1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 80
Текст из файла (страница 80)
У к а з а н и е: выполнив деление, пред»>1>Ь)1 ставить определитель как произведение двух определителей Вандермонда. 9) [2хгхг... хп — (х1 — 1)(хг — 1) ° .. (х — 1)] П (х1 — хь). п>1>Ь>1 У к а з а н и е: дополнить матрипу сверху строкой из нулей, а затем (и/г] слева — столбцом из единиц.
10) ~', Сс ь",а" г" (аг — 1)"; 11) —. в=о вш ~р при у1 ф Ьк; и+ 1 при у1 = 2йк; ( — 1)п(и+ 1) при у1 = (2Й+ 1)к (/с = = О, х1, х2,...) У к а з а н и е: решение аналогично решению 10) при о = сов ог+ гв1п 1р. Если о ф х1, то Ь„1 вычисляем, используя фор- зЪ иу мулу (е1г)" = е1»т = сов иу1 + 1 от ар. 12) — при х ~ 0; и + 1 при в)г р Ьк 1з = О. 13) ~ С„+1 ~ — ) (а — 4Ь )ь = П ']а — 2Ьсов 14.26. О. 14.27. Умножится на( — 1)ып Ц1г. 14.28. Не изменится.
Указание: использовать задачу 14.27. 14.29. Указание: умножить первый столбец матрицы на 1000, второй — на 100, третий — на 10, и сумму полученных столбцов прибавить к последнему столбцу. 14.30. У к а з а н и е; данное выражение есть разложение по 1-й строке определителя матрицы, полученной из А повторением Ь-й строки на 1-м месте. Отвеетм и указания адд (С) ... ад„(С) агд (С) ... аг„(С) ад, (С) ...
ад„ (С) агд (С) ... аг„ (С) 2) 14.31. а„д (С) ... а„„(С) а„д (С) ... а„„(С) ам (С) ... ад„(С) агд (С) ... агв (С) а'„д (С) ... а'„„(Й) У к а з а н и е: применить индукцию по дСеС = Аед О С Е й . Далее применить результат задачи 14.40. 2) Не всегда. 14.44. бед А (д1еС В)". 15.1. Матрицы 4 должны иметь одинаковые размеры.
15.2. 1) О; 2) — 11 — 16 — 3 -8 21 — 29 3) 3 8 19 19 , .4) 5Е; 5) 2Аю, 6) Аотг, 7) сот. 15.3. 1), 2), 4) справедливы, если матрицы имеют одинаковые размеры; 3), 5) верны всегда. 15.4. 1) Если тп = и; 2) да. 15.5. 1) 8 — 1)); 8 — 120 814 2) 6 — 9 0;3) 8 14 '4) ((1 1));5) ((О 3 2$6)сдтг,'7) Аддз,' 2 3 0 8) !) 6 9 12 /!; 9) сдтг, '10) Е; 11) Аооо; 12) Аоот; 13) Аг4о,' 14) Е; 15) Авдо; 16) пАош, 15.6. 1) Ширина А равна высоте В; 2) высота А равне ширине В; 3) ширина А равна высоте В, высота А порядку матрицы.
14.32. Если обозначить АеС (А — ЛЕ) = ( — Л)" + + ад ( — Л)" ' +... + а„д( — Л) + а„, то а, есть сумма всех диагональных миноров порядка з в матрице А; в частности, ад есть след А, а„— определитель А. У к а з а н и е: если обозначить р (С) = сСеС(А + СЕ), 1 4"р(С) то ав а = — — . При вычислении производных от функ- И даждь ции р (С) использовать результат задачи 14.31. 14.33. 1), 2), вообще говоря, неверны, 3), 4) — верны. 14.34. У к аз а н и е: согласно задаче 14.30 и формуле разложения определителя по строке: АС = бйа8 (Аед А, ..., с(еС А), откуда получаем дСед С при д(еС А ф О.
Матрица В получается из С умножением д-й строки на ( — 1)д и у-го столбца на ( — 1)д (для всех т, у). 14.35. У к аз ан не: использовать формулу дСеСА = йе$А. 14.41. ( — 2)"аг. У казан не: из (и + й)-го столбца матрицы Нсд вычесть удвоенный lс-й столбец (1 = 1, ..., и) и применить результат задачи 14.40. 14.42. О. У казан и ед строки матрицы () Аг А4 ~~сд являются линейными комбинациями строк )) А Аг '8'д (с коэффициентами из строк матрицы А ). 14.43. 1) У к а з а н и е: строки матрицы (! ВС В )(дг являются линейными комбинациями строк (! С Е ((Сд. Поэтому Ошеетъ и указания 407 равна ширине В. 15.7. Ширина АВ равна ширине В, высота АВ равна высоте А.
