1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 82
Текст из файла (страница 82)
У к а з а н и е: теорема сводится к задачам 18.12, 19.14. 19.17. Если система уравнений содержит т уравнений с и неизвестными, и ранг основной матрицы равен г, то: 1) п = г; 2) т = г (у к а з а н н е: применить теорему Фредгольма); 3) и ) г; 4) гп = п = г. 19.18. 1) Несовместна; 2) совместна„З) несовместна. 19.19. 1) Система уравнений совместна при о = О, а = 1. При о = 0 фундаментальная матрица сгоп при о = 1 фундаментальная матрица та же, частное решение сгп 2) Система уравнений совместна при о = О, о = 1. При гг = 0 фундаментальная матрица Аззз, при о = 1 фундаментальная Ответы и указаиин ных уравнений агхг + ... + а„х„= а, 6|хг + ... + Ь„х„= Ь, аг ...а„а 6, ... Ь„ Ь Ьгх1 + ...
+ Ь„х„= Ь есть г8 =1. Указание Ь,...Ь„Ь сравнить каждое из данных уравнений с системой, полученной объединением всех уравнений. 19.23. У к а з а н и е аналогично указанию в 19.22. 19.24. Системы эквивалентны. 19.25. 1) Эквивалентны; 2) эквивалентньц 3) не эквивалентны. 19.26. Системы эквивалентны. 19.32. У к а з а н и е: система уравнений для вычисления коэффициентов имеет основную матрицу с определителем Вандермонда И~ (аю ..., ак ы) (см.
задачу 14.28, 8)). 19.33. хз— а1 61 1 аг Ьг 1 аз 6з 1 а4 641 а1 Ь1 1 — бхг+11х — 5. 19.34. 1) г8 аг 6г 1 = 3; 2) г8 аз Ьз 1 х+у х аз+ Ьг аг аг+ Ьг аг г г аз + Ьз аз у Ь, Ь,1 Ьз 1 х у 1 19.35. а1 6| 1 = О, 19.36. аг Ьг 1 А1 В1 Аг Вг Аз Вз А4 Ве Аг В1 19.3Т. 1) г8 4г Вг Аз Вз А| Вг Сг Аг Вг Сг; 2) г8 Аз Вз Сз ( гб 1 матрица та же, частное решение — сшг. 3) Система уравнений 18 совместна при ее = О, а = 1, ег = 2. При а = 0 фундаментальная матрица Аыг, при ее = 1, ее = 2 фундаментальные матрицы те же; частное решение при ег = 1 равно с1эз, при ее = 2 частное решение равно сгы.
19.20. Система совместна, если: 1) все Л; различны, или 2) при некотором 1 выполнено Л; = р. В случае 1) решение л,-„ единственно: хь = П ', Ь = 1, ..., п. В случае 2) в качестве ,~„л;-л,' частного решения можно взять столбец, у которого все компоненты„ кроме г-й, равны О, а х; = 1. Для описания фундаментальной системы решений заметим, что базиснымн неизвестными являются те неизвестные, которым соответствуют всевозможные различные столбцы коэффициентов. Поэтому Ь-е решение из фундаментальной системы решений имеет Ь-е свободное неизвестное, равное 1, базисное неизвестное, которому соответствует такой же столбец коэффициентов, равное — 1, а остальные компоненты Й-го решения фундаментальной системы равны О.
19.21. У к а з а н и е: представить решение однородной системы уравнений как разность двух решений неоднородной системы. 19.22. 3) Необходимое и достаточное условие попарной эквивалентности нетривиаль- Ответи и указания 416 19.38. 1) Прямые пересекаются в единст- прямые пересекаются в единственной точке. аг Ьг сг 1 аг Ь2 с2 аз Ьз сз 1 а4 Ьз с4 1 19.39.
Ц гк = 4; 2) гй 19.40. 1) Все точки лежат в одной плоскости; 2) данные точки не з~ + уг 2+ 62+ сг аЗ-~-6~+ с~ а4 + 64+ с4 з у 2 1 аг 62 сг 1 аг 62 сг 1 аз Ьз сз 1 лежат в одной плоскости. 19.41. а4 Ь4 с4 1 Ьг сг 1 62 сг 1 аг аг аг Ьг сг 1 19.42. 1) гй аг Ьг сг 1 аз Ьз сз 1 =3; 2) гй > 3 а Ь с 1 й; 2) точки не ле 19.43. 1) Все точки лежат на одной я у аг 64 жат на одной прямой.
19.44. аг 62 аз Ьз см. решение задачи 19.35. 19.45. 1) прямо г 1 Сг 1 =О. Указание: сг 1 сз 1 т=в=1; 2) 3)т=1,В=2,тдет=гК ! В Аг Вг Сг 2 2 2 19.46. 1) т = В = 1; 2) т = В = 3; 3) т Аг Вг Сг 5) т = 2, В = 3, где т = гй Аг Вг Сг Аз Вз Сз 19.47.
