— х4=2, — х, =5. Считая неизвестные х„х„х, главными, а неизвестное х, — свободным, перепишем систему в виде х, +2х, = — х,+2, х — х = — х+2, — х, = 5.

Решая ее относительно х„х,, х„находим общее решение х, = хз+8, ,— з, х, = — 5. ЗАмечАние 4. Для единообразия можно считать, что в случае определенной системы все неизвестные являются главными, а свободные неизвестные отсутствуют. Общее решение есть тогда единственное решение системы. $1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 49 Строго треугольную матрицу можно путем элементарных преобразований строк привести к единичной матрице. Для этого нужно сначала к каждой строке, кроме последней, прибавить последнюю строку с таким коэффициентом, чтобы элемент последнего столбца стал равным нулю, затем аналогичным образом, прибавляя предпоследнюю строку, сделать равными нулю все элементы предпоследнего столбца, кроме диагонального, и т.

д. В результате мы получим диагональную матрицу. Умножая ее строки на подходящие числа, мы получим единичную матрицу. Пользуясь этим, можно при решении системы линейных уравнений не останавливаться на ступенчатом виде, а, продолжив преобразования, привести матрицу коэффициентов при главных неизвестных к единичной матрице. Тогда общее решение просто считывается с полученной матрицы. Эта процедура называется обратным ходом метода Гаусса, ПРИМЕР 3.

Продолжим преобразование примера 1, предварительно отбросив нулевую строку. Вычтя из 2-й строки З-ю, получим матрицу Вычтя из 1-й строки удвоенную 2-ю и умножив 3-ю строку на — 1, получим матрицу Таким образом, система уравнений из примера 2 эквивалентна системе х, — лз =8, '„+., =-3, х, = — 5. Перенося члены с лз в правую часть, получаем уже найденное выше общее решение.

Характеристики

Список файлов книги