15.8. В имеет размеры и х р, АВС имеет размеры т х о. 15.9. Тождества справедливы, если выполнимы употребляемые в них операции. 15.10. 1) Не существует; 2) 8 111 3) (~ 8 16 и'; 4) !) — 1200 1300 !). 15.11. 1) 2" ' 1; 2) 0 0 0 000 0001 0000 0000 0000 ; 4) О при и ) 1; 5) А4э', 6) Аы', 7) Ает; 8) Аеез; 3) 0 Л„ 1 ;3) 2 3 9) Е; 10) О. 15.12. 1) — 4 3 ', 2) л, о 4) ~!1 2 3 4)!; 5) Аэ, 6) Аыэ, 7) Аые', 8) — Аезз 15.13. Тождества 2)-4) справедливы, если выполнимы употребляемые в них операнди; 1) справедливо всегда.
15.14. Р получается из Е перестановкой 1-й и Ь-й строк. 15.17. А,  — квадратные матрицы одного порядка. 15.18. 1) 2Аэ, 2) О. 15.20. 1) Аь,. 2) — А~~. 15.22. 1) Е; 2) О; 3) О; 4) — Е; 5) Аыг. 15.23. 1) О; 2) Азээ. 15.24. Тождества 1) — 3) справедливы, если матрицы А и В перестановочны, 4) всегда. 15.26. Ь-я строка АВ равна произведению Ь-й строки А на матрицу В. 15.28. /с-я строка матрицы АВ равна линейной комбинации строк матрицы В с коэффициентами из /с-й строки А. 15.29. У к а з а н н е: задача 15.26.
15.30. 1) Прн перестановке двух столбцов матрицы В соответствующие столбцы АВ также переставляются; 2) если Ь-й столбец матрицы В умножить на число Л, то Ь-й столбец АВ также умножится на Л; 3) если к 1-му столбцу В прибавить ~-й столбец, то с матрицей АВ произойдет такое же элементарное преобразование. 15.31. 2) У к а з а н и е; для столбца из двух элементов преобразования следующие: Ь Ь Ь вЂ” (а+ Ь) — а а 15.32. анв если А = (! а,ь 'й. 15.33. 1) Матрица у которой все строки нулевые, кроме 1-й, на месте которой располагается у-я строка А; 2) матрица, у которой все столбцы нулевые, кроме учго, на месте которого располагается 1-й столбец А.
15.34. У к а з а н и е: в качестве (, и взять всевозможные столбцы единичной матрицы. 15.36. 1) Умножить А справа на столбец !) 1 0 0 ... 0 ~); 2) умножить А слева на строку () 1 0 ... 0 (!. 15.37, 15.38. Матрица К получается из Е таким же элементарным а Ь преобразованием.
15.40. У к аз а н и е: если А = Ь, то 1а 1Ь Ответы и указания 408 А = (а + 1Ь) 'А. 15.43. Утверждение 1) для прямоугольных матриц, вообще говоря, не верно. Пример: Азоз А»гв = Е, амх» +... + а„,х„= О, (а, Ь вЂ” произвольные числа). 15.44. а»х» +... + а „х„= 1, а„»х» +... + а„„х„= О, или, в матричной форме, АХ = е., где е — у-й столбец Е. Л» п 1) — 5 3 , 2) 1 2 2 ; 3) л о 15.45 4) Ам; 5) А„„; 6) Агз; 7) Аг4з; 8) — Агоз,' т. 1 9) -Агог,' 9 10) Агго. о/ 1'2) 1о'3) -31,4) 100) 1 00 6) 010; 7) 0-10; 8) — 201 0 01 15.47. 1) 1/3 0 0 0 1 0 0 0 1 5) 1 — 1 1 — п 10) О 1 , '11) Агоо. 15.48. Утверждение 6), 9) 15.51.
