1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 77
Текст из файла (страница 77)
10.76. Точки пересечения: М1 (~/2, О, — 2), Мг ( — ъ'2, О, — 2); радиусы В = 2. 10.79. а(х — у) = )3, Д~х + у) = а (аг + ф ф О). 10.80. а(г — у) = ~3х, ~3(г + у) = ах(а + ~3г ф. О). 1081. х=1, у=2» — 4, г=г — 1; х=1, у=4 — 21, г=1 — 1. 10.82.
Зх+ у — 2г — 2 = О. 10.83. х — 2у — Зг — 6= О. 10.84. Плоскость х+у+г=О; прямые х=1 — 2, у=1, э=2 — 2г и х=$, Ьг у = — $, г = О. Угол к/2. 10.85. 1) к/2; 2) к/3; 3) эхссоэ /»г+ 1 10.86. 1) Окружность хг+уг = 1, г = О; 2) пара прямых ух х = О, г = 0; 3) гипербола 4х — 16у + 3 = О, г = — 3/8. Указание к задачам 11.1-11.11: при вычислениях и доказательствах использовать таблипу, приведенную в начале 3 11. 11.1.
1) Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды; 2) конусы и цилиндры; 3) пары не совпавших плоскостей; 4) пары совпавших плоскостей; 5) эллипсоиды, гиперболоиды, конусы; 6) параболоиды, цилиндры (кроме параболического), пары пересекающихся плоскостей; 7) параболические цилиндры, пары плоскостей (кроме пересекающихся). 11.2. В = 4 > Е. 11.3. 1) В = г+ 2; 2) Я < 2; 3) Л = Е > 1.
11.4. 1) «Мнимые эллипсоиды», «мнимые эллиптические цилиндры», «пары мнимых параллельных плоскостей», Ответы и указания 395 В = Е > г; 2) «мнимые конусы» (точки), «пары мнимых пересекающихся плоскостей* (прямые), В = Е = г ) 1. 11.5. В > 3,  — Е>2. 11.6. 1) В=4, Е=О;2) В=З, Е=1. 11.8. 1) А, Ьт А + а Ьт АЬ + 2аЬ + й; 2) Бт А Б, (Ьт А + а) Я, Ьт АЬ + 2аЪ + я.
11.9. 1) Параболоиды и параболические цилиндры, В = т + 2; 2) конусы и пары плоскостей (кроме параллельных), В = г. 11.10. 1) Вещественные эллипсоиды, гиперболоиды, конусы, цилиндры (кроме параболического), пары плоскостей; 2) О, 1 или бесконечно много. 11.11. 1) См. ответ к 11.9, 1); 2) эллипсоиды, гиперболоиды, конусы, т = 3; 3) цилиндры (кроме параболического), пары плоскостей, В < т+ 1 < 3. 11.13. 2) К нему добавится ас, где с— координатный столбец центра.
11.16. 1) Матрица А и все корни характеристического уравнения умножатся на йц 2) де» А не изменится. А ах с~ (ЯЬН~ 1117. 1)В=;2)У=~ . ~ . 1118. Указание: вычислить инварианты В, г. 11.19. 1) Гиперболический цилиндр; 2) пара параллельных плоскостей; 3) параболический цилиндр; 4) гиперболический цилиндр; 5), 6) гиперболический параболоид; 7) пара пересекающихся плоскостей; 8) параболический цилиндр; 9) конус; 10) параболический цилиндр; 11) однополостный гиперболоид; 12) двуполостный гиперболоид; 13) однополостный гиперболоид; 14) «мнимый конус»; 15), 16) «пара мнимых пересекающихся плоскостей»; 17) эллипсоид; 18), 19) эллиптический цилиндр; 20) «мнимый эллиптический цилиндр».
11.20. (х+ у+ г)(х — у+ г) = (2х — у+ 2г)~. 11.21. 1) При я ) 7/4 двуполостный гиперболоид, при й = 7/4 конус, при Й < 7/4 однополостный гиперболоид; 2) при я < 0 двуполостный гиперболоид, при я = 0 гиперболический цилиндр, при й > 0 однополостный гиперболоид; 3) при я > 6 «мнимый эллипсоид», при й = 6 «мнимый конус», при й < 6 эллипсоид; 4) при 1. > 8 эллипсоид, при й = 8 эллиптический цилиндр, при й < 8 однополостный гиперболоид; 5) при й ф 3 гиперболический параболоид, при я = 3 гиперболический цилиндр; 6) при й > 1 однополостный гиперболоид, при й = 1 конус, при к < 1 двуполостный гиперболоид. 11.22.
