1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Уравнения асимптот х + 7у = 8 и 7х — у = 6. 9.7. Парабола: р = ~/2/8, вершина О' ( — 1/16, — 3/16), фокус Г ( — 1/8, — 1/8), ось 4х + 4у + 1 = О, директриса 4х — 4у = 1. 9.9. 2) ~/ — Х/бЛы ,/Х/бЛ2, 3) / — Ь/бЛм,/ — Ь/бЛ2, 4) Л/ — Ь/Я~. 9.10. 1) Гипербола Х2 У2 Х уг 200/147 200/63 = 1; 2) эллипс — + — = 1; 3) парабола 1/3 2/9 Уг = О, 16 ~/5Х. 9.13. 1) Гипербола; 2) эллипс; 3) гипербола; 4) пара параллельных прямых 4т + Зу = О, 4х + Зу + 1 = 0; 5) эллипс; 6) парабола; 7) гипербола; 8) мнимый эллипс; 9) пара пересекающихся прямых х — Зу+ 4 = О, 2х + у + 1 = 0; 10) пара параллельных прямых х + 5у — 1 = О, х+ 5у + 3 = 0; 11) пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке (1, 1); 12) пара мнимых параллельных прямых; 13)' пара совпавших прямых х — 4у + 3 = О.
9.14. 1) 11хг — 20ху + 11уг — Зх — Зу — 8 = 0 (эллипс); 2) хг — 4ху + уг + Зх+ Зу — 4 = 0 (гипербола); 3) хг — 2ху+ уг — 1 = 0 (пара параллельных прямых х — у + 1 = О, х — у — 1 = 0); 4) Зхг — 10ху + Зу + 6х + бу — 9 = 0 (пара пересекаюгцихся прямых Зх — у — 3 = О, Зу — х — 3 = 0); 5) четыре точки из пяти лежат иа 392 Ответим и указания одной прямой я — у + 1 = О, и данные 5 точек не определяют однозначно кривую второго порядка; 6) ха — 2хр+ уэ — 2я — 2у + 1 = 0 (парабола). 9.15. 1) Эллипс при )Л( < 2, гипербола при )Л) > 2, пара параллельных прямых при Л = х2; 2) мнимый эллипс при Л < 41/8, эллипс при 5 < Л < 41/8 и при Л < — 5, пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке, при Л = 41/8, па.- рабола при Л = 5, гипербола при — 5 < Л ( 5, пара параллельных прямых при Л = — 5; 3) эллипс при Л > 2; гипербола при Л < 2, Л ф О, пара совпавших прямых при Л = 2; пара пересекающихся прямых при Л = 0; 4) эллипс при Л > 1/2; гипербола при Л < 1/2, Л ~ 1/3; парабола при Л = 1/2; пара пересекающихся прямых при Л = 1/3.
9.16. Если Ь =! 1 В (~0, то данные уравнения А~ В1 Вг задают: 1) параболу; 2) эллипс; 3) гиперболу; 4) гиперболу; 5) пару пересекающихся прямых. Если Ь = О, то уравнения 1)-4) могут задавать пару параллельных прямых, пару мнимых параллельных прямых; уравнение 5) может задавать пару параллельных прямых, пару совпавших прямых. В случае Ь = 0 при некоторых значениях коэффициентов уравнения 1)-5) могут вообще не задавать кривую второго порядка. 9.17. 1) А~х+ В~у+ С1 = й(Агх+ Вгр+ Сг); 2) А1х + В1у + С1 = О, Азх + Взэ' + Сз = О.
9.19. 1) (8, 3), х'з — 8х'у'+17у'з — 1= 0; 2) (1, — 6), 5х'э+ азу' = 0; 3) ( — 9/8, — 5/8), 8х'з — 24х'у'+ 169'~ — 1, 5 = О. 9.22. 2) У к а з а н и е: если А и В— два центра симметрии, то точка, симметричная А относительно В, также является центром симметрии. 3) у — з1п х = О.
