1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 78
Текст из файла (страница 78)
12.2. и!. 12.3. 1) и", п!; 2) 2"; 3) т". 12.4. 1) Нет; 2) нет. 12.6. 1) Х вЂ” множество целых чисел, 3~ — ' множество целых неотрицательных чисел, /(х) = хз; 2) Х = г' — множество целых чисел, /(т) = 2т. 12.9. 2) У к а з а н и е: пусть Х и 7 счетны, Х = т„, У = уп~ Я = зи, /(хь) = уь (и = 1, 2,...). Положим ~р(хгь ~) = уь, р(хзь) = зы Тогда у: Х -э 7 0 Я есть искомое отображение.
В общем случае пусть у„— последовательность различных точек из 3~ такая, 398 Ответь и указаиил что /(х„) = у„. Полагаем гр(хз„ г) = у„, р(хз„) = е„ и ~р(х) = /(х), если х ~ х„. 12.11. Ук аз а н и е: использовать задачу 12.9. 12.14. 1) Неподвижных точек нет при а = 1 и Ьф О. При а = 1, Ь = 0 все точки прямой неподвижны. Если а ~ 1, Ь ф. О, то неподвижная у-ь точка единственна: х = Ь/(1 — а). 2) / '(у) = —.
12.15. /(х) = а г( — с = — (х — а)+с. 12.16. (/д)(х) = асх+ ай+ Ь, (д/)(х) = асх+Ьс+4; ,2 2 /д = д/ при г1(а — 1) = 6(с — 1). 12.17. 1) Эллипс — + — = 1; аз Ьз 2) нет; 3) [2кп,2гг(п+ 1)), и б л. 12.18. 1) Левая ветвь гиперболы х~ — у~ = 1; 2) да; 3) 1 = 1п (у+ ~(у + 1) (у Е 14, х — у~ = 1).
12.19. 1) а) Да; б) нгт; 2) точка О (О, 0) имеет один прообраз— О (О, 0); точка М (х', у ) имеет два прообраза М (х, у), где 1 ° 2 ~2 2 х = х — х'+ х' +у', у = х — з8пу -х'+ х' +у* (беь!2 ьг2 рутся оба верхних или оба нижних знака). 12.20. 1) Нет; 2) например, полосы а < у < 6, где 0 < Ь вЂ” а < 2х, и их произвольные подмноагс18(у*/х') при х* ) О, жества; 3) х = — 1п (х' + у" ), у = я+агс16(у"/х') при х* < О, гг/2 при х* = О. 12.23. Б(х) = (х;х).
12.24. 1) Г. 12.25. 1) г' = го+ Ь(г — го); 2) г* = -г + 2го; 3) г* = г + а; 4) г* = го + ' а; 5) г' = (г — го, а) (а(з (г — го, а) (г — го, а) =2го — г+2 ' а; 6) г* =Лг+(1 — Л)го+(1 — Л) ' а. )а(з ~аР 12.26. Неподвижна точка пересечения медиан треугольника АВС. Преобразование ортогонально тогда и только тогда, когда треугольник АВС правильный. 12.27. Гомотетня с центром в точке О и коэффициентом — 1/2; точки К, Ь, М переходят в середины соответ/а уЛ ствуюгцнх медиан, точка О неподвижна. 12.36.
аЬагс18 ~ — гб-), 'г,Ь 2)' если 0 < уг < к; яа6/2, если уг = я. 12.37. 1) х' = Ьх, у' = )у; 2) х' = хо+ /г(х — хо) у' = до + /г(у — уо)' 3) х' = — х+ 2хо, у* = -у+ + 2уо., 4) х' = х+ о, у' = у+ 6. 12.38. 1) а) ( — 6, 1); б) (-3, 5); в) (-4, — 2); г) ( — 1, 2); д) (1, — 18); 2) а) 4х — Зу + 27 = 0; б) Зх + + 2у+ 16=0; в) х — 5у — 6 = 0; г) х — 5у+ 28 = 0; д) 18х — 5у — 6 = О. 12.39. 1) а) (2, — 1); б) (О, 0); в) (1, 1); 2) а) Зх+ 4у — 2 = 0; б) 2х + Зу — 1 = 0; в) х+ у = 0; г) 5х + 7у — 4 = О; д) 5х + 7у — 2 = О.