В отвепюх к зада гам этого номера перечисляются: матрица из координатных столбцов базисных векторов почти канонического базиса (в тех случаях, когда имеет смысл делать замену базиса лишь в какой-нибудь из координатных плоскостей, в ответе приведена соответствующвл матрица второго порядка), координаты начала 0 канонической системы координат, почтаи каноническое уравнение данной поверхности, записанное в координатах 5, 9, ~, тип данной поверхности. Для полного решения задачи, т. е. нахождения канонической системы координат и канонического уравнения поверхности, в некоторых случаях необходимо выполнить еще одно или несколько несложных преобразований уравнения и системы координат.
Подробно о переходе от почти канонического уравнения к канони- 396 Ответы и указания ческому сказано во введении к з 11. См. также решения задач 16) и 24). 1) Амз, 0 (О, О, 0); «г + 29г + 10«г = 1; эллипсоид; 2) Азы; 0 (О, О, О); «~ + буг — 6«~ = 0; конус; 3) Аздз; 0 (О, О, О); з/З«г = «; параболический цилиндр; 4) Аззе, О (О, О, О); «г+ уз+ 2ъ/З~ = 0; эллиптический параболоид; 5) Ааб 0 (О, 2, — 1); «г — 40г + « = 0; конус; 6) Аез, 0 (1, -1, 0); 2уг + «~ = 1; эллиптический цилиндр; 7) Ат, 0 ( — 1, О, — 1); «г + уг — «~ = 1; однополостный гиперболоид; 8) Аео; О (О, — 5, 0); «г+ буг+ «г = 60; эллипсоид; 9) Аез., 0(1, 2, — 4); « — 90г — «г = 1; двуполостный гиперболоид; 10) Аез,.
0( — 1, — 1, — 1); «г + 40г + «г = 4; эллипсоид; 11) Аез', 0 (3, 3, — 7); 2«г + буг = 5«; эллиптический параболоид; 12) Авз, 0 (О, 2, -3); 2«г + «г = — 80з/2; эллиптический параболоид; 13) Аез, 0(2/13, — 3/13, О); з/ГЗуг = 2«; параболический цилиндр; 14) Аел, 0 (-10, О, 1); «г — 9уг — «г = — 90; однопопостный гиперболоид; 15) Аео, 0 (1, — 3, 0); 9«г + 4уг = 36«; эллиптический параболоид; 16) Аез, О (1, — 2, О); — «г + 2«~ = з/20; гиперболический параболоид; 17) Азпп 0 ( — 26/15, — 1/3, О); 5«г = — ~/2«; параболический цилиндр; 18) Аег', 0 (3, 4, 2); 25«г — «~ = 15п: гиперболический параболоид; 19) Аез', 0 (О, 2, 0); 3«г — 70~ — «~ = 21; двуполостный гиперболоид; 20) Аег, О (1, О, 5); «г — 16п~ + 9«~ = 1; однополостный зчзпербопоид; 21) Ат; 0~ — 1, — 1, — 1); «г+ уг — 9«г = 0; о угб 22) Ааб О (1, — 2, — 1); 4«г — у~ = 4«; гиперболический параболоид; 23) Азгз, 0(1, — 3, 0); 29 = 7«; параболический цилиндр; 24) Азгз 0(1, — 1, 0); 14«г+ Лп = 0; параболический цилиндр.
