1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 5
Текст из файла (страница 5)
в любой модели могут быть идентифицированы числа 10, чг2, я и т. д. Дадим теперь аксиоматическое определение поля комплексных чисел. Определение 1. Полем комплексных чисел называется всякое поле я., обладающее следующими свойствами: 1) оно содержит в качестве подполя поле И вещественных чисел; 2) оно содержит такой элемент в, что аз = — 1; 3) оно минимально среди полей с этими свойствами, т.е. если Х с С вЂ” какое-либо подполе, содержащее К и з, то Х = С.
зАмечАние 2. из равенства х'+1=(х — з)(х+з) следует, что уравнение х' = — 1 имеет в С ровно 2 решения: з и — з. Если какое- либо подполе содержит одно из этих решений, то оно содержит и другое. Теорема 1. Пале комплексных чисел существует и единственно с точностью до изоморфизма, переводящего все вещественные числа в себя. Каждое комплексное число однозначно представляется в виде а+Ьа, где и, Ь Е Ж, а в — (фиксированный) элемент, квадрат которого равен — 1.
$5. ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 21 Доказательство. 1) Пусть С вЂ” какое-тополе комплексных чисел (если оно существует). Рассмотрим его подмножество К=(а+Ьт: а, ЬЕК). Из свойств операций в поле и соотношения ~' = — 1 следует, что (а, + Ь 1)+(от+ 6т1) =(а, + от)+(Б, + Ьз)г', (1) (а, + Ь,т')(а + 626) =(а,а: — Ь,Ь )+(а,Ь2+ Ь,ат)6.
(2) Решая соответствующие уравнения, находим также, что — (а+ 64 ) = ( — а) + ( — Ь)т', (3) (а+Ь() ' =, + ~--~ — т)г при а + Ь фО. (4) Формулы (1) — (4) показывают, что .К вЂ” подполе. Так как Тс, очевидно, содержит К и 1, то К = С. Таким образом, каждый элемент поля С представляется в виде а + Ье, где а, Ь Е К. Докажем, что такое представление единственно. Пусть а, + Б, 6 = а + Ь 1, а„Ь„а, Ь, Е К. Тогда а, — =(Ь вЂ” Ь,)1. Возводя это равенство в квадрат, получаем (а — )'=-(Ь -6)' откуда а,— а,=ьт — Ь,=О, что и требовалось доказать. Если теперь С' — другое поле комплексных чисел и ~' Е С'— такой элемент, что (г')' = — 1, то, поскольку формулы (1) и (2) остаются справедливыми при замене г на ~', отображение Г":С- С', а+61~ а+Бз' (а,ЬЕК), является изоморфизмом поля С на поле С'. 2) Предыдущее исследование подсказывает, как доказать существование поля комплексных чисел.
Рассмотрим множество С пар (а, Ь), где а, 6 Е К. Определим в нем сложение и умножение по формулам (а„Ь,) +(а„ьэ) = (а, + а, Ь, + Ь ), (а„Ь,)(а2, Ьз) = (а,ат — Ь,ью а, Ьт+ Ь,ат), 22 Гл. 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ подсказанным формулами (1) и (2). Очевидно, что С является абелевой группой относительно сложения (ср. пример 2.3) и что умножение дистрибутивно относительно сложения и коммутативно. Непосредственной выкладкой проверяется ассоциативность умножения. Таким образом, С вЂ” коммутативное ассоциативное кольцо. Так как (а, Ь)(1, 0) = (а, Ь), то элемент (!, 0) — единица кольца С. Формула (4) подсказывает, как должен выглядеть элемент, обратный к (а, Ь) при а'+ Ь' фО. И, действительно, непосредственная проверка показывает, что (, )( ь ) ( О) Следовательно, С вЂ” поле. Далее, (а„О)+(а„О) =(а, + а, 0), (а„О)(а„О) = (а,а, 0), т.е.
операции над парами вида (а,О) сводятся к соответствующим операциям над их первыми компонентами. Условимся отождеств- лять пару (а, 0) с вещественным числом а. Тогда мы можем сказать, что построенное поле С содержит поле К в качестве подполя. Положим г' =(О, 1); тогда г'=( — 1,0) = — 1, о+ЬЕ=(о, Ь) при а, ЬЕК. Таким образом, каждый элемент поля С (однозначно) представляется в виде а+ Ьг, где а, Ь Е К. Поэтому если какое-либо подполе К С С содержит К и г, то Тй = С. Следовательно, С вЂ” поле комплексных чисел.
С) Представление комплексного числа с Е С в виде а+ ЬГ (а, Ь Е К) называется его алгебраической формой; при этом число а называется вещественной частью числа с и обозначается через Ке с, а число Ь называется мнимой частью числа с и обозначается через 1тс. Комплексные числа, не являющиеся вещественными, называются мнимыми; числа вида Ьг'„где Ь е К, называются чисто мнимыми. Если в первой части доказательства теоремы в качестве С' взять то же поле С, а в качестве ~' — элемент — з, то мы получим, что отображение с = а+ Ьз ~-+ с = а — ЬЕ (а, Ь Е К), 23 $ З. ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ является изоморфизмом поля О на себя.
Оно называется комплексным сопряжением. Вообще, изоморфизм какой-либо алгебраической структуры на себя называется ее аетоморсризмом, Таким образом, комплексное сопряжение с и с есть автоморфизм поля комплексных чисел. Очевидно, что с = с. Вещественные числа характеризуются тем, что они совпадают со своими сопряженными. Отсюда следует, что для любого с е О числа с+ с и сс вещественны. В самом деле, с+с=с+с=с+с, сс = сс = сс.