Приведен один из возмож 2) о 1 ' о1 01) 100 010 011 100 110 001 4) 15.52. 1) Е-А ',В А 'В;2) Е А ',В ВА '. 15.53. 1) Со- вершаем со строками матрицы )) А Е )(г» (т.е. со строками А и Е) злемевтарные преобразования, переводящие А в Е. После преобразований на месте матрицы А окажется Е, а на месте Е— ,1 и матрица А '. 2) Со столбцами матрицы Е совершаем злементарные преобразования, переводящие А в Е. В результате 001 0 000 — 1 — 100 0 010 0 на месте Е окажется матрица А '. 15.54. 1) 2 — 3 10 1 — 1 0...0 1 — 2 0 20 0 1-1...0 2) 6 6 3 — 3 О, 3) '''; 4) — А4зо; 5) — А4зг» 0 О 02 0 0 0...1 6) Аазо; 7) -А4зв; 8) Амо; 9) Аоог; 10) Ао»4 11) Ав»г; 12) Ашо; 1 т 7 вообще говоря, неверно.
1 0 ных ответов. 1) 3) — 20 10 01 12 О 010 001 100 001 010 1 0 1 1 100 012 001 410 Ответы и укхыапил свойства ортогональных матриц, сформулированные йв, задаче 15.104. 15.108. У к а з а н и е: умножение на матрицу перестановки слева равносильно перестановке строк умножаемой матрицы. 15.109. Диагональные элементы равны или 1, илн — 1. 15.110. Для всех 1: )Л<! = 1. 15.111. 1), 2), 3), 6), 13) стохвстичны; 4), 7), 8), 9), 12), 14) нильпотентны с показателями нильпотентности, соответственно равными 2, 3, 2, 2, 3, и; 1), 6), 10), 11) периодичны с периодами, соответственно равными 2, 2, 4, 4; 5) периодична при о = 2хр/4, ее период равен 9 при р ф 0 (р — целое, 4 — натуральное число, дробь несократима) и период 1 при о = О. 15.113.
У к а з а н и е: использовать задачи 15.112, 15.40. 15А15. У к а з а н и е: если А" = О, В' = О, то (АВ)ы = О и (А+ В)ьм = О. 15.116. АВ имеет период й = 1т, где 1, т — периоды А, В. 15.117. У к аз а н и е: умножить обе части равенства на Š— А. 15.123. У к аз а ни е: использовать результаты задач 15.121, 15.122. 15.124.
Не всегда. Примеры: Аы не обратима, ~ — Адд ) не стохастична, но матрицы перестановок стохастичны вместе со своими обратными. 15.125. Если матрица п является матрицей перестановки. 15.127. 2.'ан, если А = )! а0 (! 1 (д, д = 1, ..., п). У казан и е; задача 15,89. 15.128. 1) 2 а7ь, 2) 2 )адь)д, если А = (! а,ь (). 15.131. Если А = 9 А,1 ((, В = (! ВВ )), ьь (1 = 1, 2), то для существования АВ, помимо условий, вытекающих из определения блочной матрицы, требуется, чтобы ширина А11 равнялась высоте Вди ширина Аш равнялась вы М ьг и В Е и МО й4Е+ЕО и соте Вм.
15.132. 15.133. 1) Если А = , В = д, то, помимо условий, вытекающих из определения блочной матрицы, требуется, чтобы ширина матрицы Аы равнялась высоте Вы а ширина Аш равнялась А В +А~В высоте Вд. 3) А В = (мВ' 4шВд . 15.134. 1)-З) Количества блоков на диагоналях матриц А, В совпадают, и совпадают порядки диагональных блоков, имеющих одинаковые номера. 4) Для того чтобы АВ = ВА, необходимы и достаточны условия 1) и перестановочность диагональных блоков, имеющих одинаковые номера. 15.136. 1) — Адзд', 2) Аддд, 3) Е; 4) Аддд', 5) Аче|,' Е А и и А-1 А-1ВС-1 ~ и 6) Аыд 15. 137.
1) О Е .,2) Ответы и указания 15.138. Ц В Ь; 2) В Ь + 1Š— единич- ная матрица порядка з, о — нулевой столбец высоты з, Ь— произвольный столбец высоты г). 15.139. 1) Агее', 2) Аии', 3) Аиг', 4) Агез, '5) Азвз' 6) Ахез' 7) Алвз. 15.140. а З Ь = Ь З а = Ьа. 16.3. Да, если матрица нулевая. 16.4. 1) Базисного минора нет; 2) базисным является любой элемент матрицы; 3) — 5) базисные миноры равны соответственно О ~, 1, ~ О ', 6) — 7) базисным 2 3 будет, например, минор . Ранги: 1) О; 2) 1; 3) 2; 4) 1; 5) 2; 6) 2; 7) 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