12.40. 1) х* = — 4х+ Зу+ 1, у* = Зх — 5у + 2; 2) х* = — 4у, у* = 7х — 1; чЗ „',/3 1 .' 1 3' 3)х"= — — х — — у,у"= — х — -у;4)х*= — -х — —,у = — -у. 2 2 ' 2 2' 2 2' 2 Ответы и укнзипил 12.41. 1) Задача не имеет решений (точки А, В, С лежат на одной прямой, точки А', В', С* не лежат на одной прямой); 2) х' = х, у' = 1 (линейное, но не аффинное преобразование); 3) задача имеет бесконечно много решений: х' = рх+ (р+ 4)у+ 2 — 2р, у* = = ух+ (д+ 2)у+ 1 — 24, где р и о — параметры, принимающие всевозможные действительные значения; 4) задача не имеет решений (точки А, В, С лежат на одной прямой, причем А — середина отрезка ВС, точки А', В*, С' лежат на одной прямой, но В* — середина отрезка А'С*).
12.42. 1) (О, 0); 2) неподвижная прямая у = бх; 3) нет неподвижных точек; 4) (-3, 0); 5) неподвижная прямая Зх+ Зу — 1 = 0; 6) все точки неподвижны. 12.43. 1) х+ у = О, у = 0; 2) х + у = 0; х — у = 0; 3) Зх + у — 13 = 0; Зх — у + 7 = 0; 4) нет решений; 5) х + у — 3 = О, 2х — у + С = 0; 6) х + у + 1 = 0; 2 1 4, 1 3 2 7) х — у+С=О. 12.45.
х' =-х+-у+-, у' =- -х+-у+-. 5 5 5' 5 5 5 12.46. 1) х' = х+ у — 2, у' = 2х — у+ 3; 2) х* = Зх — 4у — 5, у 16 44 33 1 41 32 =4х+Зу+1. 12.47. 1) х* = — — х+ — у — —, у' = — -х — — у+ —; 5 5 5' 5 5 5' 2) х' = (Агх+ Вгу+ Сг)/(Агхо + В1уо + Сг), у" = (Агх+ Вгу+ + Сг)/(Агхо + ВгУо + Сг). 12.48. 1) 34хг — 42хУ + 13У = 1; 2) 16хг — 18ху+ 5уг = 1; 3) 15хг — 19ху+ буг + 2 = 0; 4) 9хг— — 12ху + 4уг + 30х — 18у = 0; 5) (Зх — у — 1) (29х — 18у + 1) = 0; 6) (2х — у — 1)(2х — у+ 1) = 2. 12.49.
1) 10хг — 22ху+ 29уг— — 8х + 14у — 2 = 0; 2) 35хг — 38ху — 9уг — 22х + бу + 7 = 0; 3) 9хг — 12ху + 4уг + 8х — 40у = 0; 4) (2х + Зу — 1) (7у — 4х + 1) = 1; 1 5) (5х+ у — 3)(5х+ у + 1) = О. 12.50. 1) х' = --х — ~/Зу, 2 /3 1, 1, /3 у' = — х — -у; 2) х' = — -х — ~/Зу, у' = — — х+ -у. 12.51. х" = 4 2 ' 2 ' 4 2 = ~/5(х — у), у" = х~/5 (4х/5 — у). 1252. 1) х' = х+ 2, у' = х+ у+ 1; С Сг 2) х* = х+ С, у' = — х+ у+ —. 12.53. 1) х* = хссах — ув1п~р, 2 4 у' = хайлом+ усову; 2) х" = хо+ (х — хо) сову — (у — уо) вшу, у = уо+ (х — хо) вшог+ (у — уо)совог; 3) х = х, у = 0; 4) х* = (9х+ Зу — 1)/10, у' = (Зх+ у + 3)/10; 5) х' = — х, у' = у; 6) х' = (7х — 24у + 6)/25, у' = ( — 24х — 7у + 8)/25; 7) х' = х, у' = Лу; 8) х" = (2х — у+ 2)/3, у" = (-х+ 2у+ 2)/3; 9) х* = (9х — 2у+ 10)/5, у' = (-2х + 6у — 5)/5.