1) Плоскости образуют призму; общую прямую. 19.48. 1) т = Л = 3; 2) т т=в=2; Аг Вг Сг Рг Аг Вг Сг Рг =Я=2; 4) т=1, В=2; Аг Вг Сг Рг В = гй Аг Вг Сг Рг Аз Вз Сз Рз 2) плоскости имеют одну = 2, В = 3; 3) т = 2, В = 2; Аг Вг Сг А В С Аз Вз Сз А4 В4 С4 ются; 2) п Аг Вг Сг Рг А2 В2 С2 Р2 Аз Вз Сз Рз А4 В4 С4 Р4 4) т = 3, Е = 4, где т = гй 19.49. 1) Прямые скрещива рямые пересекаются. 20.1.
1) Нет; 2) да„З) нет. 20.3. 1) Да; размерность равна 1. 2) Да; размерность равна и — 1. 3) Да; размерность равна п — 1. 4) Нет. 20.4. 1) Да; размерность равна 1. 2) Да; размерность равна 2. 3) Нет. 4) При а = 0' и при сг = 90' данное множество является линейным подпространством размерности 1, при О' < сг < 90' не является линейным подпространством.
20.5. Размерность Аг Вг Сг < гй Аг Вг Сг Аз Вз Сз А4 В, С, венной точке; 2) аг Ьг сг 1 а2 62 с2 1 аз Ьз сз 1 а4 Ь4 с4 1 аз Ьз сз 1 Ответи и укиэиним пространства равна тп. Базис образуют занумерованные в каком-нибудь порндке матричные единицы (см, введение к 3 15). Стандартный базис указан во введении к гл. 8. 20.6. 1) Да; размерность равна п(п — 1). 2) Да; размерность равна и.
3) Да; размерность равна п(п + 1)/2. 4) Да; размерность равна п(п + 1)/2; 5) Да; размерность равна п(п — 1)/2. 6) Нет. 20.7. 1) Да; 2) да; 3) да; 4) да; 5) нет; 6) нет; 7) да; 8) нет; 9) нет; 10) нет; 11) нет. 20.8. 1) Размерность равна и+ 1; базис: 1, 1, ..., 1".
2) Размерность равна [п/2[+ 1; базис: 1, дг, ..., 1г" (к = [п/2[). 3) Размерность равна [(п + 1)/2[; базис: 1, дз, ..., дгь д (к = [(п+ 1)/2]). 4) Размерность равна 2п+ 1; базис: 1, созе, зшг, ..., сов пд, зшпб 5) Размерность равна и+ 1; базис: 1, сов д, ..., сов п1. 6) Размерность равна п; базис зшд, зш21, ..., з1пп1. 7) Размерность равна 2п+ 1; базис: е ', е 'созд, е д здцд, ..., е'"~созпг, е"д едина 20ЛО. 1) ( — 11); 2) (1, — З)т; 3) ( — 3, 1/2, — 5) 0 1/2 -14/3 4) (5, — 11, 14, — 2) . 20.11. 7/2 1 — 3 .
20.12. 1) (О, 16/3 1 — 1 5); 2) ( — 4, 11, 5); 3) — (7, 9, 4, 0) . 20,13. 1) сгв = 10сз4 — 7сзз; 5 2) сего = сз4 — 2свз; 3) саед = сдзз — сдав — сдее; 4) сгоз = — сше+ сдаг, сгов = сдав + сдзд. 20.14. 1) РазмеРность Равна 1; базис сд. 2) Размерность равна 2; бзэидн сзд, сгз. 3) Размерность равна 1; базис: сзд. 4) Размерность равна 2; базис: сдг,, сдг4. 5) Размерность равна 3; базис: сдее, сдзз, сдзз.
6) Размерность равна 2; базис: сдзе, сддз. 7) Размерность равна 4; базис: сше, сдзе, сш7 с,зз. 8) Размерность равна О. 9) Размерность равна 2; базис: сдее, сшг. 20.15. Размерность равна 2; базис: Азы, Аззе. 20.16. Размерность равна 3; базис: (1+1)з, Дз, 1. 20.17. 1) ( — 2); 2) (1/4, — 1/4) 3) (1, -2, -1) ; 4) (1, -1, 2, -1) ; 5) (1, 2, -1, О, 1)т, 20 18 ( 1~ 2~ 1~ 1) 20 19 (1 1 1 1 1 1)т ~т 20.20. р„(а), —,р'„(а), — р'„'(а),..., — р„(а)) .