10.3. 1) При Л > О эллипсоид, при Л = 0 точка, при Л < 0 пустое множество; 2) при Л > 0 эллипсоид, при Л = 0 эллиптический цилиндр, при Л < 0 олнополостный гиперболоид; 3) при Л > 0 эллипсоид, при Л = О прямая, при Л < 0 двуполостный гиперболоид; 4) при Л > 0 однополостный гиперболоид, при Л = 0 конус, при Л < 0 двуполостный гиперболоид; 5) При Л > 0 двуполостный гиперболоид, при Л = 0 конус, при Л < 0 однополостный гиперболоид; 6) при Л > О эллипсоид, при Л = 0 пара параллельных плоскостей, при Л ( 0 двуполостный гиперболоид; 7) при Л > 0 эллипсоид, при Л = 0 плоскость, при Л < 0 однополостный гиперболоид; 8) при Л ф 0 эллиптический параболоид, при Л = 0 прямая; 9) при Л > 0 эллиптический параболоцд, при Л = 0 параболический цилиндр, при Л < 0 гиперболический параболоид; 10) при Л ф 0 эллиптический параболоид, при Л = 0 плоскость; 11) при Л > 0 эллиптический параболоид, при Л = 0 плоскость, при Л ( 0 гиперболический параболоид; 12) при Л > 0 эллиптический параболоид, при Л = 0 пара параллельных плоскостей, при Л < 0 гиперболический параболоид; 13) при Л > 0 эллиптический цилиндр, при Л = 0 прямая, при Л < 0 пустое множество; 14) при Л ф 0 гиперболический цилиндр, при Л = 0 пара пересекающихся плоскостей.
10.5. 1) хз + уз + хз — 2х — 2у — 2с = 0; Ответы и указания 393 2) хг + уг + гг 2х — 4у — 6г + 13 = О 10 6 Ц С (2, 2 2), Л = 2ь/3; 2) С ( — 1, — 2, — 3), В = 5/т2. 10.7. 1) Эллипсоид; центр С ( — 1, — 1, — 1), полуоси ъ/6, ъ/3, ъ/2, плоскости симметрии х = — 1, у = — 1, г = — 1; 2) эллипсоид; центр С ( — 1, — 1, — 1), полуоси 2, ~/6, 2~/3, плоскости симметрии х = — 1, у = — 1, г = — 1.
Эллипсоиды подобны. 10.8. 1) Двуплостный гиперболоид; центр симметрии С(-3, 1, 1), вершины А( — 5, 1, 1), В( — 1, 1, 1), ось симметрии у = г = 1, плоскости симметрии х = — 3, у = 1, г = 1; 2) двуполостный гиперболоид; центр симметрии С( — 1, О, — 1), вершины А( — 1, О, — 1 — ъ/3), В( — 1, О, — 1+~/3), ось симметрии х = — 1, у = О, плоскости симметрии х = — 1, у = О, г = — 1. 10.9. 1) Однополостный гиперболоид; 2) конус; 3) двуполостный гиперболоид; 4) эллиптический парабопоид; 5) гиперболический параболоид; 6) эллиптический цилиндр. 10.10.
1) Координатные плоскости Охг и Оуг; 2), 3) гиперболический цилиндр с образующими, параллельными оси Ог и направляющей — данной гиперболой на плоскости Оху; 4) гиперболический параболоид; плоскости симметрии х = ху. 10.11. Цилиндр радиуса 1/2 с осью х = — 1/2, г = О. 10.12. 1) Параболоид вращения вокруг отрицательной части оси Оу, вершина С(0, 1/2, О); 2) конус с вершиной в начале координат, ось вращения — прямая х = у, г = О. 10.13. Однополостный гиперболоид. Центр — начало координат. Ось вращения х = О, у + г = О.
Плоскость горловой окружности у = гб ееуравнение хг+2уг — 1 =0, у = я; радиус 1. 10.14. 1) (О, О, 0) и (2, 2, 8); 2) точек пересечения нет; 3) (3, 1, 10). 10.16. Вне. 10.17. Ниже. 10.26. 1(г — ге, а)! = Л(а~. 10.27. ~г — ге! = В. 10.28. ((г — ге,а)~= (г — ге)(а()сова(. 10.29. (г — г,(+(г — гг! = 2а. 10.30. 1) г+ у — г4 =О; 2) х = уг+ гг.