Легко видеть, что если с = а+ ЬЕ (а, 6 Е К), то с+с=2а, се= аз+ Ьз. (5) Комплексные числа можно изображать точками или векторами на плоскости. А именно, число с = а+ Ьс' изображается точкой или вектором с декартовыми координатами (а, Ь) (рис. 1). Иногда удобнее представление " с=а+си комплексных чисел точками, иногда — векто- 1 рами. При векторном представлении сложению комплексных чисел соответствует обыч- 1 нее сложение векторов по правилу параллелограмма (или эквивалентному ему правилу 1 треугольника). О а а Отметим, что разность комплексных чисел с, и Рис. 1 с, представляется вектором, соединяющим точки, изображающие с, и с, (рис. 2). Вместо декартовых координат на плоскости иногда бывает удобно использовать полярные. Это приводит к следующим понятиям.
Рис. 2 Модулем комплексного числа с = а+ ЬЕ на- зывается длина вектора, изображающего это число. Модуль числа с обозначается через ~с~. Очевидно, что !с! = Л+ 62. Аргументом комплексного числа называется угол, образуемый соответствующим вектором с положительным направлением оси абсцисс. Аргумент определен с точностью до прибавления целого кратного 2я. Аргумент числа О не определен. Аргумент числа с обозначается через агес. 24 Гл. 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ Пусть т и ьь — модуль и аргумент числа с (рис.
3). Очевидно, что а.=гсов!о, Ь= та!п у, откуда с = т(сов р+ ь в!п !ь). Такое представление комплексного числа называется его тригонометрической формой. Так как тригонометрическая форма данного комплексного числа определена однозначно с точностью до прибавления к р целого кратного 2я, то при т„т,>0 т,(сов р, + ь' в|п у,) = т,(сов р, + ~ в!п р,) ч=ь = (т, =т„~р, = !ь +2Ис, Й ЕЕ).
Тригонометрическая форма комплексных чисел хорошо приспособлена к таким операциям, как умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня. А именно, из формул для косинуса и синуса суммы двух углов следует, что т,(соыр, + г в!и ьь,) . т (сов р, + ь' в!п р,) = = т1 тз(сов(!ь1 + фз) + ь в!п(!ь1 + дз)), 2~~~~ тз+ мь Ю2~ (т(сов !ь+ ! в!п !ь))" = т"(сов а!ь+ ь в)п тир) (формула Муавра) Извлечение корня и-й степени из комплексного числа с = = т(сов !ь + 4 в!п р) есть решение уравнения а" = с. Пусть !а~ = з, агдя=ф; тогда з"=т, тгф= р+2яй ()г еЕ).
Следовательно, Е +2ка и з = ~/т (арифметическое значение корня), Окончательно получаем г= дт ~сов „г- / Е+ 2ка ° . Е+2ка +(в!п т. е. при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Отсюда вытекают следующие формулы для деления и возведения в степень: 25 5 б. КОЛЬЦА ВЫЧЕТОВ Одинаковые значения г получаются по этой формуле тогда и только тогда, когда в качестве Ь берутся числа, сравнимые по модулю и. Отсюда следует, что при с ~ О уравнение з" = с имеет ровно и решений, получаемых, например, при Ь =О, 1,..., и — 1. В геометрическом изображении эти числа располагаются в вершинах правильного г»-угольника с центром в начале координат (см.
рис. 4, где изображен случай и = 8). Риа 4 5 6. Кольца вычетов Расширения кольца целых чисел приводят к цепочке колец Жс12с Кс С, в которую, как мы позже увидим, можно вставить и другие звенья (в том числе и продолжить ее вправо). Кольца вычетов определяются также на основе целых чисел, но идея их определения совершенно иная. Это часто используемый в математике прием «склейки» вЂ” образования фактормножества по отношению эквивалентности.
Пусть М вЂ” какое-либо множество. Всякое подмножество гс с с М х М называется отношением на множестве М. Если (а, 6) Е Е В, то говорят, что элементы а и Ь находятся в отношении Я, и пишут агсЬ. Приведем примеры отношений. ПРимеР 1. М вЂ” множество людей; аВЬ, если а знает 6.
ПРимеР 2. М то же самое; а116, если а и Ь знакомы. ПРИМЕР 3, М то же самое; аВЬ, если а и 6 живут в одном доме. ПРИМЕР 4. М= К; аЯЬ, если а< Ь. ПРИА4ЕР 5. М вЂ” множество окружностей на плоскости; аАЬ, если окружности а и 6 равны, т.е. переводятся одна в другую движением. Отношение»«1 называется отношением эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами: 1) аВа (рефлексивность); 2) аЛЬ =ь ЬЯа (симметричность); 3) аЛЬ и ЬЯс =~ аЯс (транзитивность). 26 Гл. |. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЪ| Из приведенных выше примеров отношений только третье и пятое являются отношениями эквивалентности: первое и четвертое не симметричны, а второе симметрично, но не транзитивно.
Отношение эквивалентности обычно записывается как а- 6 или просто а- 6. Пусть А — отношение эквивалентности на множестве М. Для каждого а Е М положим А(а) = (6 Е М: а Ь). Из свойств отношений эквивалентности легко выводится, что аЕ Е В(а) и В(а) Г| А(6) ф|с| =~ В(а) = В(6). Таким образом, подмножества В(а) образуют разбиение множества М, т.е. покрывают его и попарно не пересекаются. Они называются классами эквивалентности отношения В. Два элемента эквивалентны тогда и только тогда, когда онн принадлежат одному классу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