У к а з а н и е: использовать задачу 12.25. 12.54. 1): 1), 2), 5), 6), 7), 8), 9); 2): 1), 2), 5), 6). 12.55. 1) Сжатие к оси абсцисс с коэффициентом 3; 2) гомотетия относительно начала координат с коэффициентом 2; 3) параллельный перенос на вектор а ( — 1, 1); 4) симметрия относительно оси ординат; 5) симметрия относительно точки О; 6) поворот на угол к/2 вокруг точки О; 7) симметрия относительно прямой у = х; 8) поворот относительно точки 400 Отвегпы и указания О на угол х/4; 9) симметрия относительно прямой у = (у2 — 1)х; 10) гомотетия относительно точки Р (3, — 1) с коэффициентом 3; / 1+ /3 1 — /3'1 11) поворот на угол х/3 вокруг точки М 2 ' 2 12) симметрия относительно прямой х — з/Зу + 2 = 0; 13) симметрия относительно точки К ( — 1, 1); 14) сжатие к прямой Зх — 4У = 0 с коэффициентом 1/2; 15) сжатие к прямой х — у + 2 = 0 с коэффициентом 1/3; 16) поворот на угол 2я/3 вокруг начала координат; 17) ортогональное проектирование на прямую у = 1.
У к а з а н и я: 9) найти образы базисных векторов; 10)-13) перенести начало /1 1'1 координат в неподвижную точку. 12.56. 1) 1 —, 1+ — ) и ~, з/2 з/2) 1 1 1 (О, 1 + з/2); 2) — — , 1 + †) и ( — з/2, 1); 3) у = х + 1 и з/2 з/2) 1 1 у = 1+ —; 4) у = х + 1 + з/2 н у = 1+ —. 12.57. 1) 18 ~р = -3/4; з/2 Л' 2) — 5к/12, — я/12, 7х/12, 11я/12, .... 12.58. х+ 2У вЂ” 6 = О, 2х — у+ 1 = О, 2х — у + 7 = О. У к а з а н и е: использовать поворот вокруг точки Р. 12.59.
з/Зх+ у — 3 = О, у = 3/4, з/Зх — у — 3 = О, ,/Зх+ у — б = О, у = 9/4. У к а з а н и е: использовать поворот вокруг дг точки Р. 12.60. 1) ((4г — сг)(дг — сг)(агЬг — агуг) ~(; 2) 2!бгагвз! аг Ьг сг аг Ь| аг Ьг аз Ьз где Д = аг Ьг сг , в1 = Ь , вг = Ь вз аз з сз аг г ' аз з ' аг 12.61. у =13, 15х+7У+ 14= 0. 12.62.
1) хг+ уз — 20х — Од+84=О; 2) хг + уг — 10х = 0; 3) хг + уг + 12х+ 32У вЂ” 108 = О. 12.63. 1) /д: х'= — 7х+5У вЂ” 2, у'=Зх+4У+1; д/: х'=4х+Зу+1, у' = 5х — 7У вЂ” 2; 2) /д: х' = — 4х — бу+ 4, у' = х+ 4у+ 1; д/: х' = 7х — Зу + 6, у" = 13х — 7У + 25.
12.64. 1) х' = Зх — 3, у' = Зу — 3 1 (гомотетия с центром А (3/2, 3/2) и коэффициентом 3); 2) х' = -х, 2 1 5 у' = -у — — (гомотетия с центром В (О, — 5) и коэффициентом 2 2 1/2). 12.65. 1) х' = Зх — у — 10, у' = х — 3; 2) х' = 7х — 4у — 32, 4 3 2, 3 4 11 у' = — 5х+ Зу+ 22; 3) х" = -х+ -у+ —, У' = -х — -У вЂ” —; 5 5 25' 5 5 25' 9 5 5 3 . 1 4) х' = -х — -у+ 33, у" = — — х+ -у — 19; 5) х' = — х+ 8, 2 2 ' 2 2 ' 3 1 1 у' = — х + -у — 1; 6) обратное преобразование не существует; 12 4 Ответь п укизииил 1 1 1 7) х* = — (4х + Зу), у* = — ( — Зх + 4у); 8) х' = — (4х+ Зу), у' = 25 ' 25 25 .= — (Зх — 4у); 9) х' = г 1(х сову + у вш Вя), у' = г '( — х яш ар + 25 + усов р); 10) х* = г г(хопвуд+ у вшу), у' = г '(хвшх — усовэя).