1031. Ц Двупл ный гиперболоид хг — у — гг = 2; 2) однополостный гиперболоид хг — уг + гг = 2. 10.32. Тор (хг + у + гг + 3) = 16(хг + гг) 10.33. хг(уг+ гг) = 1 и уг(хг+ гг) = 1. 10.34. 1) х = 4сояд, у = 1сйп 6, г = /(г) (Ф ) О, 0 < д < 2к); 2) х = х(1) соя д, у = фй) яш д, г = Х(г) (О < д < 2я). 10.37. хг + уг + гг — ху — хг — ух+ Зх — Зг = О. 10.38. хг+ уз+ яг — ху — хг — ух+ Зх — Зг+ 2 = О. 10.39. гу+ + хг + уг = О.
10.40. Однополостный гиперболоид хг + уг — 2гг + + 4г — 4 = О. Указание: см. задачу 10.34, 2). 10.41. Конус хг + уг — (х — 1) = О. Ук аз а ни е: прямая пересекает ось Ог. 10.42. Конус ху+ хг+ уг = О. Указан не: см. задачу 10.28. 10 43. ху+ хе+ ух — 2х — 2у — 2г+3 = О. 10 44. х = и+2сояи, у = = и+ 2яши, г = 4+ и — 2сояи — 2ягпи. У казани е: см. задачу 10.35. 10.45.
Цилиндр (2х — у — г) + (2у — х — г) = 9. 10.49. Окружность х = 2соя$, у = 2яшг, г = 2. 10.52. Эллипс хг+2уг+ 2х+4у — 2 =О. 10 54. = — 1+2сояг, у = — 1+ 2сбпг, г = 3 — 2 соя г — 2 сйп й У к аз ан и е: исключив г из данных уравнений, получим уравнение проекции эллипса на плоскость Оху — уравнение окружности (х + 1) + (у+ 1)г = 4. За параметр 394 Ответы и указвиил принимаем угловой параметр окружности. 10.55. По гиперболе.
Указ а н не: найти уравнение проекпии линии пересечения на плоскость Оху. 10.56. Центр С (10/3, — 14/3, 5/3), радиус й = 3. 10.57. х = и( — 1+ 2с«ни), у = и( — 1+ 2вши), г = и(З вЂ” 2соэи— — 2вгпи). У к а з а н и е: использовать задачу 10.54 10.58. хг+ уг = 2. 10.59. хг + уг = 4. 10. 60. хг + уг + 2 + 2у — 2 = О. Ось х = у = — 1 В = 2. Ук аз ан и е: см. задачу 10.54. 10.61. (х — с+ 2) + (у— — г+ 2)г = 4. 10.62. ху+ ух+ хе = О. 10.63.
Зх + 4уг+ 5гг = 36. иг 10.65. 1) (2, 1, 1); 2) (4, 2, 1). 10.66. (4, 2, — 2). 10.67. — + 110 Ю + — = 1; (5, 7, 20); х = 5+ «, у = 7+ г, г = 20+ 21; х = 5 — Зг, у = 7+ С, г = 20 + 1 10.68. Диаметр х = 61, у = Зг, г = 2« ()г)< „/2/33). 10.69. Диаметр х = 31, у = 31, г = — Ф. 10.70. Диаметр х = у = -1, г > 1. 10.71. Зх + 4у + 4х — 21 = О.
10.72. хг — гг = О (ф < 3/Л); уг + 2гг = 9; 2хг + уг = 9. Сечение представляет собой пару окружностей, лежащих в плоскостях х = хг. 10.73. хг + уг = 2; уг + Згг = 2; Згг — хг = О (~х~ ~ (ч~2). Сечение представляет собой пару эллипсов, лежащих в плоскостях х = ~~/3 г. 10.74. х х у х ~/2 = 0; г х х»/2+ 1 = О; г х у»/2 — 1 = О. Сечение состоит из четырех прямых: х = г, у = ~(г + ~/2), г = — 1 — гь/2 и х = 1, у = ~(г — ъ/2), г = — 1+ гъ/2 10.75. 2хг + гг = 3; 2уг — гг = 5, )у( < 2 Щ <»/3) (две дуги гипеРболы); хг + Уг = 4, (У! >»/5/2 ((х! < ь/3/2) (две дУги окРУжности).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