11.23. Ответы к задачам этого номера содержапсматрицу из координатных столбцов базисных векторов почти канонической системы координата,коордипатаы начала 0 канонической системы координат, почти канонические уравнения поверхностей при заданных значениях параметра к,описание вида данных поверхностей при всевозможных значениях параметра. См. такхсе замечание к ответам задачи 11.22 1) Аззз' 0( 2~ 3 О). 2«г + 4уг+ 7«г 28; при /с < 77 эллипсоид, при й = 77 точка О, при к > 77 пустое множество; 2) Аззз, 0( — 2, — 1, 2); «г + 2уг + 10«г = 10; при /с < 9 эллипсоид, при й = 9 точка О, при й > 9 пустое множество; 3) Азы., 0 („— 2, О, 1); а) «г+ буг — 6«г = 6; б) «г + буг — 6«г = О; в) «г+ буг — 6« = — 6; при к < 5 однополостный гиперболоид, при й = 5 конус, при /с > 5 двуполостный гиперболоид; 4) Азы; О ( — 2, 2, 0); «г+ г1~ + 4«~ = 4; при й < 8 эллипсоид, при й = 8 точка О, при к > 8 пустое множество; 5) Аззэ; 0 (1, — 1, 0); а) 4«г + 49г + «г = 4; б) « = 0 = « = О; пРи й < 8 эллипсоид, при й = 8 точка О, при й > 8 пустое множество; 6) Азхй 0 (1, — 1, 2); «~ = 5; при й < 36 пара параллельных плоскостей х — у + 2г — 6 х з/36 в к = О, при /с = 36 плоскость х — у+ 2з — 6 = О, при /с > 36 пустое множество; 7) Азго., 0 (2, О, 2); «г = — 2ъ~2«; при всех /с параболический цилиндр; 8) Азы, О (О, О, 0); з/6«г = — з/50; при всех й параболический цилиндр; 9) Аззе, Отвеп~ы и ухизонвл О (1, 1, 2); а) ~~ + О~ = 1; б) ~ = д = 0; при й < 18 прямой круговой цилиндр, при й = 18 прямая х = у = 3 — з, при й > 18 пустое множество; 10) Аз~с, 0( — 1, — 1, 2); ~~+ да = 2чЗ~; при всех й параболоид вращения; 11) Аззз', О ( — 2, 1, 1); а) Сз + З~з = 1; б) б = ~ = 0; при й < 9 эллиптический цилиндр, при й = 9 прямая д = з = х+ 3, при й > 9 пустое множество; 12) Аззз, О( — 1, 5, 5); б~+ З~~ = — 6з/Зпб при всех й эллиптический параболоид; 13) Аззз; О (10/9, 5/9, 8/9); а) ~с+ дпз дгз 9.
6) се + дпз дгз О. в) ~Я+ дпз дгг д. при й < — 3 двуполостный гиперболоид; при й = — 3 конус; при й > — 3 однополостный гиперболоид; 14) Азз4', О (2, — 2з/3, 3); а) б~з + пз — б~з = 0 б) 5(з + пз — 5~а = 5 в) 5бз + Оз — б~з = — 5; прн й > — 75 однополостный гиперболоид; при й = — 75 конус; при й < -75 двуполостный гиперболоид; 15) Аззе, О (О, 1, 0); а) ~э+ Оз ~г 1, б) бз.1-дз ~з 0; в) ~з.1. Ог ~з — 1; при й < 2 однополостный гиперболоид; при й = — 2 конус; при й > 2 двуполостный гиперболоид; 16) Аззе, О (1, — 1, 2); а) С~ + д~ — ~з = 1; б) ~з .1- Оз — ~з = 0; в) ~з -ь дз — ~з = — 1;при й < — 36 однополостный гиперболоид; при й = — 36 конус; при й > — 36 двуполостный гиперболоид; 17) Аззе, О (8/9, — 4/9, -10/9); а) доз — Оз = 0; б) дбз — Оз = 9; при й ф 0 гиперболический цилиндр, при й = 0 пара пересекающихся плоскостей х + 2у = 0 и 29 + з + 2 = 0; 18) Аззе, О (2/9, — 1/9, — 16/9); Оз — доз = 6~; прн всех й гиперболический параболонд; 19) Аззт, О ( — 1/7, — 1/14, 3/14); 14б~ = бз/Зт~; при всех й параболический цилиндр; 20) Аззе; О ( — 8/7, 27/14, 3/14); 14~э = 2Яп; при всех й параболический цилиндр; 21) Аззе, О ( — 1/7, — 1/14, 3/14); а) Сз = О, б) Сз = 1; при й < 1 лара параллельных плоскостей 2х + у — Зз + 1 х з/Т вЂ” й = 0; при й = 1 плоскость 2т + у — Зс + 1 = 0; при й > 1 пустое множество.
22) Аззз, 0(1/6, 4/3, — 13/6); а) бе + бааз — З~з = 6; б) бе+ бпз — З~з = 0; в) Сз + 69~ — 3~~ = — 6; при й < — 14 однополостный гиперболоид; при й = — 14 конус; при й > -14 двуполостный гиперболоид; 23) Азаб 0(-1, -1, 1); а) С~+ д~ — ~~ = 1; б) С~+ т)~ — ~~ = 0; в) бз + Оз — ~~ = — 1; при й < 5 однополостный гиперболоид; при й = 5 конус; при й > 5 двуполостный гиперболоид; 24) Аззе, О (О, — 2, 2); ~/без — ~/69з = ~; при всех й гиперболический параболоид; 25) Аззе, О (О, — 2, — 1); а) с~ — О~ = 1; б) б~ — т1~ = 0; при й ф -6 гиперболический цилиндр, при й = -6 пара пересекающихся плоскостей (з/3 х ч 2) х + (у 3 ~ з/2) у ~ ~!2с + 2~/3 ~ 3;/2 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