12.66. 1) х* = хсовпа — увшпа, у' = хвшпа+ усовпа; 2) х* = лп хп „ , 'яп кп = хсов — + увш —, у" = — хяш — + усов —; 3) х' = х+ ну, у' = у; 4) х" = 3"х, у* = (3" — 2") х+ 2"у. 12.67. 1) х* = Зх+ 4у+ 6, 1у* = 4х — Зу — 16; 2) х' = (5х — 4у — 1)/3, у* = ( — 4х + 5у — 1)/3; '3) х* = 2~/Зх — 2у — 2ч'3, у* = 2х + 2чгЗу + 5 — 2э/3; 4) х' = ,= ( — ЗЗх + 9у + 55)/26, у" = (18х — 51у — ЗО)/52. 12.68. В задачах 4), 5), 7), 9), 12), 13), / 1 = /; 1) х* = х, у* = у/3, сжатие к оси абсцисс с коэффициентом 1/3; 2) х' = х/2, у* = у/2, гомотетин относительно начала координат с коэффициентом 1/2; 3) х" = х+ 1, у" = у — 1, параллельный перенос на вектор а (1, — 1); ' 6) х' = у, у' = -х, поворот на угол -и/2 вокруг начала координат; 8) х' = (х + у)/~/2, у' = ( — х + у)/~/2, поворот на угол — л/4 вокруг начала координат; 10) х' = (х + 6)/3, у' = (у — 2)/3, гомотетин относительно точки М (3, — 1) с коэффициентом 1/3; 11) х* = (х + /Зу + 1 — /3)/2, у' = ( — /Зх+ у — 1 — /3)/2, ворот на угол и/3 вокруг точки М ( — (1+ ~/3)/2, (1 — чгЗ)/2); 14) х* = (14х — 12у)/15, у" = ( — 12х + 21у)/15, сжатие к прямой Зх — 4у = 0 с коэффициентом 2; 15) х' = 2х — у + 2, у" = — х + 2у — 2, сжатие к прямой х — у + 2 = 0 с коэффициентом 3.
12.69. 1) /д: х' = — у+ 3, у" = х — 1; д/: х' = — у+ 1, у* = х — 1; 1, 1 2) /д = д/: х' = -(Зх+ 4у) + 4, у' = -(4х — Зу) — 3; 3) /д: х' = 5 5 1 1 1 = — ( — х+ ~/Зу) — 2ъ'3, у' = — (~/Зх+ у) — 2, д/: х* = — ( — х — ЧЗу), 2 2 2 1 у* = -( — ЧЗх + у) + 4; 4) /д = д/: х' = 2 — х, у* = — у; 5) /д: х' = х+ 1,2, у" = у — 0,4, д/: х' = х — 1,2, у' = у+ 0,4; б) /д: х* = — у — 0,2, у' =х — 0,6, д/: х* = — у+0,6, у' =х+0,2; 7) /д: х* = х + (1 — ~/3)/2, у' = у + (~/3 — 3)/2, д/: х" = = х + (ч 3 — 3)/2, у" = у + (1 — ь/3)/2. 12.70. 2) — ~хе — уо с18 — ), 2)' 1/ рЛ вЂ” ~Ув+ хесгй-~; 3) /д — повоРот вокРУг точки Р (2, 1) на 2 Л 2,~' угол к/2; д/ — поворот вокруг точки О (1, 0) на угол к/2.
12.71. 1) х вш у/2 — у сов Вя/2 = 0; 2) хв сов (у/2) + уо вш (р/2) = О, (2х — хо) в!п(х/2) — (2у — уо) сов(у/2) = О. 12.72. 3) а(Лсов(у/2), Лвш(х/2)), где Л = хосов(~я/2) + уовш(у/2). 12.73. 1) Скользящая 402 Ответы и указания симметрия относительно оси Ох, вектор переноса а (1, 0); 2) скользящая симметрия относительно оси у = 1, вектор переноса а(1, О); 3) симметрия относительно оси у = 1. 12.Т4. 1) Все преобразования первого рода; 2) преобразование д первого рода, остальные — второго; 3) преобразование / первого рода, остальные — второго; /д— скользящая симметрия относительно прямой хэ/3 — у+ 2 = О, вектор переноса ( — ~/3, — 3); д/ — скользящая симметрия относительно прямой х43+ у — 2 = О, вектор переноса ( — э/3, 3); 4), 5) /, д второго рода, /д и д/ — первого; 6) все преобразования первого рода; /д— поворот на угол к/2 вокруг точки Р (1/5, — 2/5); д/ — поворот на угол х/2 вокруг точки Я (1/5, 2/5); 7) все преобразования первого 1 1 рода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