20.21. (4,2, — 3) 20.22. 1) Размерность равна 1; базис: (3, 1)г. 2) Размерность равна 1; базис: (О, 1, 1)г. 3) Размерность равна 2; базис: (2, О, — З)г, (1, 3, О)г; 4) Размерность равна 1; базис (23, — 18, 3) . 5) Размерность равна О. 6) Размерность равна О. 7) Размерность равна 3; базис: (1, 2, 0 0 О)т ( 13 0 10 2 0)т (1 0 2 0 2)т 20.23.
1) хд — 2хг + хз = О; 2) хд + хг — — О; 3) 0 = О; 4) хд — хз = О, хд — 2хг+х4=0; 5) хд — хг=О, 2хд — ха=О, 2хд — х4=0; 6) Зхд — хг — 2хз=О; 7) 0=0; 8) хд =хг =хе —— х4=0. — 6 13 20.24. 1) [[ 3 [[; ~д — — З~д, 2) 10 20, ьд = -б~д + 13~я, Ответим и указания 418 — 5 0-4 вц — 4 -1 4; бг - -— бб' — 4бз, 13 3 -1 (г = 10Я вЂ” 205г' 3) 3/2 -3/2 0 2 — 8 9 -1 0 4 — 5 О 0 11/2 -7/2 2 0 = — 4(', — Ц + 4бз, бз = 13бз + 36 бз' 4) 3 3 бз = -бз — -(г + 2бю 2 2 ~г = — 8б', + 9бг бз бз = 4бз — ббпр 11, 7, бз = — б' — -бг + 2бз.
20.25 6 = бз — юг — Збз + Жз — з е — б', + % + ббз— — З(з + 5бз + 6(е бз = (з + 194г + 134з — З(з + 12бв + 13бе (4 — — 4б1+ 29бг+ 19(з Збз+ 19бз+ 20(з, сз = 2гг+ бз+бз+ бе, ге —— 9 40 9 25( 287(г~ 192бз~+ ЗОбз~ 186бз 199(~~. 20 26 3 П 2 8 37 8 бз = 9(з+ 40бг+9ьз ьг = — З(з — 11бг — 2бз бз = 8Ц + 37Ц+ 8бз. 0 -18 1 -10 Π— 2 1 0 0 б 0 4 1 — 5 Π— 3 ; сз — — — 18(г + (з — 10зз, (г —— — 2ьг + ьз, 20.27. 3/4 1/4 1/2 1/4 3/4 1/2 0 0 — 1 бз = 6(г + 4сз, Ỡ—— бз — 5(г — Збз. 20.28. 3, 1, 1, 1, 3, 1, бз = -Ц + -бг + -бз~ бг = -бз + -б + -(з~ бз = -бз.
20.29. 1) По- 4 4 2 ' 4 4 2з' меняются местами 1-я и г-я строки матрицы перехода; 2) поменяются местами з'-й и г-й столбцы матрицы перехода; 3) матрица перехода, рассматриваемая как квадратная таблица, отразится симмет- рично относительно своего центра. 20.30. 1) ЯзЯг, 2) Я, '. 20.31. 1) е; 'коллинеарны е;, 1 = 1, 2, 3; 2) е', и ез коллинеарны, ем ег, е~г компланарны; 3) ез и ез коллинеарны, ег, ез, е~г компла- нарны. 20.32. 1) Я = Я ~ = Агг', 2) Я = Ачз (и = — 2), Я ~ = А4з 1 0 — 1/2 0 0 1 0 -3/2 0 0 3/2 0 0 0 0 5/2 (п = 2); 3) Я = Азге, Я ~ = Азы. 20.33. 101/3 0 0 1 0 3/5 0 0 2/3 0 0 О О 2/5 20.34.
1) 2сззз и Ц 0 — 3 0 5 Ц; 2) сгзз в обоих 1 — 1 -1 4 0 — 25 ЗЕ— — 4 — 3 7 5 19 13 29 19 2 1 -287 -192 ЗЕ, бг= 3 -3 — 3 5 -3 12 — 3 19 0 1 30 — 186 — 3 6 13 20 1 — 199 Оп|вен|м и укииииил базисах; 3) 2с|гг и )! — 1 0 9 0)(; 4) с|ее и й 1 — 4 — 3 10 8 21.5. 1) х = а| — 4Ь|., 2) х = а| — 2аг 6 Р; 3) х = у + з, у = — а| — Заг = ( — 7, — 9, — 10) 6 Р, з = 9Ь| 6 Я; 4) х = — 2Ь| 6 Я; 5) х=у+з, у= — 21а,+29аг= (8, 8, 8, 37) 6Р, з = — 9Ь| — 5Ьг = ( 9, О, 14, — 32) б Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
